概率与数列递推关系式

概率与数列递推关系式1．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，；；则的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.2．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（）A． B．C． D．【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,∴，即，∴，∴数列是以为公比的等比数列，而，所以，∴当时，，故选：D.3．甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______.【答案】【解析】甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为，甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为，设第次由甲掷的概率为，则乙掷的概率为第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率于是，第次由甲掷的概率为即，因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列（）所以，适合从而所以故答案为：，4．某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为，数列的前和为．记是3的倍数的概率为．（1）求，；（2）求．解：（1）抛掷一次，一共有个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故，抛掷两次，一共有个结果，出现，，，，，时，符合要求，故计6种情况，故．（2）设被3除时余1的概率为，被3除时余2的概率为，则，①，②，③①②③，得：，化简，得，，又，是以为首项，为公比的等比数列．5．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.解：（1）（千米）．（2）由，．．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为．②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为．．．时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．，，，，．，1，，．获胜的概率，失败的概率．．获胜的概率大．此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．6．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；(2)求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【详解】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为．故．(2)由(1)知，，所以．又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．(3)由(2)知，．所以．所以玩该游戏获胜的概率为．7．如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.【详解】（1），，，，综上，棋子位置掷骰子次数23（2）随机变量的可能数值为1，.综合（1）得，，故随机变量的分布列为.（3）易知，因此，而当时，，又，即.因此，故即数列是以为首项，公比为的等比数列.所以，又故.8．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的