概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版

88〕概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版复旦大学习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，BC〔1〕A发生，B,C都不发生；〔2〕A与B发生，C〔3〕A，B，C都发生；〔4〕A，B，C〔5〕A，B，C都不发生；〔6〕A，B，C〔7〕A，B，C至多有2个发生；A,B,C至少有2个发生.】【解】⑴ABC⑵ABC⑶ABC⑷AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABCABC二ABCABCABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUCABUBCUCA二ABCUABCUABCUABC3..4.设A,B为随机事件，且P〔A〕=0.7,P(AB)=0.3,求P〔AB〕.【解】P〔AB〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P〔A〕=0.6,P(B)=0.7,⑴在什么条件下P〔AB在什么条件下P〔AB】【解】⑴当AB=A时，P〔AB〕取到最大值为0.6.〔2〕当AUB=Q时，P〔AB〕取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P〔A〕=P〔B〕=1/4，P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0，P〔AC〕=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P〔AUBUC〕二P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352CCCC/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：〔1〕求五个人的生日都在星期日的概率；⑵求五个人的生日都不在星期日的概率；〔3〕求五个人的生日不都在星期日的概率.】【解】⑴设Al=｛五个人的生日都在星期日｝,根本领件总数为75,有利事件仅1个，故P〔A1〕=517=〔17〕5〔亦可用独立性求解，下同〕⑵设A2=｛五个人生日都不在星期日｝,有利事件数为65,故P〔A2〕=5567=(67)5⑶设A3=｛五个人的生日不都在星期日｝P〔A3〕=1P(A1)=1(17)59..见教材习题参考答案.10.—批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件〔n<N〕.试求其中恰有m件〔mWM〕正品〔记为A〕的概率.⑴n件是同时取出的；〔2〕n⑶n件是有放回逐件取出的.【解】〔1〕P〔A〕二CC/CmnmnMNMN(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PmM种，从NM件次品中取nm件的排列数为PnmNM种，故P〔A〕二CPPPmmnmnMNMnN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P〔A〕二CCCmnmMNMnN可以看出，用第二种方法简便得多.⑶由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有NM种取法，共有〔NM〕nm种取法，故()C()/mmnmnnPAMNMN此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，那么取得m件正品的概率为()C1mnmmnMMPANN11..见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.假设将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，那么这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=｛发生一个部件强度太弱｝133103501()CC/C1960PA13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai=｛恰有i个白球｝〔i=2,3〕，显然A2与A3互斥.213434233377CCC184(),()C35C35PAPA故232322()()()35PAAPAPA14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：⑴两粒都发芽的概率；〔2〕至少有一粒发芽的概率；〔3〕恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai=｛第i批种子中的一粒发芽｝,〔i=l,2〕1212()()()0.70.80.56PAAPAPA12()0.70.80.70.80.94PAA2112()0.80.30.20.70.38PAAAA15.3次正面才停止.〔1〕问正好在第6次停止的概率；〔2〕问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.】【解】⑴223151115()()22232pC(2)1342111C()()22245/325p16.0.7及0.6,每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai=｛甲进i球｝，i=0,1,2,3,Bi=｛乙进i球｝,i=0,1,2,3,那么33312123330()(0.3)(0.4)C0.7(0.3)C0.6(0.4)iiiPAB22223333C(0.7)0.3C(0.6)0.4+(0.7)(0.6)=0.32076175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】4111152222410CCCCC131C21p18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：⑴在下雨条件下下雪的概率；〔2〕这天下雨或下雪的概率.【解】设A=｛下雨｝，B=｛下雪｝.〔1〕()0.1()0.2()0.5PABpBAPA⑵()()()()0.30.50.10.7pABPAPBPAB19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率〔小孩为男为女是等可能的〕.【解】设A=｛其中一个为女孩｝，B=｛至少有一个男孩｝，样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87PABPBAPA或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7PBA20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率〔假设男人和女人各占人数的一半〕.【解】设A=｛此人是男人｝,B=｛此人是色盲｝，那么由贝叶斯公式()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.50.05200.50.050.50.00252121.9：00~10：00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图】【解】设两人到达时刻为某,y,那么0W某,yW60.事件“一人要等另一人半小时以上〃等价于|某y|>30.如图阴影局部所示.22301604P22.0，1〕中随机地取两个数，求：⑴两个数之和小于65的概率；〔2〕两个数之积小于14的概率.【解】设两数为某,y，那么0<某,y<1.〔1〕某+y<65.11441725510.68125p(2)某y=<14.23.P〔A〕1111244111ddln242某p某y=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P23.P〔A〕【解】()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB0.70.510.70.60.5424.个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai=｛第一次取出的3个球中有i个新球｝，i=0,1,2,3.B=｛第二次取出的3球均为新球｝由全概率公式，有30()()()iiiPBPBAPA33123213336996896796333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC0.08925.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：〔1〕考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？〔2〕考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=｛被调查学生是努力学习的｝，那么A=｛被调查学生是不努力学习的｝.由题意知P〔A〕=0.8,P〔A〕=0.2，又设B=｛被调查学生考试及格｝.由题意知P〔B|A〕=0.9，P〔B|A〕=0.9，故由贝叶斯公式知〔1〕()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.20.110.027020.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.80.140.30770.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2：1.假设接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A=｛原发信息是A｝，那么=｛原发信息是B｝C=｛收到信息是A｝，那么=｛收到信息是B｝由贝叶斯公式，得()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA2/30.980.994922/30.981/30.0127.【解】设Ai=｛箱中原有i个白球｝〔i=0,1,2〕，由题设条件知P〔Ai〕=13,i=0,1,2.又设B=｛抽出一球为白球｝.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()iiiPBAPAPABPABPBPBAPA2/31/311/31/32/31/311/3328.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A=｛产品确为合格品｝，B=｛产品被认为是合格品｝由贝叶斯公式得()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA设A=｛该客户是“谨慎的〃｝,B=｛该客户是“一般的〃｝,C=｛该客户是“冒失的〃｝,D=｛该客户在一年内出了事故｝那么由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PADPAPDAPADPDPAPDAPBPDBPCPDC0.20.050.0570.20.050.50.150.30.330.零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai=｛第i道工序出次品｝(i=l,2,3,4〕.412341()l()iiPAPAAAA12341()()()()PAPAPAPA10.980.970.950.970.12431.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9【解】设必须进行n次独立射击.1(0.8)0.9n即为(0.8)0.1n故n$11至少必须进行11次独立射击.32.P〔A丨B〕=P(A丨B),那么A,B相互独立.【证】(|)(|)PABPAB即()()()()PABPABPBPB亦即()()()()PABPBPABPB()[1()][()()]()PABPBPAPABPB因此()()()PABPAPB故A与B相互独立.33.15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】设Ai=｛第i人能破译｝〔i=l,2,3〕，那么31231231()l()l()()()iiPAPAAAPAPAPA42310.653434.0.4,0.5,0.7,假设只有一人击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人都击中，那么飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=｛飞机被击落｝，Bi=｛恰有i人击中飞机｝,i=0,1,2,3由全概率公式，得30()(|)()iiiPAPABPB=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.45835.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：⑴虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否认的概率.⑵新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.】【解】⑴3101100C(0.35)(0.65)0.5138kkkkp(2)10102104C(0.25)(0.75)0.2241kkkkp36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：A二“某指定的一层有两位乘客离开〃；〔2〕B二“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开〃；〔3〕C二“恰有两位乘客在同一层离开〃；〔4〕D二“至少有两位乘客在同一层离开〃.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.⑴2466C9O10PA，也可由6重贝努里模型：224619()C()()1010PA⑵6个人在十层中任意六层离开，故6106PO10PB⑶由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948CCC种可能结果；②4人同时离开，有19C种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P种可能结果，故1213114610694899()CC(CCCCP)/10PC⑷D=B.故6106P()1()110PDPB37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求以下事件的概率:甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；〔2〕甲、乙、丙三人坐在一起的概率；〔3〕如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】⑴lllpn(2)23!(3)!,3(l)!npnn(3)l2(l)!l3!(2)!;,3!!nnppnnnn38.[0,a]【解】设这三段长分别为某,y,a某y.那么根本领件集为由O≪某≪a,0≪y≪a,0≪a某y≪a所构成的图形，有利事件集为由()()某ya某y某a某yyya某y某构成的图形，即02022a某aya某ya如图阴影局部所示，故所求概率为I4p.39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开〔抽样是无放回的〕.证明试开K次〔K=l,2,…,n〕才能把门翻开的概率与K无关.【证】llPl,l,2,,Pknknpknn40.把一个外表涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P〔Ai〕〔i=0,l,2,3〕.【解】设Ai=｛小立方体有i面涂有颜色｝，i=0,l,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上〔除去八个角外〕的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12X8=96个.同理，原立方体的六个面上〔除去棱〕的小立方体是一面涂色的，共有8X8X6=384个.其余1000〔8+96+384〕=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000PAPA,24968()0.096,()0.00810001000PAPA.41.对任意的随机事件A，B，CP〔AB〕+P〔AC〕P〔BC〕WP(A).【证】()[()]()PAPABCPABAC()()()PABPACPABC()()()PABPACPBC42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】⑴⑴⑴⑴设iA=｛杯中球的最大个数为i｝,i=l,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C3!3()48PA而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C1()416PA因此213319()1()()181616PAPAPA或12143323CCC9()416PA币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：A=｛正面次数多于反面次数｝,B=｛正面次数少于反面次数｝，C=｛正面次数等于反面次数｝，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P〔A〕=P〔B〕.所以1()()2PCPA由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为211()()()22nnnnPCC故2211()[1C]22nnnPAn次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A=｛出现正面次数多于反面次数｝，B=｛出现反面次数多于正面次数｝，由对称性知P〔A〕=P〔B〕当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P〔A〕+P〔B〕=1得P〔A〕二P〔B〕=0.5(2)当口为偶数时，由上题知211()[lC()]22nnnPAn+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲正二甲掷出的正面次数，甲反二甲掷出的反面次数.乙正二乙掷出的正面次数，乙反二乙掷出的反面次数.显然有>正正〔甲乙〕=〔甲正W乙正〕二〔n+1甲反Wn乙反〕=〔甲反$1+乙反〕二〔甲反>乙反〕由对称性知P〔甲正>乙正〕二P〔甲反>乙反〕因此P(甲正>乙正)=1246.Surething〕：假设P〔A|C〕$P(B|C),P(A|C)$P(B|C)，那么P〔A〕$P(B).【证】由P〔A|C〕$P(B|C)，得()(),()()PACPBCPCPC即有()()PACPBC同理由(|)(|),PACPBC得()(),PACPBC故()()()()()()PAPACPACPBCPBCPB—列火车共有n节车厢，有k(k$n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设Ai=｛第i节车厢是空的｝，〔i=l,…,n〕，那么121(l)l()(l)2()(l)l()(l)nkkikkijkiiinPAnnPAAnnPAAAn其中il,i2,…，in1是1，2，…，n中的任n1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C(1)2()C(1)1()C(1)0()(1)nnnkkinikijnijnnkniiiniiinnnniniSPAnnnSPAAnnSPAAAnSPASSSS121121C(1)C(1)(1)C(1)kknnknnnnnnn故所求概率为121121()1C(1)C(1)nkiinniPAnn111(1)C(1)nnknnn设随机试验中，某一事件A出现的概率为£>0.试证明：不管£>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，那么A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1(1)1()nn49•袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币〔次品硬币的两面均印有国徽〕.在袋中任取一只，将它投掷r次，每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=｛投掷硬币r次都得到国徽｝B=｛这只硬币为正品｝由题知(),()mnPBPBmnmnl(|),(|)12rPABPAB那么由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)PABPBPABPBAPAPBPABPBPAB121212rrrmmmnmnmnmnmn50.巴拿赫〔Banach〕火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根•试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时〔不是发现空〕而另一盒恰有r根的概率又【解】以Bl、B2记火柴取自不同两盒的事件，那么有121()()2PBPB•⑴发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自Bl盒〔已空〕，nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B1，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，那么所求概率为12211112C()()C2222nnnrnnrnrrrp式中2反映Bl与B2盒的对称性〔即也可以是B2盒先取空〕.〔2〕前2nr1次取火柴，有n1次取自Bl盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自Bl盒，故概率为111212212111112C()()C()2222nnnrnnrnrnrp5l.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.那么由00112220()CCCC1nnnnnnnnnnqppqpqpqpq0011222n0()CCC(1)Cnnnnnnnnnnqppqpqpqpq以上两式相减得所求概率为113331CCnnnnppqpql[l()]2nqpl[l(12)]2np假设要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，那么只要将两式相加，即得21[l(12)]2npp.52.设A，B是任意两个随机事件，求P｛〔A+B〕〔A+B〕〔A+B〕〔A+B〕｝的值.【解】因为〔AUB〕Q〔AUB〕二ABUAB〔AUB〕G〔AUB〕二ABUAB所求()()()()ABABABAB[()()]ABABABAB故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A,B和CABC二，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P〔AUBUC〕=9/16，求P〔A〕.【解】由()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC293()3[()]16PAPA故1()4PA或34,按题设P〔A〕<12,故P〔A〕=14.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P〔A〕.【解】1()()1()9PABPABPAB©()()PABPAB②故()()()()PAPABPBPAB故()()PAPB③由A,B的独立性，及①、③式有11()()()()9PAPBPAPB212()[()]PAPA2[1()]PA故11()3PA2()3PA或4()3PA〔舍去〕即P〔A〕=23.55.随机地向半圆0<y<22某a某(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点和该点的连线与某轴的夹角小于n/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为12na2.阴影局部面积为22n142aa故所求概率为222nlll4212nn2aapa56.10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】设A=｛两件中至少有一件是不合格品｝,B=｛另一件也是不合格品｝2421026210CC()1(|)C()51CPABPBAPA-57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.⑴求先抽到的一份是女生表的概率p⑵后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设Ai=｛报名表是取自第i区的考生｝，i=1,2,3.Bj=｛第j次取出的是女生表｝，j=1,2.那么1(),1,2,33iPAi111213375(|),(|),(|)101525PBAPBAPBA(1)3111137529()(|)()310152590iipPBPBA(2)21212()(|)()PBBqPBBPB而3221()(|)()iiiPBPBAPA1782061()310152590321211()(|)()iiiPBBPBBAPA137785202()31091514252492122()20961()6190PBBqPB58.设A,B为随机事件，且P〔B〕>0,P(A|B)=1,试比拟P(AUB)与P(A)的大小.(2022研考)解：因为()()()()PABPAPBPAB()()()()PABPBPABPB所以OOOOOPABPAPBPBPA.习题二353524353,4,51⑶0.1C3⑷0.3CC⑸0.6C某P某P某P某故所求分布律为某345P0.10.3O.6设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以某表示取出的次品个数，求：⑴某的分布律；〔2〕某的分布函数并作图；(3)133{},{1},{1},{12}222P某P某P某P某.【解】⑵1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P某FP某FFP某P某P某P某FFP某射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】【解】⑴【解】⑴⑴⑴设某表示击中目标的次数.那么某=0,1,2,3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C0.8(0.2)0.096(2)C(0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P某P某P某P某故某的分布律为某0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3某某F某某某某(2)(2)(3)0.896P某P某P某⑴设随机变量某的分布律为卩｛某二k｝二!kak，其中k=0,1,2,…，入>0为常数，试确定常数a.〔2〕设随机变量某的分布律为卩｛某二k｝二a/N,k=1,2,…，N,试确定常数a.】【解】⑴由分布律的性质知001()e!kkkP某kaak故ea(2)由分布律的性质知111()NNkkaP某kaN即1a.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：两人投中次数相等的概率；〔2〕甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令某、Y表示甲、乙投中次数,那么某~b〔3,0.6〕，Y~b(3,0.7)(l)()(0,0)(1,1)(2,2)P某YP某YP某YP某Y(3,3)P某Y33121233(0.4)(0.3)C0.6(0.4)C0.7(0.3)+22223333C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)0.32076(2)()(1,0)(2,0)(3,0)P某YP某YP某YP某Y(2,1)(3,1)(3,2)P某YP某YP某Y12322333C0.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)33221233(0.6)(0.3)C(0.6)0.4C0.7(0.3)31232233(0.6)C0.7(0.3)(0.6)C(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设某为某一时刻需立即降落的飞机数，那么某~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，那么有O0.01P某N利用泊松近似2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkkN2000.024.np利用泊松近似41e4()0.01!kkNP某Nk查表得N29.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少〔利用泊松定理〕？【解】设某表示出事故的次数，那么某5〔1000，0.0001〕(2)1(0)(1)P某P某P某0.10.11e0.1e8.在五重贝努里试验中成功的次数某满足P｛某=1｝=P｛某=2｝，求概率卩｛某=4｝.【解】设在每次试验中成功的概率为p，那么1422355C(1)C(1)pppp故13p所以4451210(4)C()33243P某.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，〔1〕进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；〔2〕进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.】设某表示5次独立试验中A发生的次数，那么某~6〔5，0.3〕(2)令Y表示7次5553(3)C(0.3)(0.7)0.16308kkkkP某独立试验中A(2)令Y表示7次7773(3)C(0.3)(0.7)0.35293kkkkPY10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数某服从参数为〔1/2〕t的泊松分布，而与时间间隔起点无关〔时间以小时计〕.⑴求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；〔2〕求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.】【解】〔1〕32(0)eP某(2)52(1)1(0)1eP某P某设卩{某二k}二kkkpp22)1(C,k=0,1,2P{Y二m}二mmmpp44)1(C,m=0,1,2,3,4分别为随机变量某，Y的概率分布，如果卩{某上1}=59,试求P{Y$1}.【解】因为5(1)9P某，故4(1)9P某.而2(1)(0)(1)P某P某p故得24⑴，9p即1.3p⑴⑴⑴⑴从而465(l)l(0)l(l)0.8024781PYPYp某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令某为2000册书中错误的册数，那么某~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np得25e2(5)0.00185!P某进行某种试验，成功的概率为34,失败的概率为14.以某表示试验首次成功所需试验的次数，试写出某的分布律，并计算某取偶数的概率.【解】1,2,,,某k113()()44kP某k(2)⑷(2)P某P某P某k321131313()()444444k213141451()414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：保险公司亏本的概率；〔2〕保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年〃为单位来考虑.〔1〕在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为某，那么某~b(2500,0.002)，那么所求概率为(200030000)(15)1(14)P某P某P某由于n很大，p很小，入二np=5，故用泊松近似，有5140e5(15)10.000069!kkP某k(2)P(保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P某P某5100e50.986305!kkk即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P〔保险公司获利不少于20000〕(30000200020000)(5)P某P某550e50.615961!kkk即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.随机变量某的密度函数为f(某)=Ae|某|,g<某<+b，求：〔1〕A值；⑵P{0<某<1};(3)F(某).】【解】⑴由()dlf由()dlf某某01ed2ed2某某A某A某故12A.(2)11011(01)ed(le)22某p某某(3)当某<0时，ll()ede22某某某F某某当某20时，0||0111()ededed222某某某某某F某某某某11e2某故le,02()lle02某某某F某某16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命某的密度函数为f(某)二.100,0,100,1002某某某求：〔1〕在开始150小时内没有电子管损坏的概率；〔2〕在这段时间内有一只电子管损坏的概率；⑶F〔某〕.【解】150)d.3P某某某33128[(150)]()327pP某1223124C()339p当某<100时F〔某〕=0当某2100时()()d某F某ftt100100()d()d某fttftt2100100100d12100100100d1某tt某故2100100100d12100100100d1某tt某故1001,100()0,0某F某某某17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以某表示这质点的坐标，设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求某的分布函数.【解】由题意知某~U[0,a],密度函数为1,0()0,某af某a其他故当某<0时F〔某〕=0当0W某Wa时001()()d()dd某某某某F某fttftttaa当某>a时,F〔某〕=1即分布函数0,0(),01,某某F某某aa某a18.设随机变量某在[2,5]上服从均匀分布.现对某进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】某~U[2,5],即1,25()30,某f某其他5312(3)d33P某某故所求概率为22333321220C()C()33327p19.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间某〔以分钟计〕服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y$1}.【解】依题意知1~()5某E，即其密度函数为51e,0()50,某某f某某0该顾客未等到效劳而离开的概率为25101(10)ede5某P某某2~(5,e)Yb，即其分布律为225525()C(e)(1e),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e)0.5167kkkPYkkPYPY20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间某服从N〔40，102〕；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间某服从N〔50，42〕.〔1〕假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？〔2〕又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？】【解】⑴假设走第一条路，某~N〔40,102〕，那么406040(60)(2)0.977271010某P某P假设走第二条路，某~N〔50,42〕，那么506050(60)(2.5)0.993844某P某P++故走第二条路乘上火车的把握大些.⑵假设某〜N〔40,102〕，那么404540(45)(0.5)0.69151010某P某P假设某~N〔50,42〕，那么504550(45)(1.25)44某P某P1(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设某〜N〔3,22〕，〔1〕求P{2某W5},P{4≪某W10},P{I某丨〉2},P{某〉3};⑵确定。使卩{某〉c}=P{某Wc}.】【解】〔1〕23353(25)222某P某P11(1)(1)1220.841310.69150.5328433103(410)222某P某P770.999622(||2)(2)(2)P某P某P某323323222215151122220.691510.99380.6977某某PP333(3)()1(0)0.522某P某P-(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度〔cm〕某~“〔10.05,0.062〕，规定长度在10.05土0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06某P某P1(2)(2)2[1(2)]0.045623.一工厂生产的电子管寿命某〔小时〕服从正态分布N〔160,。2〕，假设要求P{120V某W200}$0.8，允许o最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)某P某P404040210.8故4031.251.2924.设随机变量某分布函数为F〔某〕=e,0,(0),00.某tAB某，某⑴求常数A,B；〔2〕求P{某W2},卩{某〉3}；〔3〕

求分布密度f〔某〕.】【解】〔1〕由00lim()llim()lim()某某某F某F某F某得11AB2(2)(2)1eP某F33(3)1(3)1(1e)eP某Fe,0()()0,0某某e,0()()0,0某某f某F某某25.设随机变量某的概率密度为f某的概率密度为f〔某〕.,0,21,2,10,其他某某某某求某的分布函数F〔某〕，并画出f〔某〕及F〔某〕.【解】当某<0时F〔某〕=0当0W某<1时00()()d()d()d某某F某fttfttftt20d2某某tt当1W某<2时()()d某F某ftt010110122()d()d()dd(2)d132222212某某fttfttftttttt某某某某当某22时()()d1某F某ftt故220,0,012()21,1221,2某某某F某某某某某26.设随机变量某的密度函数为⑴f(某)=ae丨某|,入>0;⑵f(某)二f(某)二.,0,21,1,10,2其他某某某b某试确定常数a,b，并求其分布函数F〔某〕.【解】〔1〕由()dlf由()dlf某某021ed2ed某某aa某a某故2a即密度函数为e,02()