二重积分的变量变换

§4二重积分的变量变换教学目的：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换，理解二重积分的一般的变量变换公式的证明.教学重点：二重积分的极坐标变换.教学难点：二重积分的一般的变量变换公式.教学过程一、二重积分的变量变换公式弓I理设变换T:%=x（u，v），丁=yS^将"平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△，一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x=x"，v），y=ySv）在A内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式yy则区域的面积证明现给出y=y"，"）在A内分别具有二阶连续偏导数时的证明y=y（u，°在A内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出.由于变换T是一对一的，且JC，vZ0，因而T把A的内点变为D的内点，所以A的按段光滑边界曲线La变换到D时，其边界曲线Ld也是按段光滑曲线，设曲线La的参数方程为由于La按段光滑，所以"勺，"）在kS上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上都是连续的.因为Ld=TS），所以Ld的参数方程为：x=Ax=A)=M)vG))y=(t)=y顷)vG))G<t邳)x=x()=M)v())y=()=y(u(t)v())G<t<g)若规定t从a变g到时，对应于Ld的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0,Q(x,y)=xr、jxdy=r、jxdy=fx（t）y^（t）dt v（t^dLuf（t）^dyLvf（t）L口D） Ldu dv 」—Lda —a另一方面，在UV平面上jx（u,v>l空du+^ydvdu dv"们+料同）"—a(6)(7)其中正号及负号分别由t从a变6到时，是对应于LD的正向或是负方向所决定.由（6）及（7）得到4d）二土jx(u,v4d）二土jx(u,v>dydu+dudydvdvLa=±dvP(u,v)=x(u,令Q（P(u,v)=x(u,令在平面uv上对上式应用格林公式，得到uD）uD）二土JJ——-——\dudv[dudv)ad2y_d2y由于函数y=ySv）具有二阶连续偏听偏信导数，即有瓦初 柘，因此dQ dPdu d^=J^11，v）.于是又因为uD）总是非负的，而J侦°在a上不为零且连续，故其函数值A在上不变uDuD）二土jjj。,v)dudvjjJ（u,v）dudv号，所以U（D）=a .定理21.13设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T:x=x（u，v），y=y（u，^将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域A一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x=x（u，v），y=y（u，^在A内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

证明用曲线网△把分成〃个小区域气，在变换T作用下区域。也相应地分成个〃小区域2.，记气及Dj的面积为M）及血）《=1，•••，〃）由引理及二重积分的中值定理，有D•.作二重积分上式右边的和式是上的可积函数的积分和.又由变换丁的分的中值定理，有D•.作二重积分上式右边的和式是上的可积函数的积分和.又由变换丁的连续性可知，当区域△的分割的细度I叮7°时，区域Q相应的分割的细度叮I也趋于零.因此得到ffNJJex+ydxdy例1求。，其中。是由％=O,y=O,x+y=l所围区域.x=—（u-{-v）,y=—（v-u） 7（）1>0解作变换〃= ）即2 2 ，贝|j/v/,v7=2 ,ILeve-e-i~1~17wILeve-e-i~1~iiex+ydxdyffD =A

例2求抛物线*=弘，=nx和直线尸稣，》=阪所围成区域。的面积|ii(D)(3<m<n,0<oc<(3)解。的面积口3)一3)Wdxdy解。的面积口3)一"二£>=C—m2uV4UUjv——9uV4UUjv——9y=—作变换V2V,J]ILdudvV4A3—OC3)6OC3p3fx=rcos0T•[y=rsin00<r<+oo,0<0<2k定理21.14设满足定理21.13的条件，且在极坐标变换(8)下,xy平面上有界区域D与re平面上区域A对应，则成立jjfG,y)dxdyjjf(rcos0,rsinB)rdrdD, =A证明若d为圆域Ry^2+邪-R2则a为阳平面上的矩形区域hR]xh2兀].设气为在圆环七小<£2<x2+y2<R2'除去中心角为£的扇形BBAA所得的区域，则在变换(8)下，D对应于平面上的矩形区域A=kAh2兀-』但极坐标变换(8)在气与A之间是一对一变换，且A在上函数行列式J(r，e^>0.于是由定理21.13有jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrdeD£ 二A£ ，因为f(x，y)在有界闭区域D上有界，在上式中令£T0即得jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrcBD —A -若D是一般的有界区域，则取足够大的R>0,使D包含在圆域七y)x2+y2<R2内，并且在Dr上定义函数Jf(x,y)(x,y)gD

f(x,y)=[0, G,y)wD(i)若原点O史D,xy平面上射线e二常数与D的边界至多交于两点.A表示为r1(e)<r<r2&)a<e<B，于是有jjf(x,y)dxdyjd。寸f(rcose,rsin。>drd =ar(e) .若原点O史D,Xy平面上的圆r二常数与D的边界至多交于两点.A丰=41°G)<e<eG)r<r<r二曰看A表示为1 2 1 2，于是有jjf(x,yddyjrdr°ff(rcos。,rsine》eD =r1 e1(r)

(ii)若原点O(ii)若原点O为D的内点，D的边界方程表示为r=r&),则A表示为爵,r(0),0<0<2兀，于是有cos0,rsin0>drjjfG,y)dxdy2fd0'ffcos0,rsin0>dr(iii)若原点O在D的边界上，则A为0<r<rG)a<0<p于是有cos0,rsin0>drjjf(x,y)dxdyjcos0,rsin0>drTOC\o"1-5"\h\zD =a 0jj—, —do例3计算I=DV1-x2-y2 ，其中为圆域x2+y2<1.jj,1 =do ^jdQ^ rdrfLj1_r2^d07d0解D?—x2-y2 =0 。罚―r2 =0 0 =0 =2例4球工2+y2+Z2=R2被圆柱面x2+y2=Rx所割下部分的体积.jj、jR2-工2-y2d。解V=4。’=40d0R十眼2-r2rdr4r3j(-sins01©

=34「2)-R3———=3123J0jje-\2+y2d例5计算I=D ，其中。为圆域：x2+y2-R2手dojre-r2dr ()解I=0 0 顼1-e-R2，作广义极坐标变换x=arcosOy=brsinO0-r<+8,0-0-2兀J(r,0)=abr，x2y2