人教版高中数学选择性必修二教学设计全套

人教版高中数学选择性必修二教学设计全套4.1数列的概念（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类2.逻辑推理：求数列的通项公式3.数学运算：运用数列通项公式求特定项4.数学建模：数列的概念【教学重点和难点】重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征【教学过程】教学过程教学设计意图一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①记王芳第i岁的身高为hi

，那么h1=75

,h2=87,

…，h17=168.我们发现hi中的i2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5

,s2=10,

…，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s13.-12-12，14，-18，思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…1.下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915三、典例解析例1.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.（1）an=解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示(2)例2.根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)22(5)-11×2,1(6)4,0,4,0,4,0,….解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·1n(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n((8)数列1,12,13,跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17;(2)21(3)3,5,9,17;(4)23(5)7,77,777,7777.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)a(4)an=2n(2n)2-例3(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)1011n(n∈N*),试问数列{a分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=n-52(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)1011n=1011∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=10解法二:设ak是数列{an}的最大项,则a整理,得10k+10≥11k所以k=9或k=10.又a1=2011<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=1求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.(2)可以利用不等式组an利用不等式组an变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+3·98n,n解:设第n项an最小,则a即1n+3所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=932>a5=a6即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=95通过古诗及生活中的情景，引导学生运用数学眼光，分析问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过数列概念的解读，并与集合、函数概念的比较，深化对数列概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.下列各项表示数列的是()A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53答案:195.已知数列3,7,11,解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在数列{an}中,已知an=n2+n-1(1)写出a10,an+1.(2)7923解:(1)a10=102+10-1(2)令an=n2+n-17.已知数列{an}的通项公式an=kn2n+3(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1所以an+1-an=n+1故数列{an}是递增数列.(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=kn+因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结数列的概念与表示数列的定义通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.4.1数列的概念（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系。“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系、数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系等。数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.B.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.1.数学抽象：数列递推公式2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项【教学重点和难点】重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式【教学过程】教学过程教学设计意图一、课前小测1．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝()A．10B．12C．14D．16B解析：由题意，通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝eq\f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.2．由数列前四项：，，，，…，则通项公式______．【详解】由题意，该数列前四项可变为：，，，，…，由此可归纳得到数列的通项公式为．3．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．【详解】该数列的前四项可表示为，，，，因此，该数列的一个通项公式为.二、新知探究例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为1,3,9,27即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，因此这个数列的通项公式是a换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前a1=1由此猜测，这个数列满足公式a通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.一、数列的递推公式像an=3a1.设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),则a解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+答案:3二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.2.an=S点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即an=S2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()（1）√（2）×（3）√3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为an=3三、典例解析例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(-1)n2(n∈N分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.解:由题意,得a2=3a1+(-1)22所以a2=3×1+(-1同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.跟踪训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是()A.15 B.255 C.16 D.63解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.变式探究：试求本例中Sn的最大值.解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-522+252,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))通过课前小测，进步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解数列求和概念。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.已知数列{an},a1=1,an+1=12an+1A.1 B.14C.34解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2答案:C2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0 B.25解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25答案:B3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项 B.第5项C.第6项 D.第7项解析:因为an=-2n2+25n=-2n-2542+所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.答案:C4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=()A.3×56n-1C.3×56n-1解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+1即an-1=56(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,5则an-1=3×56n-1,所以a答案:C5.(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1n-1n+1求数列的通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1求数列{an}的通项公式.分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=1n-1解:(1)∵an+1-an=1n∴a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=将以上n-1个式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1-12即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-1n(2)因为a1=1,an=1-1nan-1所以an所以an=anan-=n-1n·n又因为当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.4.2.1等差数列的概念（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解等差数列的概念B.掌握等差数列的通项公式及应用C.掌握等差数列的判定方法1.数学抽象：等差数列的概念2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导3.数学运算：通项公式的应用4.数学建模：等差数列的应用【教学重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【教学过程】教学过程教学设计意图一、导语我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r

，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(ar,ar在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()×;×;√问题探究思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a所以a2-a1=d,a3-a于是a2=a

a3=a2+d=(a1+

a4=a3+d=(a1+归纳可得an=a1+(n-1当n=1时，上式为a1=a1+(因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)√(3)√3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝()A．22B．24C．26D．28D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]4．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1B．1C．3D．4D[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2（2）求等差数列8,5,2…的第20项。分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1-an解：（1）当n≥2时，由a可得an-1于是d=an-an-1把代入通项公式an=5-2（2）由已知条件，得d把a1=8,d=-3代入an=an=8-3(n-1)=11把n=20a20=11-所以，这个数列的第20项是-49求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.例2(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差数列．[思路探究](1)eq\x(列方程组)―→eq\x(求解m，n)―→eq\x(求m，n的等差中项)(2)(1)6[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[证明]∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq\f(x＋y,2).2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用等差数列的中项性质，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．24C[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]3．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．eq\r(3)[eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).]4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。4.2.1等差数列的概念（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.B.能用等差数列的性质解决一些相关问题.C.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.1.数学抽象：等差数列的性质2.逻辑推理：等差数列性质的推导3.数学运算：等差数列性质的运用4.数学建模：运用等差数列解决实际问题【教学重点和难点】重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2;前一项;同一个常数;常数;d2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通项公式的应用；二、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：220－10d≥11220－所以，d的求值范围为19<d≤20.9等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026B.2027C.2028D.2029C解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an由题意可知an是等差数列，首项a1=400，公差d所以an=400+(n令50n+350>820，解得由于n所以该市在2028年建住房面积开始大于820万平方米.例4.已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.解：（1）设等差数列bn的公差为∵b1=a1,b5=a2,∴b5-

b1∵b5-

b1=4d',∴4d'=∴bn=2+(所以数列bn的通项公式是bn（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4令4n-

3=29,解得:n=8所以，b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(仍然可以构成一个新的等差数列.例5.已知数列an是等差数列，p,求证:a分析：利用等差数列的中的两个基本量a1,写出ap证明：设数列an的公差为dap=a1aq=a1as=a1at=a1所以:as因为p所以a例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：a∵p+q=s∴通过回顾等差数列的定义及其中项性质，提出问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过实际问题的分析解决，体会等差数列的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．23.2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.【答案】18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝eq\f(17,3).又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝eq\f(a9－a7,9－7)＝eq\f(7－\f(17,3),2)＝eq\f(2,3).∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，∴k＝18.]4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.【答案】－1[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,a＋b＋c＝18,a2＋b2＋c2＝116))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.))法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1)应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2)等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈3)等差数列an，p,q,通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（1）数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．B.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．C.掌握等差数列的前n项和的简单性质．1.数学抽象：等差数列前n项和公式2.逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导3.数学运算：等差数列前n项和公式的运用4.数学建模：等差数列前n项和公式综合运用【教学重点和难点】重点：等差数列的前n项和的应用难点：等差数列前n项和公式的推导方法【教学过程】教学过程教学设计意图一、新知探究据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n前100项的和问题.等差数列中，下标和相等的两项和相等.设an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at可得：a问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋…＋101吗？问题3：你能计算1＋2＋3＋…＋n吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n为偶数时，=1+n=n2当n为奇数数时，n－1为偶数S=1+n=对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋…＋n=问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？Sn=Sn=将上述两式相加，得2Sn=1+=n所以Sn=问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n倒序求和法Sn=Sn2Sn因为：所以：2Sn=(a1=n(即：等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝nSn＝na1功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个.二、典例解析例6.已知数列{an}是等差数列.（1）若a1=7,a50=101,求S（2）若a1=2,a2=52,求（3）若a1=12，d=-16,Sn=-5,分析：对于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn=na解：（1）因为a1=7,a50=101，根据公式SS20（2）因为a1=2,a2=52，所以d=12.根据公式SS10=10×2+10×(10-1)2（3）把a1=12，d=-16,Sn=-5代入-5=整理，得n解得n=12或n=-5（舍）,等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．跟踪训练1已知等差数列{an}．(1)a1＝eq\f(5,6)，a15＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，∴d＝－eq\f(1,6).又Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.例7.已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220.分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式2后，可得到两个关于a解：由题意，知S10=310,把它们代入公式

Sn得10a1+所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。(法二)∵数列{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1220＝400A＋20B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.))∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(法四)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以a1为首项，eq\f(d,2)为公差的等差数列，∴eq\f(S10,10)，eq\f(S20,20)，eq\f(S30,30)成等差数列，∴eq\f(S10,10)＋eq\f(S30,30)＝2×eq\f(S20,20)，∴S30＝30eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S20,10)－\f(S10,10)))＝30×(122－31)＝2730.通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝5.]3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则()A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－1【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.【答案】190[S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19×2a10,2)＝190.]5．已知等差数列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12.【答案】∵Sn＝n·eq\f(3,2)＋eq\f(nn－1,2)·－eq\f(1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.B.会求等差数列前n项和的最值.1.数学抽象：等差数列前n项和公式2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数3.数学运算：等差数列前n项的应用4.数学建模：等差数列前n项的具体应用【教学重点和难点】重点：求等差数列前n项和的最值难点：等差数列前n项和的性质及应用【教学过程】教学过程教学设计意图一、课前小测1．思考辨析(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列．()(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．()(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[∵eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)，∴eq\f(165,150)＝eq\f(n＋1,n).∴n＝10.故选B项．]3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________.23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]二、典例解析例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn。由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.由S20=20a1+20×(20-1)2因此，第1排应安排21个座位。解得a1＝21.因此，第1排应安排21个座位.1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟踪训练1.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？分析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：由a另一方面，等差数列的前n项和公式可写成

，所以当d≠0时，Sn，当x=n时函数值。如图，当d<0时，Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n,解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.因为S5所以Sn的最大值为30.解法2：因为由a1＝10，d＝－2，因为

所以，当n取与112即5或6时，Sn最大，最大值为30.1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．跟踪训练2.数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′