椭圆典型题型归纳总结

椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用例1：一个动圆与圆相切，且过点，求这个动圆圆心M的轨迹方程；练习：1.方程对应的图形是〔〕A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程对应的图形是〔〕A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程成立的充要条件是〔〕A.B.C.D.4.如果方程表示椭圆，则的取值围是5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；6.设圆的圆心为，是圆一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程〔一〕由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹〔二〕分情况求椭圆的方程例2.椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；〔三〕用待定系数法求方程例3.椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；〔四〕定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；练习：1、动圆P与圆切与圆外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。2、动圆C过点A，且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为；〔五〕相关点法求轨迹方程；例6.轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；〔六〕直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程；〔七〕列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆上一点和焦点，为顶点的中，，则当为短轴端点时最大，且①；②；③=。〔短轴长〕例：知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；练习：1、椭圆的焦点为、，点在椭圆上，假设，则；的大小为；2、是椭圆上的一点，和为左右焦点，假设。〔1〕求的面积；〔2〕求点的坐标。题型四.椭圆的几何性质例1.是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，假设四边形的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.假设椭圆的离心率为，则；例4.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为题型五.求围例1.方程焦点在轴的椭圆，数的取值围；题型六.求离心率例1.椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率例2.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；练习1、〔2010二模〕以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交于、两点，是正三角形，则该椭圆的离心率是；2、分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，假设，则该椭圆的离心率为；3、〔2012年新课标〕设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 〔〕A． B． C． D．4、椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.假设|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______题型七.直线与椭圆的关系〔1〕直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线〔〕与连结，的线段没有公共点，求的取值围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值围〔二〕弦长问题例1.椭圆，是轴正方向上的一定点，假设过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，假设，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，假设的面积是20，求直线方程。〔三〕弦所在直线方程例1.椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.〔1〕用直线的斜率表示的面积；〔2〕当的面积最大时，求椭圆E的方程．〔四〕关于直线对称问题例1.椭圆，试确定的取值围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；例2.中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？假设存在，求出直线倾斜角的取值围；假设不存在，请说明理由。题型八.最值问题F2F1M1M2例1．假设，F2F1M1M2结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离。结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或*,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值围。3.三角函数法例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；4.判别式法例4的解决还可以用判别式法结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。题型九.轨迹问题例1．到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是例2．点，点在圆的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。例3.圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用椭圆定义：平面一动点到两定点，的距离和等于常数〔大于=〕点的集合叫椭圆；即注：当时轨迹为椭圆；当时轨迹为线段；当时无轨迹。例1：一个动圆与圆相切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；练习：1.方程对应的图形是〔〕A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程对应的图形是〔〕A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程成立的充要条件是〔〕A.B.C.D.4.如果方程表示椭圆，则的取值围是5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；6.设圆的圆心为，是圆一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程〔一〕由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；〔二〕分情况求椭圆的方程例2.椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；〔三〕用待定系数法求方程例3.椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；〔四〕定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；练习1、动圆P与圆切与圆外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。练习2、动圆C过点A，且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为；〔五〕相关点法求轨迹方程；例6.轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；〔六〕直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程；〔七〕列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆上一点和焦点，为顶点的中，，则当为短轴端点时最大，且①；②；③=。〔短轴长〕例：知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；练习：1、〔2009〕椭圆的焦点为、，点在椭圆上，假设，则；的大小为；2、是椭圆上的一点，和是焦点，假设，则的面积等于〔〕3、是椭圆上的一点，和为左右焦点，假设。〔1〕求的面积；〔2〕求点的坐标。题型四.椭圆的几何性质例1.是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，假设四边形的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.假设椭圆的离心率为，则；例4.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为题型五.求围例1.方程焦点在轴的椭圆，数的取值围；题型六.求离心率例1.椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率例2.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；练习1、〔2010二模〕以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交于、两点，是正三角形，则该椭圆的离心率是；2、分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，假设，则该椭圆的离心率为；3、〔2012年新课标〕设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 〔〕A． B． C． D．4、椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.假设|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______题型七.直线与椭圆的关系〔1〕直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线〔〕与连结，的线段没有公共点，求的取值围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：假设直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了防止讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设，：把代入椭圆方程得：，即，，∴，此时令直线的倾角为，则即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值围。〔二〕弦长问题例1.椭圆，是轴正方向上的一定点，假设过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。分析：假设直线与圆锥曲线相交于两点、，则弦的长度的计算公式为，而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去〔或〕，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设〔〕，则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，，，则∴，即∴，又，∴，∴；例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，假设，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，假设的面积是20，求直线方程。〔三〕弦所在直线方程例1.椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.〔1〕用直线的斜率表示的面积；〔2〕当的面积最大时，求椭圆E的方程．解：〔1〕设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2故椭圆方程；设，由于点分有向线段的比为2．∴，即由消去y整理并化简得(3k2+1)*2+6k2*+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于两点③④③④⑤而⑥由①④得:，代入⑥得：.〔2〕因,当且仅当取得最大值．此时，又∵，∴；将及代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程．例4.是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。〔四〕关于直线对称问题例1.椭圆，试确定的取值围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；例2.中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？假设存在，求出直线倾斜角的取值围；假设不存在，请说明理由。题型八.最值问题F2F1M1M2例1．假设，F2F1M1M2分析：欲求的最大值和最小值o可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义o,为椭圆的左焦点。解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。因为，所以,；结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。解：，连接并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时取最大值；∴最大值是10+，最小值是。结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。解：设为椭圆上任意一点，由椭圆方程知的取值围是〔1〕假设，则时，〔2〕假设,则时〔3〕假设,则结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或*,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值围。3.三角函数法例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；解：三角换元∵∴令则当时；当时,结论4