直角坐标与球坐标的转换详解

直角坐标与球坐标的转换详解有些同学只注意公式的表达式，而忽略了他们的意义和他们之间的关系。因而经常出现错误而不自觉。下面就把直角坐标与球坐标的意义与他们之间的关系细述如下：正确认识坐标系：通常使用的直角坐标系是右手坐标系，其x,y,z三个坐标轴之间的关系如下图所示：与之相对的不常用的是左手坐标系如下右图：在立体图中经常画成如下两种形式而右侧的第三种形式则较少被用到（因为它的第一卦限不在最前方）：对于球坐标则更复杂一些：首先一定要注意两个互相垂直的角的定义域和初始方向：两个角一般都用0和9来表示。比如0的定义域是2n，相当于地球的经度，一定要辨明所使用的球坐标的0是从（0-2兀）还是从（-n-兀）。而9的定义域是n，相当于地球的纬度，一定要辨明所用坐标系的9是从（0-兀）还是从（-兀/2-兀/2）。所谓初始方向，是指球坐标与直角坐标之间的关系。如下图所示：从上面两图可以看出0角围成一圈，其取值可以是（0-2兀）也可以是（-兀-兀），且把地球分割成一个个的西瓜瓣。而9角把地球切成一片片。其取值只能从南极到北极即（0一兀）或（-兀/2一兀/2），且图⑴只能取（-兀/2一兀/2）,而图⑵只能取（0—兀）。所以虽然从理论上来说，常把9的取值范围取（0-兀），但地球图都采取图⑴的方式。正是由于9的两种不同的取值方式决定了球坐标与直角坐标之间的转换的不同表达式。下面就以图1的方式配以适当的直角坐标系产生标准的地球图如下：其两种坐标的关系如右图：将球坐标转化为直角坐标：从图中可以看出在此图的关系中0的变化实在x-y平面内。其0点为A方向与x轴方向一致。向右为正，经过y轴为n/2达到x的负方向时为n，如果定义域为（0—2兀）则继续旋转时0值继续增大，否则变负。这有什么重要性？它直接关系到从直角坐标系转换到球坐标系时的结果的正确性。同样可以看到此图中9的0点也与x轴的方向一致为A。而且向上为正。转到与z轴方向依照时为n/2。向下为负，到达z轴的负方向时为-n/2（也就是说9的定义域为-n/2—n/2,而非0一兀）。同样对如下几个图形也可仔细判明：从右图的具体关系可以看出：其直角坐标与球坐标的关系如下：z=rsin巾， OB=rcos巾x=rcos巾cos0y=rcos巾sin0其它再举几例如下：可参照解决。

其中图2为：z=rcos©x=rsin©cos0y=rsin©sin0图3为：y=rsin©x=rcos©sin0z=rcos©cos0由直角坐标转换为球坐标：根据不同的球坐标转化为直角坐标的关系，表面看来很容易求得相应的直角坐标转化为球坐标的表达式。⑴对于图1的情形就有：r=Jx2+y2+z2TOC\o"1-5"\h\z. z<©=arctanJr2-z2c y0=arctan—、 x但，由于反三角函数的多值性，反三角函数表只能给出0的主值，而不能给出其真实值。要求出0的真实值，还要依据其定义域的不同，作必要的调整。其调整方式如下：当0定义为-n—n时如下图有：Ey>0主值7T&.0页值西本Ey>0主值7T&.0页值西本X、K调整471x>0,y>0喜值0整5度x<jO?yO主值&<炸成真慎,u2y<0主岂-工，2•:.w•:.n点值©=arctan一一七<'r2-z©=arctan一一七<'r2-z2x=0:y>0,0x丰0:0=arctan—+Cx兀 兀=;y<0,0=-—2 2'x>0,C=0vx<0,y>0,C=K;y<0,C=一兀/当0定义为0—2n时如下图有:x<05y>0主词整十7Tx>Ohy>flZ-T.D*H-it'O'：；n.2x：0.j<0主值D<X<n/2调整询g,y=：。a-伫nnbn/2<x<?n调整+a由此图可知，其与（一兀一兀）的区别在于：x丰0时x<0时，C=兀x>0且y<0时,C=2兀⑵对于图2与图1类似，则有：rJ r=Jx2+y2+z2Jr2-z2泌=arctan z0=arctany、 x所不同的是：巾的取值范围是（0-兀），所以当z<0时，巾取得主值后应+兀。。的调整方法与图1相同。⑶对于图3与图1其实是相似的，只需把x,y,z轮换