新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理4.1两个计数原理课件湘教版选择性必修第一册

第4章4.1.1分类加法计数原理4.1.2分步乘法计数原理课标要求1.通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义;2.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点1分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

m1+m2+…+mn名师点睛1.分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”是指完成这件事的所有方法可以分为n类,每一类中没有相同的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.2.分类加法计数原理与集合类比:S=S1∪S2∪…∪Sn且Si∩Sj=⌀(i≠j,i,j=1,2,…,n),如图所示.集合S共有(m1+m2+…+mn)个元素完成事件S共有(m1+m2+…+mn)种方法

过关自诊某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨的升旗任务,安排方法共有多少种?解

由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14种.知识点2分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

m1×m2×…×mn名师点睛1.分步乘法计数原理中每个步骤之间是连续的、缺一不可的,且不能重复、交叉,简而言之即为“步骤完整”.2.两个计数原理的区别与联系原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成,类类相加分步完成,步步相乘每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事每个步骤依次完成才算完成这件事(每个步骤中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整过关自诊如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?提示如果完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.重难探究·能力素养全提升探究点一分类加法计数原理【例1】某校高三共有三个班,各班人数如下表.班级男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班252550高三(3)班351550(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?分析(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席,每一种选法都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.解

(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有50种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+50+50=150种不同的选法.(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有25种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有15种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+25+15=70种不同的选法.规律方法

1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确:明确分类标准,依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏:完成这件事的各类方法必须满足既不能重复,又不能遗漏.(3)方法独立:确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路变式训练1有三个袋子,里面分别装有不同编号的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球,有

种不同的取法.

15解析

三个袋子中任取1个小球可以分为3类:第1类,从第1个袋子中任取1个小球,有6种不同的取法;第2类,从第2个袋子中任取1个小球,有5种不同的取法;第3类,从第3个袋子中任取1个小球,有4种不同的取法.根据分类加法计数原理,从三个袋子中任取1个小球,不同的取法共有6+5+4=15种.探究点二分步乘法计数原理【例2】一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)解

由题可知,可以分四步完成:第1步,第一个拨号盘有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,第二个拨号盘有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,第三个拨号盘有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,第四个拨号盘有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10

000个四位数的号码.变式探究若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?解

由题可知,可以分四步完成:第1步,第一个拨号盘有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,第二个拨号盘有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,第三个拨号盘有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,第四个拨号盘有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5

040个不重复的四位数的号码.规律方法

应用分步乘法计数原理的解题策略(1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可.(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路:探究点三两个原理的综合应用【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有多少种?分析由于4个操作人员可操作的电脑型号不同,因此首先将所选3人分类,然后每一类再分步完成,即解答本题可“先分类,后分步”.解

第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分3步安排这3人操作电脑,第一步,安排丙,有2种方法;第二步,安排甲,有2种方法;第三步,安排乙,有1种方法.根据分步乘法计数原理有2×2×1=4种方法;第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人操作电脑,有2种方法;第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑,有1种方法;第4类,选乙、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑,有1种方法.根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.规律方法

1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.变式训练2现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?解

依题意,从这些画中选出两幅不同种类的画可分为三类:第一类,一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法;第二类,一幅选自国画,一幅选自水彩画,由分步乘法计数原理知,有5×7=35种不同的选法;第三类,一幅选自油画,一幅选自水彩画,由分步乘法计数原理知,有2×7=14种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同的选法.本节要点归纳1.知识清单:(1)分类加法计数原理;(2)分步乘法计数原理.2.方法归纳:完成这件事有若干类不同的办法,用分类加法计数原理;完成这件事要依次完成若干个相互依存的步骤,用分步乘法计数原理;完成这件事既要分类,又要分步,则综合使用两个计数原理.3.注意事项:用分类加法计数原理要做到分类“不重复、不遗漏”,而用分步乘法计数原理要做到不能缺少任何一个步骤.学以致用·随堂检测全达标123451.某学生去书店,发现2本感兴趣的书,决定至少买其中一本,则购买方式共有(

)A.1种

B.2种

C.3种

D.4种C解析

购买方式可以分两类:第一类,购买其中1本,有2种方式;第二类,购买2本,有1种方式.根据分类加法计数原理,共有2+1=3种购买方式.故选C.123452.学校体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,西侧有2个大门,某学生到该体育场训练,但必须是从南门或北门进入,从西门或北门出去,则他进出门的方法有(

)A.7种

B.12种

C.24种

D.35种D解析

由题意,分两步完成,第一步,进入训练场,有7种方法;第二步,出训练场,有5种方法.根据分步乘法计数原理,共有7×5=35种不同的进出门方法.故选D.13453.将3名志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有(

)A.12种

B.9种

C.8种

D.6种C解析

每名志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步乘法计数原理可知,不同的分配方案共有2×2×2=8种.故选C.213454.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学,从中任选一名同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法

种;若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法

种.

920解析

4名女同学、5名男同学中任选一名同学参加学科竞赛可以分为2类:第一类,选一名女同学参加,有4种选法;第二类,选一名男同学参加,有5种选法.根据分类加法计数原理,共有5+4=9种不同的选法.从4名女同学、5名男同学中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛可以分2步:第一步,选一名女同学参赛,有4种选法;第二步,选一名男同学参赛,有5种选法.根据分步乘法计数原理,共有5×4=20种不同的选法.213455.某同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书、4本不同的数学书、3本不同的物理书,他想带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法?