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文档简介
2023-2024学年广东深圳市红岭中学数学高二上期末经典试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的共轭复数是A. B.C. D.2.在等差数列{an}中,a1=1,,则a7=()A.13 B.14C.15 D.163.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除,若小王和小张在这5名同学之中,则小王和小张都没有被挑出的概率为()A. B.C. D.4.观察下列各式:,,,,,可以得出的一般结论是A.B.C.D.5.已知椭圆的左右焦点分别为,,过C上的P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形是菱形,则C的离心率为()A. B.C. D.6.设函数,则和的值分别为()A.、 B.、C.、 D.、7.一个几何体的三视图都是半径为1的圆,在该几何体内放置一个高度为1的长方体,则长方体的体积最大值为()A. B.C. D.18.直线与圆的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定9.已知函数在处取得极小值,则()A. B.C. D.10.在中,,,,若该三角形有两个解,则范围是()A. B.C. D.11.已知两条直线:,:,且,则的值为()A.-2 B.1C.-2或1 D.2或-112.设为抛物线焦点,直线,点为上任意一点,过点作于,则()A.3 B.4C.2 D.不能确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若椭圆的焦点在轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则______.14.命题“,”为假命题,则实数a的取值范围是______15.直线的倾斜角为______16.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第七个孩子分得斤数为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,先从盒子中随机取出一个球,该球的编号记为,将球放回盒子中,然后再从盒子中随机取出一个球,该球的编号记为.(1)写出试验的样本空间;(2)求“”的概率.18.(12分)已知A,B两地相距200km,某船从A地逆水到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(v>8).若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比,比例系数为k,当v=12km/h,每小时的燃料费为720元(1)求比例系数k(2)当时,为了使全程燃料费最省,船的实际前进速度应为多少?(3)当(x为大于8的常数)时,为了使全程燃料费最省,船的实际前进速度应为多少?19.(12分)已知动圆过点且动圆内切于定圆:记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线方程;(2)若、是曲线上两点,点满足求直线的方程.20.(12分)已知点A(0,-2),椭圆E:(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)如图1是直角梯形,以为折痕将折起,使点C到达的位置,且平面与平面垂直,如图2(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)在棱上是否存在点P,使平面与平面的夹角为?若存在,则求三棱锥的体积,若不存在,则说明理由22.(10分)奋发学习小组共有3名学生,在某次探究活动中,他们每人上交了1份作业,现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少?(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少?(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点:复数的概念及运算.2、A【解析】利用等差数列的基本量,即可求解.【详解】设等差数列的公差为,,解得:,则.故选:A3、B【解析】记另3名同学分别为a,b,c,应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】记另3名同学分别为a,b,c,所以基本事件为,,(a,小王),(a,小张),,(b,小王),(b,小张),(c,小王),(c,小张),(小王,小张),共10种小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为,,,共3种,综上,小王和小张都没有挑出的概率为故选:B.4、C【解析】1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,由上述式子可以归纳:左边每一个式子均有2n-1项,且第一项为n,则最后一项为3n-2右边均为2n-1的平方故选C点睛:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)5、C【解析】根据题意求出P点坐标,代入椭圆方程中,可整理得到关于a,c的等式,进一步整理为关于e的方程,解得答案.【详解】如图示:由题意可知,因为四边形是菱形,所以,则,所以P点坐标为,将P点坐标为代入得:,整理得,故,由于,解得,所以,故选:C.6、D【解析】求得,即可求得、的值.【详解】,则,则,故,.故选:D.7、B【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球,长方体的体对角线为球的直径时,长方体体积最大,设出长方体的长和宽,得到等量关系,利用基本不等式求解体积最大值.【详解】由题意得:此几何体为半径为1的球,长方体为球的内接长方体时,体积最大,此时长方体的体对角线为球的直径,设长方体长为,宽为,则由题意得:,解得:,而长方体体积为,当且仅当时等号成立,故选:B8、B【解析】直线恒过定点,而此点在圆的内部,故可得直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点,而,故点在圆的内部,故直线与圆的位置关系为相交,故选:B.9、A【解析】由导数与极值与最值的关系,列式求实数的值.【详解】由条件可知,,,解得:,,检验,时,当,得或,函数的单调递增区间是和,当,得,所以函数的单调递减区间是,所以当时,函数取得极小值,满足条件.所以.故选:A10、D【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.【详解】三角形有两个解,,即.故选:D.11、B【解析】两直线平行,倾斜角相等,斜率均不存在或斜率存在且相等,据此即可求解.【详解】:,:斜率不可能同时不存在,∴和斜率相等,则或,∵m=-2时,和重合,故m=1.另解:,故m=1.故选:B.12、A【解析】由抛物线方程求出准线方程,由题意可得,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】由可得,准线为,设,由抛物线的定义可得,因为过点作于,可得,所以,故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.【详解】因为椭圆的焦点在轴上,所以有,因为长轴长是短轴长的2倍,所以有,故答案为:414、【解析】写出原命题的否定,再利用二次型不等式恒成立求解作答.【详解】因命题“,”为假命题,则命题“,”为真命题,当时,恒成立,则,当时,必有,解得,所以实数a的取值范围是.故答案为:15、【解析】把直线方程化为斜截式,再利用斜率与倾斜角的关系即可得出【详解】设直线的倾斜角为由直线化为,故,又,故,故答案为【点睛】一般地,如果直线方程的一般式为,那么直线的斜率为,且,其中为直线的倾斜角,注意它的范围是16、167【解析】由题设知8个孩子分得斤数是公差为17的等差数列,设第一个孩子分得斤,应用等差数列前n项和公式求,进而由等差数列通项公式求即可.【详解】由题意,设第一个孩子分得斤,则,所以,可得,故斤.故答案为:167.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】(1)利用列举法列出试验的样本空间,(2)由(1)可知共有16种情况,其中和为5的有4种,然后利用古典概型的概率公式求解即可【小问1详解】由题意可知试验的样本空间为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)【小问2详解】由(1)可知共有16种等可能情况,其中满足的有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),4种,所以“”的概率为18、(1)5(2)8km/h(3)答案见解析【解析】(1)列出关系式,根据当v=12km/h,每小时的燃料费为720元即可求解;(2)列出燃料费的函数解析式,利用导数求其最值即可;(3)讨论x的范围,结合(2)的结论可得答案.【小问1详解】设每小时的燃料费为,则当v=12km/h,每小时的燃料费为720元,代入得.【小问2详解】由(1)得.设全程燃料费为y,则(),所以,令,解得v=0(舍去)或v=16,所以当时,;当时,,所以当v=16时,y取得最小值,故为了使全程燃料费最省,船的实际前进速度应为8km/h【小问3详解】由(2)得,若时,则y在区间上单调递减,当v=x时,y取得最小值;若时,则y区间(8,16)上单调递减,在区间上单调递增,当v=16时,y取得最小值;综上,当时,船的实际前进速度为8km/h,全程燃料费最省;当时,船的实际前进速度应为(x-8)km/h,全程燃料费最省19、(1);(2).【解析】(1)根据两圆内切,以及圆过定点列式求轨迹方程;(2)利用重心坐标公式可知,,再设直线的方程为与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求解直线方程.【详解】(1)由已知可得,两式相加可得则点的轨迹是以、为焦点,长轴长为的椭圆,则因此曲线的方程是(2)因为,则点是的重心,易得直线的斜率存在,设直线的方程为,联立消得:且①②由①②解得则直线的方程为即【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系,本题的关键是根据求得,.20、(1)(2)【解析】设出,由直线的斜率为求得,结合离心率求得,再由隐含条件求得,即可求椭圆方程;(2)点轴时,不合题意;当直线斜率存在时,设直线,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得的范围,再由弦长公式求得,由点到直线的距离公式求得到的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出值,则直线方程可求.试题解析:(1)设,因为直线的斜率为,所以,.又解得,所以椭圆的方程为.(2)解:设由题意可设直线的方程为:,联立消去得,当,所以,即或时.所以点到直线的距离所以,设,则,,当且仅当,即,解得时取等号,满足所以的面积最大时直线的方程为:或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.21、(1)(2)存在,靠近点D的三等分点.【解析】(1)由题意建立空间直接坐标系,求得的坐标,由求解;(2)假设棱上存在点P,设,求得点p坐标,再求得平面PBE的一个法向量,由平面,得到为平面的一个法向量,然后由求解.【小问1详解】解:因为,所以四边形ABCE是平行四边形,又,所以四边形ABCE是菱形,,又平面与平面垂直,又平面与平面=EB,所以平面,建立如图所示空间直接坐标系:则,所以,则,所以异面直线与所成角的余弦值是;【小问2详解】假设棱上存在点P,使平面与平面的夹角为,设,则,又,设平面PBE的一个法向量为,则,即,则,由平面,则为平面的一个法向量,所以,解得.22、(1)(2)
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