哈工大材料力学(完整版)第1-8讲

第一章绪论11.材料力学的

任务、内容、范围、对象2.基本概念和名词

（构件、载荷、强度、刚度、稳定性、

变形固体、内力、应力、应变）1.构件、载荷任何结构物或机械都是由一些零部件组成的，这些零部件——构件各个构件承受的力统称为作用在构件上载荷2§1.1材料力学的任务载荷(力）产生的效应外效应——使物体的动态发生改变（物体的位置、速度、加速度变化）内效应——使物体的形态发生改变（物体的形状、尺寸大小改变）理论力学研究力产生的外效应，研究力与机械运动之间的普遍规律，研究对象抽象为——刚体材料力学研究力产生的内效应，研究力与物体的变形及破坏规律，研究对象抽象为——变形固体固体具有可变形性质，所以又称为变形固体，一切固体都属于变形固体2.承载能力要使结构物或机械在载荷作用下能够正常工作，设计的构件在力学上有一定的要求：足够的承担载荷的能力——承载能力3§1.1材料力学的任务强度(strength):构件在载荷作用下，抵抗破坏的能力刚度(rigidity):构件在载荷作用下，抵抗变形的能力稳定性(stability):构件在载荷作用下，抵抗失稳的能力3.课程的任务4§1.1材料力学的任务构件满足承载能力要求

载荷构件截面尺寸、截面形状材料的力学性质（强度、刚度和稳定性）材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供必要的理论基础和科学的计算方法。4.课程的研究方法:理论分析和实验手段相结合材料的力学性质需要通过实验获得一些理论以实验结果得出的某些假设为前提内在关系1.变形固体弹性变形：外力去掉后可消失的变形，弹性：变形固体在外力去掉后能恢复原来形状和尺寸的性质塑性变形：残余变形2.理想弹性体去掉外力后能完全恢复原状的物体自然界不存在理想弹性体5§1.2变性固体的概念及理想模型但当外力不超过某一限度时（弹性阶段）,接近于理想弹性体，外力超过这一限度，就会产生显著的塑性变形（弹塑性阶段）弹性极限固体具有可变形性质，所以又称为变形固体，一切固体都属于变形固体3.小变形假设：研究材料力学的前提条件小变形：指构件在外力作用下发生的变形量远小于构件的尺寸材料力学研究的变形：通常局限于小变形范围——小变形前提6§1.2变性固体的概念及理想模型小变形前提条件的作用（1）小变形前提保证构件处于纯弹性变形范围（2）小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析（3）小变形前提保证叠加法成立（2）小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小，在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算7§1.2变性固体的概念及理想模型AA1FFBCl（3）小变形前提保证叠加法成立：(叠加法是材料力学中常用的方法)叠加法指构件在多个载荷作用下产生的变形——可以看作为各个载荷单独作用产生的变形之代数和4.变形固体基本假设8§1.2变性固体的概念及理想模型连续性假设认为变形固体整个体积内都被物质连续地充满，没有空隙和裂缝均匀性假设认为变形固体整个体积内各点处的力学性质相同各向同性假设认为变形固体沿各个方向的力学性质相同（不适合所有的材料）1.材料力学中的内力构件在受外力(载荷)之前，内部各相邻质点之间，已存在相互作用的内力——分子相互作用力，使各质点保持一定的相对位置，使构件具有一定的几何尺寸和形状构件受外力作用后，在产生变形的同时，在其内部也因各部分之间相对位置的改变引起内力的改变——内力变化量9§1.3内力的概念由外力引起的“附加内力”材料力学内力内力：用一假象平面截为两部分，将弃掉部分对保留部分的作用以力的形式表示2.内力的概念构件在外力作用下将发生变形，同时，构件内部各部分之间将产生相互作用力，此相互作用力成为内力。10§1.3内力的概念外力内力变形外力增大，内力增大；外力去掉，内力消失内力作用的趋势：力图使受力构件恢复原状，内力对变形起抵抗和阻止作用PPmm﹜PNx内力是连续地分布在截面各个点上的力系若超过了材料所能承受的极限值，杆件就要在

m-m面处断裂3.内力的求法（截面法）用假设平面将构件截开从而揭示构件内力并确定内力的方法⑴截：用假设平面将构件在欲求内力处截开；⑵弃：保留研究部分，弃去其它部分；⑶代：以截面上的内力代替被弃部分对保留部分的作用；⑷平：建立保留部分的平衡方程，确定未知内力。11§1.3内力的概念一般情况下可向截面形心简化，合成一主矢和一主矩，它们在坐标上的分量分别为12§1.3内力的概念与轴线重合，x方向伸长与缩短引起y、z方向的相对错动绕x轴转动的力偶，引起扭转变形绕y、z轴转动的力偶，产生弯曲变形比较粗细不同的两杆：两杆的材料、长度均相同。所受的内力相同，为FN13§1.4应力的概念FNFN显然粗杆更为安全研究构件的强度问题，仅求出截面的内力是远远不够的，若要知道截面哪个点处最危险，需要研究内力在截面上各点的分布情况1.应力的概念平均应力：假设△A上的内力是均匀的14§1.4应力的概念△F△Apm

称为平均应力△A△F△Fs△FN平均正应力平均切应力K1.应力的概念通常△A上内力分布不均匀，平均应力与△A大小有关。令△A→0得到一点的应力15§1.4应力的概念△A△F△Fs△FN一点的正应力一点的切应力τ＝psinαpαστ一点的总应力σ＝pcosα应力：就是受力物体内某一截面上某一点处的内力分布集度16§1.4应力的概念集度：是指载荷的集中程度，分为线载荷集度和面载荷集度，kN/m，kN/m2分布载荷的大小，载荷分布的密集程度应力：就是受力物体内某一截面上某一点处的内力分布集度2.应力的单位17§1.4应力的概念细杆比粗杆容易被拉断的原因：细杆横截面上的应力大于粗杆可以比较不同点处的危险程度，应力越大的点就越危险，构件的破坏总是从应力最大的点处开始。FNFN1.位移的概念位移：各质点、各截面空间位置的改变：线位移、角位移18§1.5位移和应变的概念线位移：自物体内某一点的原位置到新位置所连直线的距离角位移：物体上的某一直线段、平面旋转的角度受力构件的每个局部要发生形状和尺寸的改变——变形衡量变形的大小位移应变2.应变的概念（线应变）若要研究构件内某一点

a的变形，可围绕该点取一直角六面体，在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变，例如：棱边ae

由Dx伸长到Dx+Du19§1.5位移和应变的概念（单元体）a点在x方向的平均线应变a点在x

方向的线应变（正应变）2.应变的概念（角应变）围绕该点取一直角六面体，变形前棱边ae

和af

两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。20§1.5位移和应变的概念称为点

a在平面内的角应变(切应变）同理，用分别表示y-z

平面内和

x-z平面内的切应变。3.应变的符号规定21§1.5位移和应变的概念线应变或正应变表示几何上的伸长、缩短角应变或切应变引起物体形状的改变以伸长的线应变为正，缩短的为负使夹角减小时的切应变为正，反之为负22§1.6构件变形的基本形式板块体杆件杆：空间一个方向的尺度远大于其它两个方向的尺度，称为杆（bar)体：空间三个方向且有相同量级的尺度，称为块体body板：空间一个方向的尺度远小于其它两个方向的尺度，且各处曲率均为零，称为板Plate壳壳：空间一个方向的尺度远小于其它两个方向的尺度，且至少有一方向的曲率不为零，称为壳shell。杆的两个几何要素横截面：垂直于杆长度方向的截面。轴线：各横截面中点的连线材料力学最主要的研究对象是等截面的直杆23§1.6构件变形的基本形式24§1.6构件变形的基本形式外力：一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合外力：一对大小相等、距离很近，方向相反的横向外力作用下一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下第二章内力及内力图25轴向拉伸和压缩的受力特点轴向拉伸或压缩时横截面上的轴力、轴力图材料拉伸、压缩时的力学行为ABCF2.1.2基本特性受力特点：一对大小相等、方向相反的外力，作用线与直杆轴线重合变形特点：沿轴线方向将发生伸长或缩短变形,对应横截面尺寸减小或增大。26§2.1轴向拉伸和压缩F1F1F2F2桁架中的杆件2.1.3轴力和轴力图27§2.1轴向拉伸和压缩FFmm沿m-m截开轴力的符号规定：拉正压负﹜FxF{左端：∑X=0,

–F=0=F右端：∑X=0,-

+F=0

=F和称为轴力（轴向拉压杆的截面内力）

例1：F1=3kN,F2=2kN,F3=1kN。(1)求1-1和2-2截面的轴力(2)画轴力图28§2.1轴向拉伸和压缩F1F2F31122解：1.求轴力1－1：∑X=0,FN1+F1=0

FN1＝-F1＝–3kN

2－2：左：∑X=0FN2+F1

–

F2=0

FN2=F2-F1=–1kNF1xF1xF2F3x右：∑X=0,–

F3=0=–1kN2.画轴力图

横坐标轴（x轴）代表截面的位置纵坐标轴(FN轴）代表截面的轴力值

FNx-3kN-1kN基线

例2等直杆BC,质量为m,画杆的轴力图，求最大轴力29§2.1轴向拉伸和压缩解：1.轴力计算2.轴力图与最大轴力轴力图为直线mg2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质第一阶段——弹性变形阶段：（曲线ob段）30§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为b点对应的应力称材料的弹性极限，用表示a点对应的应力称材料的比例极限ab为微弯曲线，应力-应变关系非线性对于低碳钢，由于a、b两点十分接近，可将二者视为一个点考虑2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质第一阶段——弹性变形阶段：（曲线ob段）31§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为a点对应的应力称材料的比例极限。用表示oa直线段:应力应变成线性正比关系E为比例常数，是材料拉压时的弹性模量（杨氏模量），它反映了材料抵抗拉压弹性变形的能力2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质第二阶段——屈服（流动）阶段:（曲线bc段）32§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为从b点开始，变形进入弹塑性阶段，变形包含一部分弹性变形，一部分塑性变形（bc段的变形）外力在小范围内波动，但变形显著增加。即材料暂时失去了抵抗变形的能力，称为屈服（流动）现象试件表面出现滑移线（与试件轴线成45度角）。曲线最低点所对应的应力，称为材料的屈服极限，用表示2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质第三阶段——强化阶段：（曲线ce段）过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强化。曲线最高点——强度极限，用表示。33§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质第四阶段——颈缩破坏阶段：（曲线ef段）34§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小——颈缩现象颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速降低，最后在颈缩处试件被拉断。2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质35§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为比例极限——弹性极限——屈服极限——强度极限——其中和是代表材料强度性质的重要指标36卸载====》沿与弹性阶段直线大体平行的线卸载规律2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为2.2.2低碳钢拉伸时的力学性质变形性质：弹性变形和塑性变形衡量塑性的指标——延伸率：其中l1

是试件包括塑性变形的长度，l0

试件试验前的长度37§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为l0l1382.2.2低碳钢拉伸时的力学性质39§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为卸载规律沿与弹性阶段直线大体平行的dd”线回到d”点。若立即从新加载，沿d”d线回至d点，屈服极限提高可见，在再次加载过程中，直到d点以前，试件变形是弹性的，过d点后才开始出现塑性变形通过卸载的方式而使材料性质获得改变的做法成为冷作硬化2.2.3其他几种材料拉伸时的力学性质没有明显屈服阶段的塑性材料例如，中碳钢、合金钢等40§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为把产生0.2%塑性应变时所对应的应力称为材料的屈服极限，用表示2.2.3其他几种材料拉伸时的力学性质典型的脆性材料（铸铁、混凝土）,一般不宜选做承受拉力的构件,抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。41§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为铸铁拉伸时特点：没有屈服阶段，也没有颈缩现象；

没有明显的直线段；按弦线的斜率近似地确定弹性模量E只能测得断裂时的强度极限，而且拉伸时强度极限值较低。2.2.4典型材料压缩时的力学性质低碳钢屈服阶段以前:与拉伸曲线基本重合低碳钢屈服阶段以后：试件的长度愈来愈短；直径不断增大；变成鼓形；最后压成薄饼，不断裂42§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为低碳钢压缩时，弹性模量

E、屈服极限与拉伸时大致相同，测不出强度极限2.2.4典型材料压缩时的力学性质铸铁：与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极限很高，例如，HT150压缩时的强度极限约为拉抻时强度极限的四倍

抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点，也是脆性材料的共同特点43§2.2材料在拉伸和压缩时的力学行为断裂面与轴线大致成35

的倾角第二章扭矩弯曲44§2.3扭转§2.4梁的平面弯曲及其计算简图§2.5梁的内力——剪力与弯矩§2.6剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图2.3.1扭转特点受力特点：一对大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆轴线的外力偶变形特点：杆件的任意两个横截面发生相对转动扭转角：杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移45§2.3扭转以扭转变形为主的杆件——轴2.3.2求扭转内力的方法—截面法46§2.3扭转ⅠⅠIIT2.3.3受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩：扭矩，Ｔ2.3.4扭矩的符号规定—右手螺旋法则右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负47§2.3扭转扭矩符号规定IIIIIIII例1计算1-1,2-2,3-3横截面上的扭矩48§2.3扭转5Ｍe1.5Ｍe1.5Ｍe2Ｍe1133BCAD1.5Me1.5Me5Me2Me49§2.3扭转11x1.5MeBT1A1.5MeB1.5Me22xT2BCAD1.5Me1.5Me5Me2Me11223333D2MexT3解：1-1截面，取左侧为脱离体2-2截面，仍取左侧为脱离体3-3截面，取右侧为脱离体50§2.3扭转BCAD1.5Me1.5Me5Me2Me112233扭矩图工程中的传动轴，通常不是直接给出作用在轴上的外力偶51§2.3扭转单位:kW轴传递的功率单位:r/min轴的转速,rpm力偶做功（每分钟）传动轴的转速n=300r/min；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。试作轴的扭矩图。52§2.3扭转53§2.3扭转BCAD4.784.7815.96.37112233扭矩图1.弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线变形特点——杆轴线由直线变为曲线54§2.4梁的平面弯曲和计算简图

主要产生弯曲变形的杆---梁2.平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）55§2.4梁的平面弯曲和计算简图对称轴对称轴对称轴对称轴2.平面弯曲的概念56§2.4梁的平面弯曲和计算简图纵向对称面纵向对称轴梁的轴线——梁的轴线与横截面的对称轴（纵向对称轴）所构成的平面2.平面弯曲的概念57§2.4梁的平面弯曲和计算简图纵向对称轴梁的轴线支撑——支座反力（支反力）载荷集中力分布力集中力偶梁上的外力2.平面弯曲58§2.4梁的平面弯曲和计算简图受力特点：所有外力（载荷和支座反力）作用在纵向对称面内，并垂直于轴线变形特点：轴线由直线变成了在纵向对称面内的平面曲线。3.梁的计算简图59§2.4梁的平面弯曲和计算简图纵向对称轴梁的轴线用梁的轴线来代替实际的梁3.梁的计算简图根据支座对梁在载荷平面内的约束情况：支座简化的三种形式：60§2.4梁的平面弯曲和计算简图固定绞支座可动绞支座可转动，不能移动固定端支座可转动和水平移动不能移动、不能转动3.梁的计算简图工程中，常见的静定梁的计算简图有以下三种：61§2.4梁的平面弯曲和计算简图

简支梁一端是固定铰支约束另一端可动铰支约束

悬臂梁一端为固定端，另一端自由

外伸梁绞支座支撑梁的一端或两端伸于支座之外3.梁的计算简图62§2.4梁的平面弯曲和计算简图楼房的横梁阳台的挑梁63§2.5梁的内力——弯矩——剪力剪力和弯矩的正负号规则64§2.5梁的内力左上右下为正上压下拉为正剪力和弯矩的正负号规则65§2.5梁的内力上压下拉为正本例中的剪力和弯矩均为负值例题1：求截面内力66§2.5梁的内力假设剪力和弯矩为取正号的方向解：(1)求支座反力：(2)取出脱离体：67§2.5梁的内力假设剪力和弯矩为取正号的方向(2)取出脱离体：在集中力作用处的截面，不能含糊地说该截面上的剪力是多大，而应该说“集中力作用处的左邻截面和右邻截面的剪力各为多大”68§2.5梁的内力假设剪力和弯矩为取正号解：(1)求支座反力：(2)取出脱离体：例题2：求截面力偶69§2.5梁的内力假设剪力和弯矩为取正号(2)取出脱离体：在集中力偶作用处的截面，不能含糊地说该截面上的弯矩是多大，而应该说“力偶作用处的左邻截面和右邻截面的弯矩各为多大”70§2.5梁的内力例题3：求1-1、2-2两截面的内力解：(1)求支座反力：1m1.5m(2)取脱离体，求内力71§2.5梁的内力例题4:求1-1、2-2两截面的内力解：(1)求支座反力：(2)取脱离体，求内力72§2.5梁的内力例题5:求1-1、2-2两截面的内力解：(1)求支座反力：(2)取脱离体，求内力在集中力作用处的截面，不能含糊地说该截面上的剪力是多大，而应该说“集中力作用处的左邻截面和右邻截面的剪力各为多大1-1截面位于支座右侧73§2.6剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图轴向拉伸与压缩扭转F1=3KNF2=2KNF3=1KN11225Ｍe1.5Ｍe1.5Ｍe2Ｍe1133FNx-3kN-1kN基线

74§2.6剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程横截面的位置用梁的轴线坐标表示,横截面上的剪力和弯矩就可以表示成的函数2.剪力图和弯矩图以横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值剪力方程

弯矩方程剪力图：正的剪力画在轴上方，负的剪力图画在下方

弯矩图（两种做法）土建工程

负弯矩画在轴上方机械工程

正弯矩画在轴上方75§2.6剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图剪力图弯矩图

弯矩图（两种做法）土建工程

负弯矩画在轴上方机械工程

正弯矩画在轴上方76§2.6剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图例题剪力方程解：利用对称性,支反力弯矩方程第二章扭矩弯曲77§2.6内力图——剪力图与弯矩图§2.7弯矩、剪力和分布荷载之间的关系§2.8利用弯矩、剪力和载荷的关系作剪力图和弯矩图78§2.6剪力图与弯矩图解：1)求约束反力,并验算2）分段列剪力与弯矩方程AC段：BC段：例179§2.6剪力图与弯矩图解：1)求约束反力,并验算2）分段列剪力与弯矩方程AC段：BC段：例13）作剪力图与弯矩图§2.6剪力图与弯矩图例13）作剪力图与弯矩图在集中力作用处：剪力图发生突变，其突变量就等于集中力的数值；突变的方向与集中力方向相同弯矩连续，但弯矩图在此出现转折（斜率不同的点）§2.6剪力图与弯矩图例2解：1）求支座反力2）分段列内力方程AC段CB段§2.6剪力图与弯矩图例2解：1）求支座反力2）分段列内力方程AC段CB段3）作剪力图与弯矩图§2.6剪力图与弯矩图例23）作剪力图与弯矩图在集中力偶作用处：剪力连续，弯矩发生突变，其突变量就等于集中力偶矩的值。顺时针集中力偶使弯矩向下突变84§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系设梁上作用有任意的分布载荷载荷集度为，规定的方向以向上为正85剪力函数的一阶导数等于分布载荷集度§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系86§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系忽略高阶小量弯矩函数的一阶导数等于剪力函数87§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系微分关系几何意义剪力图上某点处切线的斜率等于梁上该点处的分布载荷集度弯矩图上某点处切线的斜率等于梁上该点处截面上的剪力弯矩图的凹向取决于分布载荷集度的正负分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律88§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系1.梁段上无分布载荷：剪力图切线斜率为零弯矩为一次函数常数弯矩图为平直线弯矩为增函数，下斜直线弯矩为减函数，上斜直线弯矩图直线Fs为常数，剪力图为平直线分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律89§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系1.梁段上无分布载荷：若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律90§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数剪力图为斜直线常数91§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系一次函数为二次函数，弯矩图为二次曲线应有极小值应有极大值弯矩图为上凸曲线弯矩图为下凸曲线极值的位置在的截面分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数例1§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系例2§2.7剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系例3集中力作用处：剪力图突变，弯矩图出现转折集中力偶作用处：剪力图不变，弯矩图突变作图要点(1)计算支反力，并在梁上标出其实际方向(2)利用微分关系，确定剪力和弯矩图的形状(3)考虑集中力、集中力偶的位置，剪力和弯矩的突变(4)计算控制截面（剪力、弯矩图有变化的）上的剪力和弯矩值(5)验算，剪力图和弯矩图自左端到右端应封闭自左向右剪力突变方向与集中力方向相同顺时针转向的弯矩使弯矩图向下突变

§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图例1§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图(1)计算支反力，标出其实际方向作图要点：(2)利用微分关系，确定形状(3)考虑集中力、集中力偶的突变自左向右剪力突变方向与集中力方向相同，顺时针转向的弯矩使弯矩图向下突变(4)计算控制截面值(5)验算，自左端到右端应封闭§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图例2例3§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图利用剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系定值任意两截面的剪力差等于两截面间分布载荷图所包围的面积

任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积例4§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图任意两截面的剪力差等于两截面间分布载荷图所包围的面积

任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图例5例6例7§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图①②③④①②例8§2.8利用微分关系作剪力、弯矩图②①④③①②③第三章应力计算及强度条件102§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力§3.2剪切103§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式一、轴向拉压杆横截面的应力1、实验：变形前受力后FF2、变形规律：横向线——仍为平行的直线，且间距增大。纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。平面假设：变形前垂直轴线的横截面，变形后仍为垂直于轴线的平面104§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力4、应力的计算公式：——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式3、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布F

胡克定律105§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力正应力的符号规定——同内力拉应力为正值，方向背离所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：公式的使用条件(1)轴向拉压杆(2)除外力作用点附近以外其它各点处。106§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力圣维南原理

作用于杆上的外力可以用其等效力系代替，但替换后外力作用点附近的应力分布将产生显著影响，且分布复杂，其影响范围不超过杆件的横向尺寸。外力的等效外力对内力的影响区域107§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1、斜截面上应力确定(1)内力确定：(2)应力确定：①应力分布——均布②应力公式——FNa=FFFFFFNaFNa108§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力2、符号规定⑴、a：斜截面外法线与x轴的夹角。由x轴逆时针转到斜截面外法线——“a”

为正值；由x轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值⑵、σa：同“σ”的符号规定⑶、τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。aF109§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力,横截面上。,450斜截面上。FFNa3、斜截面上最大应力值的确定110§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力（其中n为安全系数,值＞1）⑶、安全系数取值考虑的因素：（a）给构件足够的安全储备。（b）理论与实际的差异。⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。σu⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[σ]”1、极限应力、许用应力三、拉压杆的强度计算111§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力等直杆：变直杆：≤112§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力（3）确定外荷载——已知：[σ]、A。求：FFNmax≤[σ]A→F（2）设计截面尺寸——已知：F、[σ]，求：A解：A≥FNmax／[σ]3、强度条件的应用：（解决三类问题）（1）校核强度——已知：F、A、[σ]，求：解：？≤？解：113§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力例1已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。解：1、轴力FN

=F

=25kN2、应力：3、强度校核：此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25KNXFN114§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力例2已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.试校核支架强度.解:1.内力分析2.强度条件（压）（拉）2m3m木杆满足强度要求钢杆不满足强度要求§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力例2已知钢杆AB为圆杆,直径d=25mm,[σ]钢=140MPa,木杆BC为正方形,边长为a=100mm,[σ]木=10MPa,F=50kN.试校核支架强度.2m3m解:1.内力分析2.强度条件（压）3.重新选择钢杆截面§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力斜撑杆例3

已知：l,h,F（0<x<l）,AC为刚性梁,斜撑杆BD

的许用应力为[s

].试求：为使杆BD重量最轻,

的最佳值.§3.1轴向拉压杆横截面及斜截面上的应力，解：1.刚性梁受力分析由强度条件欲使VBD

最小2.

角最佳值的确定§3.2剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线相距很近。变形特点：构件沿两力作用线之间的某一截面产生相对错动或错动趋势。FF铆钉连接剪床剪钢板剪切面§3.2剪切双剪切§3.2剪切FF连接件的破坏形式一般有两种：1、剪切破坏

构件两部分沿剪切面发生滑移、错动2、挤压破坏

在接触区的局部范围内，产生显著塑性变形挤压破坏实例剪切与挤压破坏都是复杂的情况，这里仅介绍工程上的实用计算方法§3.2剪切§3.2.2剪切的实用计算名义切应力计算公式：切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，在工程上假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的剪切面上的内力——剪力用截面法——FF§3.2剪切§3.2.2剪切的实用计算剪切强度条件：——名义许用切应力常由实验方法确定剪切强度条件同样可解三类问题许用切应力[τ]可以从有关设计手册中查得，或通过材料剪切实验来确定§3.2剪切§3.2.2剪切的实用计算FF铆钉受挤压时，挤压面为半圆柱面挤压力板的厚度计算挤压面积挤压力分布挤压面积的计算（1）挤压面积为平面按实际面积计算。（2）挤压面积为非平面按投影面积计算。§3.2剪切§3.2.2剪切的实用计算PP挤压力板的厚度假设挤压应力在挤压面积上均匀分布§3.2剪切§3.2.2剪切的实用计算由于截面急剧变化引起应力局部增大现象——应力集中§3.2剪切应力集中对构件强度的影响对于脆性材料构件，当

smax＝sb

时，构件断裂对于塑性材料构件，当smax达到ss

后再增加载荷，

s

分布趋于均匀化，不影响构件静强度§3.2剪切应力集中对构件强度的影响截面尺寸改变得越急剧，角越尖，孔越小，应力集中的程度就越严重。

§3.2剪切解：

1、按剪切强度计算例1

已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[s]bs

=300MPa，[s]=160MPa。试求：[F]§3.2剪切例1

已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[s]bs

=300MPa，[s]=160MPa。试求：[F]2、按挤压强度计算3、按钢板拉伸强度计算§3.2剪切例2

已知：F=80kN,d=10mm,b=80mm,d=16mm,[t]=100MPa,[s]bs=300MPa,[s]=160MPa，试校核接头的强度搭接接头§3.2剪切解：1.接头受力分析

当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心时，通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等若有n个铆钉，则每一个铆钉受力§3.2剪切2.强度校核剪切强度：挤压强度：拉伸强度：接头强度足够§3.2剪切解：1.按剪切强度条件求F假定每个铆钉受力相同，每个铆钉剪切面上的剪力为Fs=F/3

例3

两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,铆钉的[]=100MPa,铆钉的[]=300MPa,钢板的[]=160MPa

，试求许用载荷F§3.2剪切

例3

两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,铆钉的[]=100MPa,铆钉的[]=300MPa,钢板的[]=160MPa

，试求许用载荷F2.按挤压强度条件求F§3.2剪切

例3

两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,铆钉的[]=100MPa,铆钉的[]=300MPa,钢板的[]=160MPa

，试求许用载荷F3.按板抗拉强度条件求F1）.按剪切强度条件求F=94.2kN2）.按挤压强度条件求F=180kN得到许用载荷[F]=94.2kN§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转一、薄壁圆筒横截面上的应力变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,r0：为平均半径）(壁厚§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转横截面上切应力的计算公式根据精确的理论分析,当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%近似计算公式§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转二、关于切应力的若干重要性质剪切虎克定律T——做薄壁圆筒的扭转试验可得§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转二、关于切应力的若干重要性质在弹性范围内切应力与切应变成正比关系剪切虎克定律§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转切应力互等定理§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转

单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'

在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。切应力互等定理§3.3扭转3.3.1薄壁圆筒轴的扭转证明切应力互等定理的另一个例子切应力互等定理F

=-45oaF

=45o§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力变形-物理-静力学变形现象

假设

变形几何关系物理关系

应力的分布规律静力学关系

应力计算公式§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，由矩形变成了平行四边形。横截面——变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小，以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力1）2）同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。（1）变形几何条件——平面假设§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力D’C’取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形（1）变形几何条件§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力→方向垂直于半径弹性范围内横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比（2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力（3）静力学条件：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式令代入物理关系式得：Ip—截面的极惯性矩，单位：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式，适用于最大切应力不超过剪切比例极限的实心圆轴和截面为环形的空心圆轴§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：二、圆轴中τmax的确定单位：§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力三、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wt实心圆截面：OdrrD纯几何量，与力学性质无关极惯性矩对点，惯性矩对轴§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力空心圆截面：DdrrOd§3.3扭转3.3.2圆轴扭转时横截面上的应力空心圆截面DdrrOd实心圆截面OdrrD§3.3扭转3.3.3扭转切应力强度条件1）强度条件：2）强度条件应用：校核强度:≤≥设计截面尺寸:确定许用载荷：≤等截面圆轴:变截面圆轴:§3.3扭转例1：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论(2)利用精确的扭转理论§3.3扭转例2已知

T=1.5kN

.

m，[τ]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

=

0.9

的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径§3.3扭转2.确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻§3.3扭转例3

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力[τ]=80MPa，试校核该轴的强度。解：

1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACBABC§3.3扭转BC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件2214T图（kN·m）AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm[τ]=80MPaABC§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质§3.4.1静矩和形心一、静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的微静矩:2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:3、静矩的值可以是正值、负值、或零。§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质§3.4.1静矩和形心4、静矩和形心的关系可知静矩和形心的关系由平面图形的形心公式结论：图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质求图形对y、z

轴的静矩Z轴过形心§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质§3.4.1静矩和形心二、简单图形的形心1、形心坐标公式：2、形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在这两对称轴的交点处。§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质§3.4.1静矩和形心三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：基本图形----指面积、形心位置已知的图形四、组合图形的形心：利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质例1

试确定下图的形心。801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形2)、求形心§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质801201010c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示zy2)、求形心§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质解法三：负面积法求形心：80120101010zy§3.4.2惯性矩和惯性积11/5/2023166§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质1、惯性矩的定义：dA对z轴的惯性矩:dA对y轴的惯性矩:2、量纲：m4、mm4yzdAzyo3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）4、惯性矩的取值恒为正值5、极惯性矩：（对o点而言）图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:§3.4.2惯性矩和惯性积11/5/2023167§3.4静矩、惯性矩、惯性积及其性质6、惯性矩与极惯性矩的关系：

图形对任