2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、填空题1．已知集合，，则__________．【正确答案】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，1，，，，．故．2．设a、b都为正数，且，则的最小值为________.【正确答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为a、b都为正数，所以有：，当且仅当时取等号，即时取等号，故3．函数，则______________.【正确答案】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求.【详解】由解得，所以.故4．已知且，若，，则_______________.【正确答案】6利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：∴故6对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3)逆用法则、公式；(4)应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．【正确答案】【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.故6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．【正确答案】或【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.故或7．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是______．【正确答案】1.5##【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，因为，，所以下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故8．已知函数的最小值为-2，则实数a=________.【正确答案】【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，当时，即，函数在时单调递减，因此，显然符合；当时，即时，，显然不符合；当时，即时，函数在时单调递增，因此，不符合题意，综上所述：，故9．设方程的实根，其中k为正整数，则所有实根的和为______．【正确答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.【详解】令，，所以函数图象关于轴对称，令，则的图象关于直线对称，因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线的交点横坐标.由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.所以.故4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．【正确答案】【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为的对称轴为直线，所以在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，所以，解得，所以或，所以实数a的取值范围为，故此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x，y是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为，若，则，若，则，即，所以，即“”是“”的充要条件，故选：C.12．如果，那么（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C正确.【详解】因为，则，又因为在上单调递减，那么，故选：C．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.【详解】函数的图像关于对称，所以当，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大.要使函数在区间上都是严格减函数，只需；要使在区间上都是严格减函数，只需；故a的范围为.故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1)(2)【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为；（2），故解集为.16．已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数的单调性并证明．【正确答案】(1)是奇函数，理由见解析(2)在上单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：函数，则定义域关于原点对称，因为，所以是奇函数；（2）任取，则

，因为，所以，所以，所以在上单调递减.17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像．(1)求函数的解析式(2)设函数，若对一切恒成立，求实数m的取值范围；(3)讨论关于x的方程，在区间上解的个数．【正确答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象；（2）函数，，若对一切恒成立，则对一切恒成立，由在严格单调递增，得，所以，即的取值范围是；（3）关于的方程且，所以只需讨论在区间且x≠0上的解的个数．由二次函数且的图象得，当时，原方程的解有0个；当时，原方程的解有1个；当时，原方程的解有2个．18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a取值范围．【正确答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3)【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案；（2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，②的最大值不超过75，③在上恒成立；（2），不满足要求③，故不符合；（3）因为，所以函数满足条件①，由函数满足条件②得，解得，由函数满足条件③得，对恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以．综上所述，实数的取值范围是．19．已知函数(1)设k、m均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式恒成立，求k的取值范围；(2)设t为实数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根且，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．【正确答案】(1)(2)，【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可；(2)先得出，再对，进行分类讨论.【详解】（1）当时，，故.要使得不等式恒成立，需使，即对于任意的都成立.因为，所以.由，得（当且仅当时取等号）所以；（2）由函数，得，①若，则方程变为，即，则，为递增函数，，则有；②若，则方程变为，即，且，故，于是分别是方程、的两个根，则，，即，由于函数与的图像关于直线对称，故，，故，且，故此函数的定义域为.方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；于是，实数a，b所满足的条件为：．（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数；当且时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．因此，当时，函数在区间上具有性质P．关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1.函数的定义域是_________．【正确答案】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为考点：求函数定义域2.已知幂函数的图象过点，则______.【正确答案】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．【详解】由题意设，∵函数的图象过点，∴，∴，∴，∴．故答案为．本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3.已知函数的两个零点分别为，则___________.【正确答案】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；【详解】解：依题意令，即，所以方程有两个不相等实数根、，所以，，所以；故4.已知函数是奇函数，则实数______．【正确答案】0【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，∴，即，整理得在R上恒成立，∴．故答案为．本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5.若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．【正确答案】分析】由题知，再解不等式组即可得答案.【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，所以，即，解得,所以，实数的取值范围是故6.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【正确答案】【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为则，则，即．因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．故答案为.7.已知函数，且，那么=_________.【正确答案】-12【分析】代入，整体代换求值即可.【详解】由题意，，即，故,故-128.已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为________．【正确答案】【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可.【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号，因为当时，；当时，；所以，根据对勾函数性质，当时，，所以，当时，，因为关于的不等式在区间上总有解，所以，，解得，所以，实数的取值范围为故9.已知函数，函数，如果恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．【正确答案】分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，，由，得，设，若，则，，则，若，则，，则，若，则，，则，即，作出的图象如图，当时，，当时，，由图象知要使有两个零点，即有四个根，则满足或，故函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10.设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________【正确答案】【分析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值.【详解】由题意知：，使成立，而当且仅当时等号成立，∴，而，即，∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为.故答案为.关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值.二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11.已知为实数，若，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以是的必要不充分条件．故选:B．12.已知实数，，则的最小值为（）A.100 B.300 C.800 D.400【正确答案】D【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为400.故选：D13.设函数的定义域为，对于下列命题：①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有；④若是函数的最小值，则存在，使得．则下列为真命题的选项是（）A.①②都正确 B.①③都错误 C.③正确④错误 D.②错误④正确【正确答案】D【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误；对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有，故正确；对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.故真命题的选项是②错误④正确.故选：D14.设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.【详解】因为,分别是函数和的零点则,分别是和的解所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标所以交点分别为因为所以,由于函数与函数和函数都关于对称所以点与点关于对称因为关于对称的点坐标为所以即,且所以,由于,所以不能取等号因所以即故选:D本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，所以，【小问2详解】解：由知；所以.16.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.【小问1详解】由题意知，当时，（万件），则，解得，∴．所以每件产品的销售价格为（元），∴2020年利润．【小问2详解】∵当时，，∴，当且仅当即时等号成立．∴，即万元时，（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，设，