2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测-分式方程的解法及应用

中考数学一轮复习资料五合一《核心考点＋重点题型＋高分秘籍＋题组特训＋过关检测》(全国通用版)第10讲 分式方程核心考点1：分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．核心考点2：分式方程的解法1.基本思路：将分式方程化为整式方程．2.解分式方程的具体步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④检验．易错点：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．核心考点3：分式方程的增根增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．核心考点4：分式方程的应用解题步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答案．分式方程是中考数学中一项非常重要的内容,必考内容。同时也是丢分比较多的地方,主要原因有二,其一是解分式方程时易忘记验根;其二是同学对分式方程增根的理解不透,在涉及到增根或无解的分式方程问题中丢分;其三是在其他几何或函数综合压轴题中涉及到的分式方程比较复杂,比较容易解错.分式方程部分主要题型有三种,其一,是解分式方程;其二是涉及增根问题;其三是应用题.1——考查分式方程的概念1．下列关于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．选项A、B、D是整式方程，不符合题意；选项C，是分式方程，符合题意；故选：C．【反思】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．①的分母中含有未知数，是分式方程；②是整式方程；③是整式方程；④的分母中含有未知数，是分式方程．故选：C．【反思】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．2——考查分式方程的增根问题3．若分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．【分析】先化分式方程为整式方程，令分母，代入整式方程计算m的值．因为，去分母得：，解得：因为分式方程有增根，所以，即：是方程增根，所以，故选B．【反思】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．4．已知关于x的方程无解，则m的取值为（）A．2 B．5 C． D．2或5【分析】去分母把分式方程化成整式方程，再分整式方程无解和整式方程有解但是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．去分母得：，整理为：，当，即时，此方程无解，原分式方程也无解，当时，由得：，把代入得：，解得：，∴或2．故选D．【反思】本题考查了分式方程的解，掌握整式方程无解和整式方程有解两种情况进行讨论是关键．3——根据分式方程的解的情况求字母的范围5．如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是（）A． B．且C． D．且【分析】根据得出，为正数，即，从而得出m的取值范围．再根据，推出．解得：方程的解是正数，即且故选：D【反思】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．，∵分式方程的解为正数，即，∴，又∵使分式方程有意义，，∴，∴，综上：且，故选：B．【反思】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．3——考查分式方程的解法7．解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程两边同时乘以，得：，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，经检验是分式方程的解．【反思】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．8．解方程：．【答案】【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．去分母，得，解得，经检验，是原方程的解．【反思】本题考查了解分式方程，解题的关键是一定要注意解分式方程必须要检验．4——考查分式方程的应用9．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本．(1)这种科普书和这种文学书的价格各是多少？(2)若准备用60元购买科普书和文学书两种书共10本，则至少要购买文学书多少本？【分析】（1）设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，根据所买的科普书比所买的文学书少1本列出方程，解方程即可得到答案；（2）设购买文学书m本．根据用60元购买科普书和文学书两种书共10本列出不等式，解不等式，即可得到答案．（1）设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，由题意得，，解得：，经检验是原分式方程的解，且符合题意，则科普书的价格为：（元）．答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元；（2）设购买文学书m本．则有，解得，．答：至少要购买文学书6本．【反思】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是解题的关键．10．小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，则，答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，解得：，答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．【反思】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．——凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！在学习过程中出现各种各样的错误是再所难免的，你要想考高分，一定要注意老师强调的易错处，这是经验之谈，凡是老师反复强调的易错处一定要想尽一切办法避免，只有这样，你才能考高分，别人都错的你不错，才有可能超越别人，突出自己！秘籍九：凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！一、选择题1．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．3．若关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A．-1 B．-2 C．1 D．24．若方程有增根，则的值是（）A．5 B．3 C．-3 D．25．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（

）A． B．4 C． D．4或6．关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且7．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（

）A． B． C． D．8．若方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且二、填空题9．分式方程的解为________．10．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为_________．11．若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．12．关于的方程有增根，则______．13．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．14．若关于x的分式方程无解，则___________．三、解答题15．解分式方程(1)； (2)．16．解方程．(1) (2)17．解方程：(1)； (2)．18．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？19．如图，为庆祝2022年北京冬奥会圆满落幕，学校开展了以冬奥为主题的体育活动，计划购买A，B两种钢笔用来奖励表现突出的学生，已知B种单价比A种单价多5元，且用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同．(1)求购买A，B两种钢笔的单价各是多少元；(2)若购买A种钢笔的数量是B种钢笔数量的2倍，且资金不超过600元，则购买B种钢笔的数量最多是多少支?20．2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．进价如下表所示：吉祥物冰墩墩雪容融进价（元/个）8060售价（元/个）(1)已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．求这两种摆件的销售单价；(2)该电商网店计划购进两种吉祥物摆件共90个，且“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．请问最多购进“冰墩墩”摆件多少个？一、选择题1．下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．2．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．解分式方程时，去分母后，得（

）A． B．C． D．5．小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（

）．小明的解法：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④系数化为1，得，⑤经检验是原分式方程的解．⑥小亮的解法：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④系数化为1，得，⑤经检验是原分式方程的解．⑥A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确C．两人都正确 D．两人都错误6．如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（

）A． B．C． D．7．2022年5月，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，其中根据不同学段制定了相应的学段目标．某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，定期开展课外劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80千克土豆，设乙班平均每小时挖千克的土豆，依题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．欧拉（L．Euler，1707—1783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同．第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）．”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了x个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（

）A． B．C． D．二、填空题9．分式方程的解为____．10．若关于x的方程无解，则a的值是______．11．关于的分式方程无解，则的取值范围为______．12．定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为____________．13．对于实数和，定义一种新运算“*”：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是__________．三、解答题14．解分式方程：(1)． (2)15．解分式方程：(1)． (2)．16．解方程：(1)； (2)．17．为美化环境，提升城市形象，市政府计划对青竹湖路与开福大道十字路口面积为的绿化带进行改造升级，有甲、乙两个工程队可供选择．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的改造时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成改造的面积分别是多少？(2)若每天需付给甲队的改造费用为万元，乙队为万元，在不考虑工期的情况下，单独安排甲队完成，单独安排乙队完成，和甲乙两队合作完成，三种方案哪种费用最少？18．某水果超市在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用1452元所购买的质量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．设第一次购进的水果的进价是x元/千克．(1)第二次购进水果的进价是______元/千克，第一次、第二次购进水果的质量分别为______千克和______千克，（用含有x的式子表示）；(2)求第一次购买的水果的进价是每千克多少元？(3)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？19．某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？20．已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：第x天日销售单价（元/千克）日销售量（千克）(1)第几天该商品的销售单价是元？(2)在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？中考数学一轮复习资料五合一《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》(全国通用版)第10讲 分式方程的解法及应用题组特训详解选择题1．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，故选：B．【反思】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．故选：D．【反思】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．3．若关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【分析】分式方程转化为整式方程，整理成，由方程无解知，据此求解可得．【详解】解：，即方程两边都乘以，得：，整理，得：，当，即时，方程无解，∴，∴，故选：B．【反思】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确分式方程什么时候无解．4．若方程有增根，则的值是（）A．5 B．3 C．-3 D．2【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再把方程的增根代入整式方程求解m即可.【详解】解：，去分母得：∵的增根为∴故选B.【反思】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值”是解本题的关键.5．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（

）A． B．4 C． D．4或【分析】先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值．【详解】方程两边同时乘以得去括号得移项合并同类项得∵是一个完全平方式，∴，解得，∵关于y的分式方程的解为整数，当时，，经检验，是原分式方程的解；当时，，此时分式分母为0；故选C．【反思】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验．6．关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且【分析】首先解此方程，再根据此方程的解是正数及，即可求解．【详解】解：去分母，得：，解得，此方程的解是正数且，且，解得且，故选：D．【反思】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．7．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（

）A． B． C． D．【分析】解不等式组，由题意确定出的范围；分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据题意得不等式，确定的范围；最后确定符合条件的的值，问题得解．【详解】解：解不等式组得由不等式组有解，得解得：分式方程去分母得：解得：关于的分式方程的解为非负数，且，解得且，且，为整数，则满足题意的整数的值的和是故选：C．【反思】本题是不等式组与分式方程的综合，考查了解一元一次不等式组，解分式方程，要注意的是，分式方程的增根也是非负数，此时满足条件的的值要排除．8．若方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【分析】根据分式有解得到，再根据分式方程的解为非负数求出，即可得到答案．【详解】解：解方程得，∵方程的解是非负数，而且，∴，∴而且，得且，∴当且时方程的解是非负数．故选：D【反思】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．二、填空题9．分式方程的解为________．【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．【详解】解：，方程两边都乘以约去分母得：，解这个整式方程得，检验：当时，，∴是原分式方程的解．故答案为：．【反思】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．10．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为_________．【分析】利用概率公式得到方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，也符合题意，故答案为：10．【反思】本题考查利用概率计算数量，解分式方程，熟练掌握概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．11．若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．【分析】根据三角形三边关系得：，解方程求出方程的解，然后根据的范围求出的范围即可．【详解】解：由题意得，解方程，得，∴，且，解得，且，故答案为：，且．【反思】本题考查了一元一次不等式、分式方程、三角形三边关系等知识点，分式的分母不为零是本题正确的关键．12．关于的方程有增根，则______．【分析】先将原方程变形为整式方程，再将代入求得m的值即可．【详解】解：方程左右两边同时乘以得：∵原方程有增根∴∴，解得．故答案为：5．【反思】本题主要考查了分式方程的增根、解分式方程等知识点，正确理解分式方程的增根的概念是解题关键．13．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是______．【分析】由新定义运算可得，再去分母化为整式方程，结合原方程无解，可得答案．【详解】解：∵，，而，∴，∴，∴，当时，即时，方程无解，当时，当时，原方程有增根，∴，解得：；综上：或；故答案为：或．【反思】本题考查的是新定义运算，分式方程的无解问题，理解题意，构建出新的分式方程是解本题的关键．14．若关于x的分式方程无解，则___________．【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．【详解】解：方程两边都乘，得，化简得，得：，当时，方程无解；当时，分母为零，分式方程无解，把代入整式方程，；把代入整式方程，得；综上可得：或3或．故答案是：或3或．【反思】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．三、解答题15．解分式方程(1)；(2)．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】（1）解：两边同时乘以得：，解得：，经检验为原分式方程的解，∴分式方程的解为；（2）解：两边同时乘以得：，解得：，经检验为原分式方程的解，∴分式方程的解为．【反思】此题考查了解分式方程，关键是去分母化为整式方程，解分式方程注意要检验．16．解方程．(1) (2)【分析】（1）根据分式方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，验根计算即可．（2）根据分式方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，验根计算即可．【详解】（1）解：方程两边同乘得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：，检验：当时，，∴是原方程的解；（2）解：方程两边同乘得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，检验：当时，，∴是原方程的解；【反思】本题考查的是分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）去分母时要注意符号的变化．17．解方程：(1)； (2)．【分析】（1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可；（2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可．【详解】（1）解：当时，，故是方程的解；（2）解：当时，，故是方程的增根，原方程无解．【反思】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．18．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？【分析】（1）设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，根据题意．列出方程，即可求解；（2）根据销售这两批服装的总收入总成本所获利润，即可得到答案．【详解】（1）解：设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，根据题意，得解得：，经检验是原分式方程的解，且符合题意，∴，答：商场两次共购进了200件服装；（2）解：元，答：共盈利13200元．【反思】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．19．如图，为庆祝2022年北京冬奥会圆满落幕，学校开展了以冬奥为主题的体育活动，计划购买A，B两种钢笔用来奖励表现突出的学生，已知B种单价比A种单价多5元，且用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同．(1)求购买A，B两种钢笔的单价各是多少元；(2)若购买A种钢笔的数量是B种钢笔数量的2倍，且资金不超过600元，则购买B种钢笔的数量最多是多少支?【分析】（1）设购买A种钢笔的单价为元，则购买B种钢笔的单价为元，根据“用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同”列出分式方程求解即可；（2）设购买B种钢笔m支，则购买A种钢笔支，根据资金不超过600元列出不等式求出最大整数解即可．【详解】（1）设购买A种钢笔的单价为元，则购买B种钢笔的单价为元，由题意，得．解得．经检验，是原方程的解．则．即购买A种钢笔的单价为10元，B种钢笔的单价为15元．（2）设购买B种钢笔m支，则购买A种钢笔支．由题意，得．解得．∵为正整数，∴的最大值为17．即购买B种钢笔的数量最多是17支．【反思】本题考查了分式方程的应用题，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键．20．2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．进价如下表所示：吉祥物冰墩墩雪容融进价（元/个）8060售价（元/个）(1)已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．求这两种摆件的销售单价；(2)该电商网店计划购进两种吉祥物摆件共90个，且“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．请问最多购进“冰墩墩”摆件多少个？【分析】（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为元，则“雪容融”摆件的销售单价为元，根据该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的列出方程并求解即可；（2）设购进“冰墩墩”摆件个，则购进“雪容融”摆件个，根据“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半列出不等式求解即可【详解】（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为元，则“雪容融”摆件的销售单价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；（2）设购进“冰墩墩”摆件个，则购进“雪容融”摆件个，由题意得：．解得：，答：最多购进“冰墩墩”摆件30个．【反思】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．过关检测详细解析一．选择题1．下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【反思】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可．【详解】解：方程两边同时乘以得：，，，，解为非正数，，．故选：A．【反思】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．3．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判断方程的这个增根为再把代入去分母后的方程中即可得到答案．【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，∴这个增根为：，去分母可得：把代入∴解得：故选B【反思】本题考查的是已知分式方程的增根求解参数的值，理解增根的含义是解本题的关键．4．解分式方程时，去分母后，得（

）A． B．C． D．【分析】分式方程两边乘以，去分母得到结果，即可作出判断．【详解】，分式方程两边乘以，去分母得：，即有：，故选：A．【反思】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母时要注意不要漏乘．5．小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（

）．小明的解法：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④系数化为1，得，⑤经检验是原分式方程的解．⑥小亮的解法：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④系数化为1，得，⑤经检验是原分式方程的解．⑥A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确C．两人都正确 D．两人都错误【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．【详解】解：根据题意得：小亮的解答正确；小明的步骤错误，漏乘，小明的步骤、、、都正确，故选：B．【反思】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．6．如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（

）A． B．C． D．【分析】设，则，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设，则，∴原式变形为，故选：．【反思】本题考查的是解分式方程中的换元思想，掌握运用换元的思想将分式方程变形为解一元二次方程是解题的关键．7．2022年5月，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，其中根据不同学段制定了相应的学段目标．某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，定期开展课外劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80千克土豆，设乙班平均每小时挖千克的土豆，依题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【分析】设乙班平均每小时挖千克的土豆，则甲班平均每小时千克的土豆，根据“甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同”列出分式方程，即可求解．【详解】解：设乙班平均每小时挖千克的土豆，则甲班平均每小时千克的土豆，根据题意有：．故选：D．【反思】本题考查了列分式方程，找到等量关系建立方程是解题的关键．8．欧拉（L．Euler，1707—1783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同．第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）．”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了x个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（

）A． B．C． D．【分析】设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了个鸡蛋，根据关键描述语“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索”、“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索”列出方程，此题得解．【详解】解：设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了个鸡蛋，根据题意，得．故选：B．【反思】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．二、填空题9．分式方程的解为____．【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，，所以原方程的解为；故答案为：．【反思】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，需要注意分式方程需要检验．10．若关于x的方程无解，则a的值是______．【分析】先去分母化为整式方程，再分分母为0和x系数为0两种情况分别讨论【详解】两边同时乘以得，即；当分母为0时，，，此时，解得；当x系数为0时，，方程无解，解得；故答案为1或2．【反思】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．11．关于的分式方程无解，则的取值范围为______．【分析】先求出分式方程的解，可得，再由分式方程无解，可得关于m的方程，即可求解．【详解】解：去分母得：，解得：，∵分式方程无解，∴，解得：．故答案为：-2【反思】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解包括两种情况：一是分式方程最简公分母等于0；二是整式方程无解是解题的关键．12．定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为____________．【分析】根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到的值．【详解】解：，，，，，解得：，经检验是方程的解，故答案为：．【反思】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键．13．对于实数和，定义一种新运算“*”：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是__________．【分析】根据新定义列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵，∴，两边同时乘以得，，即，解得．经检验是原方程的解．故答案为：．【反思】本题考查了新定义运算，解分式方程，，直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程是解题的关键．三、解答题14．解分式方程：(1)． (2)【分析】（1）方程两边同时乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；（2）方程两边同时乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【详解】（1）解：方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．（2）方程两边乘，得．解得．检验：当时，，因此不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．【反思】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程是解决问题的关键．15．解分式方程：(1)．(2)．【分析】（1）去分母，解方程，检验得到方程的解；（2）去分母，解方程，检验得到方程无解．【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，当时，是方程的解；（2），，去分母得：，解得：，当时，原分式方程无解．【反思】本题考查了解分式方程；解题的关键是正确检验．16．解方程：(1)；(2)．【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】（1）解：方程两边同乘，得：，去括号，得：，移项，合并，得：；检验：经检验，是原方程的根，∴原方程得解为；（2）解：方程两边同乘，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：，检验，当时，，分式方程无意义，所以是原方程的增根，舍去；∴原方程无解．【反思】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根．17．为美化环境，提升城市形象，市政府计划对青竹湖路与开福大道十字路口面积为的绿化带进行改造升级，有甲、乙两个工程队可供选择．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的改造时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成改造的面积分别是多少？(2)若每天需付给甲队的改造费用为万元，乙队为万元，在不考虑工期的情况下，单独安排甲队完成，单独安排乙队完成，和甲乙两队合作完成，三种方案哪种费用最少？【分析】（1）设甲队每天能完成改造的面积是，则乙队每天能完成改造的面积是，然后根据在独立完成面积为区域的改造时，甲队比乙队少用4天列出方程求解即可；（2）分别求出三种方案的费用即可得到答案．【详解】（1）解：设甲队每天能完成改造的面积是，则乙队每天能完成改造的面积是，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，∴，∴甲队每天能完成改造的面积是，则乙队每天能完成改造的面积是，答：甲队每天能完成改造的面积是，则乙队每天能完成改造的面积是；（2）解：甲单独完成的费用为：万元，乙单独完成的费用为：万元，甲乙两队合作完成的费用为：万元，∵，∴单独安排甲队完成费用最少．【反思】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．18．某水果超市在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用1452元所购买的质量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．设第一次购进的水果的进价是x元/千克．(1)第二次购进水果的进价是______元/千克，第一次、第二次购进水果的质量分别