长春市重点中学2023年高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

长春市重点中学2023年高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线，，若，则实数的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-32．设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（）A. B.1C. D.3．已知数列满足，且，那么（）A. B.C. D.4．函数在处有极小值5，则（）A. B.C.或 D.或35．命题“”的一个充要条件是（）A. B.C. D.6．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则A.12 B.10C.5 D.7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④8．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.19．曲线在处的切线如图所示，则（）A. B.C. D.10．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.11．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（）A.128 B.64C.16 D.3212．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________14．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______15．若函数在区间上的最大值是，则__________16．已知是双曲线的左、右焦点，若为双曲线上一点，且，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.18．（12分）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.19．（12分）求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值21．（12分）如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.22．（10分）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)（1）求双曲线的方程；（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.【详解】由知：,解得：或故选：C.2、D【解析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.【详解】因为过过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，也即直线与圆相离或相切，则，即，解得，故的最大值为.故选：D.3、D【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.【详解】解：由，得，，又，那么故选：D4、A【解析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案.【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而故选：A.5、D【解析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.当时，满足，推不出，故不充分；B.当时，满足，推不出，故不充分；C.当时，推不出，故不必要；D.因为，故充要，故选：D6、C【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，∴+＝4，由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，则log2（•）＝故选C【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题7、C【解析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得：为异面直线，与不是异面直线，是异面直线，故①②错误，④正确.连接，则为等边三角形，而，故或其补角为与所成的角，因为，故与所成的角为，故③正确.综上，正确命题的序号为：③④.故选：C.【点睛】本题考查正方体的平面展开图，注意展开图中的点与正方体中的顶点的对应关系，本题属于容易题.8、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.9、C【解析】由图可知切线斜率为，∴.故选：C.10、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.11、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C12、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为故答案为：14、①；②..【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.【详解】如示意图1，设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.如示意图2，易得：，，所以，所以.设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：，即.故答案为：；.15、0【解析】由函数，又由，则，根据二次函数的性质，即可求解函数的最大值，得到答案.【详解】由函数，因为，所以，当时，则，所以.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质，其中解答中根据余弦函数，转化为关于的二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.16、17【解析】根据双曲线的定义求解【详解】由双曲线方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案为：17三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为18、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标；（2）先求出的值，再解方程得解.【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以.所以.所以.所以双曲线的焦点坐标分别为.（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，所以.因为点为抛物线上一点，所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5，即，所以.【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可【小问1详解】由题意函数定义域为且故是上的偶函数【小问2详解】由题意函数定义域为且故是上奇函数20、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件结合列式计算得解.(2)设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答.【小问1详解】椭圆C的半焦距为c，离心率，因过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1，将代入椭圆C方程得：，即，则有，解得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由(1)知，，依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，由消去x并整理得：，，，的面积，，设，，，，当且仅当，时取得“=”，于是得，，所以面积的最大值为1.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21