无锡市重点中学2024届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

无锡市重点中学2024届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若向量，，则（）A. B.C. D.2．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.43．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.44．设，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.5．过点且斜率为的直线方程为（）A. B.C D.6．已知等比数列的前n项和为，且，则（）A.20 B.30C.40 D.507．已知，，则等于（）A.2 B.C. D.8．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）A.9 B.12C.20 D.10．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.11．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A.3000 B.6000C.7000 D.800012．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.14．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点.若，则双曲线的离心率为___________.15．九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.16．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）已知数列的前项和满足（1）证明：数列为等比数列；（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和19．（12分）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）如果，求椭圆C的方程20．（12分）设命题方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题，，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.21．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,22．（10分）已知四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，G是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断【详解】由已知，，，与不垂直，若，则，，但是，，因此与不共线故选：D2、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C3、C【解析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离【详解】抛物线方程为，则，由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，即，所以线段的中点到准线的距离为.故选：C4、D【解析】先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.【详解】双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，过与这条渐近线垂直的直线方程为，由，得到点P的坐标为，又因为，所以，所以，所以.故选：D5、B【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.6、B【解析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，由得，即，解得或（舍），且代入①得，则，所以.故选：B.7、D【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.【详解】.故选：D8、C【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.9、C【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时综上：的最大值为20故选：C【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.10、B【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.【详解】由椭圆可得焦点为，则设双曲线方程为，可得，则离心率，解得，则，所以渐近线方程为.故选：B.11、C【解析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率，进而可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型.12、B【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的，，所以，所以双曲线的右焦点为：，由题意，，两边平方解得，，则双曲线的渐近线方程为：.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】计算点渐近线的距离，从而得，由勾股定理计算，由双曲线定义列式，从而计算得，即可计算出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，因为的中点在双曲线的渐近线上，由可知，，因为为中点，所以，所以，即垂直平分线段，所以到渐近线的距离为，可得，所以，由双曲线定义可知，，即，所以，所以.故答案为：【点睛】双曲线的离心率是椭圆最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)14、【解析】按题意求得，两点坐标，以代数式表达出条件，即可得到关于的关系式，进而解得双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为,其渐近线为，垂线方程为，则，，，由，得，即即，则，离心率故答案为：15、684【解析】利用累加法可求得的值.【详解】当且时，，所以，.故答案为：.16、【解析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.【详解】抛物线的焦点当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令则，故当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令由整理得则，综上，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.（2）令，分和去掉绝对值，根据等差数列的求和公式求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，∵，，所以，所以，则.【小问2详解】令，解得，当时，，，当时，.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可【小问1详解】当时，，，当时，，，，数列是以为首项、以为公比的等比数列【小问2详解】由（1）得，，即，，设等差数列的公差为，则，，，，，19、（1）（2）【解析】（1）求得直线的方程，利用点到直线的距离列方程，由此求得，进而求得焦距.（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，结合来求得，从而求得椭圆的方程.【小问1详解】依题意，直线的方程为，到的距离为，所以焦距.【小问2详解】由，消去并化简得，设，则，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以椭圆的方程为.20、【解析】求出当命题、分别为真命题时实数的取值范围，分析可知、中一真一假，分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得结果.【详解】解：若为真命题，则，即，解得，若为真命题，则，解得，因为“”为假命题，“”为真命题，则、中一真一假，若真假，则，可得，若假真，则，此时.综上所述，实数的范围为.21、（1）（2）85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可【小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，线段的中点为H，分别连接，可证，从而可得平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.【小问1详解】证