材料力学第4版单辉祖习题答案

PAGEPAGE2第一章绪论1-2如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的总应力p＝120MPa，其方位角＝20°，试求该点处的正应力与切应力。 题1-2图解：总应力p与截面m-m的法线间的夹角为 所以 1-3已知杆内横截面上的内力主矢FR与主矩M如图所示，且均位于x-y平面内。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中，C为截面形心。 题1-3图解：1-4图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为=100MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中，C为截面形心。题1-4图解：由题图所示正应力分布可以看出，该杆横截面上存在轴力和弯矩，其大小分别为 1-5图a与b所示两个矩形微体，虚线表示其变形或位移后的情况，该二微体在A点处的切应变分别记为(A)a与(A)b，试确定其大小。 题1-5图(a)解： (A)a=0(b)解： 1-6板件变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变以及A点处直角BAD的切应变。题1-6图解：平均正应变为 由转角 得A点处直角BAD的切应变为第二章轴向拉压应力与材料的力学性能试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。 题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知， 轴力图如图2-2a(2)所示， 图2-2a(b)解：由图2-2b(1)可知， 轴力图如图2-2b(2)所示， 图2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为 斜截面m-m的方位角故有 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。题2-5图解：由题图可以近似确定所求各量。 , ,该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。题2-6图解： 查上述曲线，知此时的轴向应变为 轴向变形为 拉力卸去后，有 ，故残留轴向变形为 2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b=100mm，板厚15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-9图解：根据 查应力集中因数曲线,得 根据 ，得 2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据 查圆孔应力集中因数曲线，得 故有 2．在圆角处根据 查圆角应力集中因数曲线，得 故有 3.结论 （在圆孔边缘处）2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。 题2-14图解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为 根据强度条件，要求 由此得 2-15图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得 2.求重量最轻的值由强度条件得 结构的总体积为 由 得 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为 2-16图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有 2.求的最佳值由强度条件可得 结构总体积为 由 得 由此得的最佳值为 2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。 题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 (a) (b) (c)理想的情况下， 在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得 于是得 由此得 2-18图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程与，分别得 由此得轴销处的总支反力为 2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 得 由轴销的挤压强度条件 得 结论：取轴销直径。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。 题2-19图解：切应力与挤压应力分别为 2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa，载荷F=230kN。试校核接头的强度。 题2-20图解：最大拉应力为 最大挤压与剪切应力则分别为 2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。题2-21图解：由拉伸强度条件 得 （a）由挤压强度条件 得 （b）由剪切强度条件 得 取代入式（a），得 结论：取 ，，。2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知， 图2-222.考虑铆钉的剪切强度 3．考虑铆钉的挤压强度 结论：比较以上四个F值，得 2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。 题2-23图解：1．钢带受力分析分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为 孔表面的最大挤压应力为 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为 钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为 第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于 故有 2.计算V变形后该杆的体积为 故有 3-4图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力各段轴力数值上均等于，因此， 由此得 2.校核螺栓的强度 此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为1=4.0×10-4与2=2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力 2.确定及之值由节点的平衡方程和得 化简后，成为 (a)及 (b)联立求解方程(a)与(b)，得 由此得 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为 (a)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 代入式(a)，于是得 3-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。题3-7图解：自截面B向上取坐标，处的轴力为 该处微段dy的轴向变形为 于是得截面B的位移为 3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f=ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为 根据地桩的轴向平衡， 由此得 （a）截面处的轴力为 2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为 积分得 将式(a)代入上式，于是得 3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷作用后，刚性梁倾斜(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。 图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程得 由此得 由图3-9可以看出， 可见， (b)根据的定义，有 于是得 3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。 题3-10图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为 如图3-10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为图3-10（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为于是由图3-10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为3-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得 图3-112.求变形和位移由图3-11b得 及 3.求的最佳值由，得 由此得 将的已知数据代入并化简，得 解此三次方程，舍去增根，得 由此得的最佳值为 3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。 题3-12图解：两杆的轴力均为 轴向变形则均为 于是得节点C的铅垂位移为 3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由，得 由，得 2．求各杆变形 3．求中点的位移由图3-13易知， 图3-13 3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为2.位移分析如图b所示，过点d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于点e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。可以看出，3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号如图3-15a所示，各杆轴力依次为 该桁架的应变能为 图3-15依据能量守恒定律， 最后得 (b)解：各杆编号示图b所示列表计算如下：1200345于是， 依据能量守恒定律， 可得 3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：12345由表中结果可得 依据 得 3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 (a)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 将上式代入式（a）,并考虑到,于是得 设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知， 或 由此得 3-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。 题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得 杆的轴力图如图3-19a(2)所示，最大轴力为 (b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 图3-19bAC与CB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得 杆的轴力图如图3-19b(2)所示，最大轴力为 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa,许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。 题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根据强度条件，取3-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得 (a)后取节点为研究对象，由和依次得到 (b)及 (c)在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下） (d)物理关系为 (e)将式(e)代入式(d)，化简后得 联解方程和，得（拉），（压），（拉）(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮的平衡，由，得 由此得 在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别如图3-22a和b所示。 图3-22由图a可得平衡方程 (a) (b)由图b得变形协调方程为 (c)根据胡克定律，有 将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得(压)，（拉），（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下： 根据题意要求，最后取 3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。 题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程，得 (a)由变形图中可以看出，变形协调条件为 (b)根据胡克定律， (c)将上述关系式代入式（b），得补充方程为 联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得 (d)2.由位移y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C’(CC’AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，C点的总位移为 又由于 由此得 将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得 并从而得 3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙=0.6mm；(b)间隙=0.3mm。 题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 当间隙=0.6mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为 当间隙=0.3mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。 图3-24杆的平衡方程为 补充方程为 由此得 而C端的支反力则为 3-25图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长 全杆伸长为 2．求约束反力设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为 由变形协调条件 可得 3．求杆件横截面上的应力 3-26图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别如图3-26a和b所示。 图3-26根据平衡条件，由图a可得 (a)由图b可得 (b)变形协调关系为(参看原题图) (c)依据胡克定律，有 (d)将式(d)代入式(c)，得补充方程 (e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即 （拉） （压）3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。 题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，则由图b与c可知，平衡方程为 (a)而变形协调方程则为 利用胡克定律，得补充方程为 (b)最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为 式中， 3-28图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。题3-28图解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为 或写成 这里，伸长量和缩短量均设为正值。引入物理关系，得 将静力平衡条件代入上式，得 注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得 3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题3-29图(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图3-29(1)可以看出，即变形协调条件为而补充方程则为或(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的下端点D则铅垂位移至。过作直线垂直于直线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图3-29(2)可以看出，故变形协调条件为而补充方程则为或3-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。题3-30图解:此为一度静不定问题。节点处的受力及变形分别如图3-30a和b所示。图3-30由图a得平衡方程为 (a)由图b得变形协调条件为 (b)依据胡克定律,有 (c)将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为 (b’)将方程(b’)与方程(a)联解，得 由此得为了提高值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为 式中，均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到，即 由此得 此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 该圆管表面纵线的倾斜角为 4-7试证明，在线弹性范围内，且当R0/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为 设，按上述公式计算的扭转切应力为 (a)按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得 (b)比较式(a)与式(b)，得 当时， 可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。4-8图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 (a)根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为 (b)由静力学可知， (c)取径向宽度为的环形微面积作为，即 (d)将式(d)代入式(c)，得 由此得 (e)将式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为 横截面上的切应力的径向分布图如图4-8所示。 图4-84-9在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。 图4-9根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为 同理，得截面上分布内力的合力为 方向如图c所示设作用线到轴线的距离为，容易求出 根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 同理，左端面上的合力为 方向如图c所示设作用线到水平直径的距离为（见图b），由 得 同理，作用线到水平直径的距离也同此值。根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为 设作用线到竖向半径的距离为（见图b），由 得 同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为 方向均图c所示。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。 既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的在数值上均等于。4-11如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D=80mm，壁厚=6mm，许用切应力[]=40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1.由圆轴求的许用值 由此得的许用值为 2．由套管求的许用值 此管不是薄壁圆管。 由此得的许用值为 可见，扭力偶矩M的许用值为 4-13图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。题4-13图解：1.轴的强度条件在截面处的扭矩最大，其值为 由该截面的扭转强度条件 得 (a)段上的最大扭矩在截面处，其值为 由该截面的扭转强度条件得 2．最轻重量设计轴的总体积为 根据极值条件 得 由此得 (b)从而得 (c) (d)该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F=1kN作用。设弹簧的平均直径D=40mm，弹簧丝的直径d=7mm，许用切应力[]=480MPa，试校核弹簧的强度。解：由于 故需考虑曲率的影响，此时， 结论：，该弹簧满足强度要求。4-20图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为题4-20图证明：自左端向右取坐标，轴在处的平均半径为 式中， 截面的极惯性矩为 依据 得截面和间的扭转角为 4-21图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题4-21图(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右对称，故知 由可得 即 (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，如图4-21b所示。 图4-21b变形协调条件为 (a)利用叠加法，得 (b)将式(b)代入式(a)，可得 进而求得 （转向与相反）(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 的转向与相反。(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，的转向与相反。变形协调条件为 (c)利用叠加法，得到（从左端向右取） (d)将式(d)代入式(c)，可得 进而求得 的转向亦与相反。4-22图示轴，承受扭力偶矩M1=400N•m与M2=600N•m作用。已知许用切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25°/m，切变模量G=80GPa。试确定轴径。题4-22图解：1.内力分析此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统如图4-22a所示。 图4-22利用叠加法，得 将其代入变形协调条件，得 该轴的扭矩图如图4-22b所示。2.由扭转强度条件求d由扭矩图可见， 将其代入扭转强度条件， 由此得 3.由扭转刚度条件求d将最大扭矩值代入 得 结论：最后确定该轴的直径。4-23图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为 (a)AC与CB段的扭矩分别为 ，代入式（a），得 (b)设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB，则变形协调条件为 (c)利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有 ，代入式（c），得补充方程为 (d)最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得 ， (e)2.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求 由此得 将式（e）代入上式，得 并从而得 ，根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为 4-24图示两平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a=300mm，切变模量G=80GPa，试求轴端的扭转角。题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为 或 (a)这里，和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为，则轴1和2承受的扭矩分别为 (b)物理关系为 (c)将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得 4-26如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D=76mm，壁厚=6mm，许用切应力[]=40MPa，切变模量G2=40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。题4-26图解：1.解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 (a) (b)物理关系为 (c)将式(c)代入式(b)，并注意到 得 (d)将方程(a)与(d)联解，得 2．由圆轴的强度条件定的许用值 由此得扭力偶矩的许用值为 3.由套管的强度条件定的许用值 由此得扭力偶矩的许用值为 结论：扭力偶矩的许用值为 4-27图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。题4-27图解：1.求解静不定如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程可知， (a)两个未知扭矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即 (b)设轴段AB的长度为l，则 将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为 (c)联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得 (d)2．强度校核 将相关数据代入式（d），得 对于钢轴， 对于铜管， 4-28将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1.求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加后，产生的扭转角为 (a)去掉后，有静力学关系 (b)几何关系为 (c)物理关系为 (d)将式(d)和式(a)代入式(c)，得 或写成 由此得 (e)联立求解方程(e)与(b)，得 2.计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 4-29图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M=5.0kN·m，螺栓的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。题4-29图解：1.求每个螺栓所受的剪力由 得 2.由螺栓的剪切强度条件求 由此得 3.由螺栓的挤压强度条件求 由此得 结论：最后确定螺栓的直径。4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。 题4-30图解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri成正比，即 式中，k为比例常数。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为 而剪力则为 最后，根据平衡方程 得 于是得外圈与内圈螺栓剪切面上的切应力分别为 4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力[]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。 题4-31图解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为 在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为 (a)由图中可以看出， ，所以， 代入式（a），得 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为4-34图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，=4mm，T=6kN·m，试求最大扭转切应力。题4-34图解：截面中心线所围面积为 由此得 于是得最大扭转切应力为 4-35一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为1与2，且1<2，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角。 题4-35图解：1.扭转切应力计算闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 现在 所以，最大扭转切应力为 2.扭转变形计算用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为 由此得整个上半圆管的应变能为 同理得整个下半圆管的应变能为 根据能量守恒定律， 于是得 4-36图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题4-36图解：由于三者中心线的长度相同，故有 由此得 据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的，其值依次为 依据 可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为 依据 可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为 结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积，这样对强度和刚度均有利。4-37图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力[]=60MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.5°/m，切变模量G=80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。题4-37图解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件 得 由扭转刚度条件 得 其中用到 比较可知， 2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件 得 由扭转刚度条件 得 比较可知， 第五章弯曲内力5-3试证明，在集中力F作用处（图a），梁微段的内力满足下列关系：而在矩为Me的集中力偶作用处（图b），则恒有题5-3图证明：根据题图a，由 保留有限量，略去微量后，得 为了更一般地反映作用处剪力的突变情况（把向下的也包括在内），可将上式改写为 仍据题图a，由 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 下标系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。根据题图b，由 略去微量后，得 仍据题图b，由 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 为了更一般地反映作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的也包括在内），可将上式改写为 5-6已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。题5-6图解：根据题图中所给的图和图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的外力图，如图5-6a和b所示。 图5-65-8图示外伸梁，承受均布载荷q作用。试问当a为何值时梁的最大弯矩值（即）最小。题5-8图解：1.求支反力由对称性可知，二支座的支反力相等（图5-8a），其值为 图5-82．画弯矩图根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图b所示。3．确定a值当梁中点处的弯矩值、以及C与D处弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩值才可能最小，由此得 解此方程，得 舍去增根，最后确定 5-9图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为F。试问：(1)小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值；(2)小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。题5-9图解：1.求支反力由图5-9a所示位置，可求得两端的支反力分别为 图5-92．确定最大弯矩值及小车位置根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图b和c所示。由图可以看出最大弯矩必在作用处。求左轮处之，并求其极值，即可得到。 (a)由 得 (b)此即左轮处达最大值的左轮位置。将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为 (c)由对称性可知，当时，右轮处的达到最大，其值同式(c)。3．确定最大剪力值及小车位置由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为 二者都是的一次函数，容易判断，当或时，即小车无限移近梁的左端或右端时，梁支座内侧截面A+或B-出现最大剪力，其绝对值为 5-11图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-11图(a)解：1.建立剪力、弯矩方程设截面处的载荷集度为，由图5-11a(1)可知， 图5-11a由图5-11a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为 2．画剪力、弯矩图由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹曲线。算出A与B两端的FS与M值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出FS与M图，如图5-11a（3）和（4）所示。(b)解：由图5-11b(1)可知，半跨梁上分布载荷的合力为 于是由平衡方程与，得支反力为图5-11b为研究方便，选取图5-11b(2)所示左半跨梁AC为研究对象。显然，截面C的剪力与弯矩分别为 还可以看出，横截面x1的载荷集度为 于是得AC段的剪力与弯矩方程分别为 (a) (b)同理，以右半跨梁CB段为研究对象[图5-11b(3)],得相应剪力与弯矩方程分别为 根据上述方程，画梁的剪力与弯矩图分别如图5-11b(4)与(5)所示。为了确定弯矩极值及其所在截面的位置，由式(a)并令其为零，即 得弯矩极值截面的横坐标为 代入式（b），得弯矩极值为 (c)解：1．求支反力 图5-11c由和得 2．建立剪力、弯矩方程坐标如图5-11c(1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为3．画剪力、弯矩图依据式（e）与(f)可绘剪力图，如图5-11c(2)所示；依据式(g)与(h)可绘弯矩图，如图5-11c(3)所示。注意在处，，有极大值，其值为 (d)解：1．建立剪力、弯矩方程 图5-11d坐标如图5-11d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为2．画剪力、弯矩图依据式(i)与(j)可绘剪力图，如图5-11d(2)所示；依据式(k)与可绘弯矩图，如图5-11d(3)所示。注意在处，，取极值，其绝对值为 5-12图示简支梁，承受分布载荷作用，其集度表达式为 式中，q0代表载荷集度的最大绝对值。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。 题5-12图解：分布载荷的合力为 剪力方程为 由此得 弯矩方程为 由此得 根据上述方程，画剪力与弯矩图分别如图b与c所示，最大剪力与弯矩分别为 5-13在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力与弯矩间的微分关系。题5-13图解：在截面处取微段，其受力图如图5-13所示。 图5-13根据图示，由 得 或写成 (a)其中为微段右端截面的形心。又由 得 或写成 (b)式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。5-14对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力偶矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系。题5-14图解：在横截面处取微段，其受力如图5-14a和b所示。 图5-14根据图a，由 得 或写成 (a)根据图b，由 得 或写成 (b)5-15试绘制图示杆件的内力图，并利用题5-14所述微分关系检查内力图的正确性。 题5-15图解：题(a)的轴力图与题(b)的扭矩图，分别如图5-15a与b所示，最大轴力与最大扭矩分别为图5-155-16图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷q作用。试画杆的内力图，并利用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。题5-16图(a)解:坐标自左端向右取，内力，其图则如图5-16a所示。 图5-16a上述受力情况，相当于梁上承受集度为的分布力偶情况，利用微分关系（题5-13式(a)）。 可以检查图的正确性。这里，为正常值，表明图应为上倾斜直线。图5-16a所示确为上倾斜直线，说明所画图正确。(b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴力图依次如图5-16b(1),(2)和(3)所示。 图5-16b上述受力情况，相当于杆上作用有载荷集度为的均布轴向载荷和集度为的均布力偶。铅垂方向无分布载荷作用，即，利用微分关系 检查图，其斜率为0，应为水平直线，这是对的。利用微分关系 检查图，左半段为正常数，应为上倾斜直线，对的；右半段为负常数，应为下倾斜直线，且斜率是左边的3倍，也是对的。利用微分关系 检查图，斜率为负常数，应为下倾斜直线，所绘图正确。5-17试画图示刚架的内力图。题5-17图解：内力图如图5-17所示。 图5-175-18试画图示刚架的弯矩图。题5-18图解：刚架的弯矩图如图5-18所示。 图5-185-19图a所示刚架，承受均布轴向载荷q作用，试画刚架的轴力、剪力与弯矩图。AB与BC段的长度均为a。 题5-19图解：由整个刚架的平衡方程，求得支座A与C的支反力分别为 将刚架划分为AB与BC两段，并选坐标x1与x2如图a所示。在横截面x1处将刚架切开，并选切开后的左段为研究对象，得 同理，在横截面x2处将刚架切开，并选切开后的下段为研究对象，得 根据上述方程，画刚架的轴力、剪力与弯矩图分别如图b，c与d所示。5-20试画图示各曲梁的弯矩图。 题5-20图(a)解：由平衡方程得 由图5-20a(1)可以看出，曲梁的弯矩方程为弯矩图如图5-20a(2)所示，最大弯矩为图5-20a(b)解：由平衡方程得 由图5-20b(1)可以看出，曲梁BC段的弯矩方程为根据上述方程，并考虑到问题的对称性，画曲梁弯矩图如图5-20b(2)所示，最大弯矩为图5-20b第六章弯曲应力6-2如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。 题6-2图解：金属丝的曲率半径为 所以，金属丝的最大弯曲正应变为 最大弯曲正应力为 而弯矩则为6-3图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。题6-3图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 依据 可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为 6-6图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz与Wy。 题6-6图解：1.Wz计算由图b可以看出， 所以，ADB对z轴的惯性矩为 中部矩形截面对z轴的的惯性矩为 于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为 而对z轴的抗弯截面系数则为 2.Wy计算ADB对y轴的惯性矩为 中部矩形截面对y轴的的惯性矩为 于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为 而对y轴的抗弯截面系数则为 6-7图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。题6-7图解：(1)为使弯曲强度最高，应使值最大。 由此得 (2)为使弯曲刚度最高，应使值最大。 由此得 6-8图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E=200GPa，a=1m。在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变=3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。题6-8图解：1.内力分析梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为 梁内的最大弯矩则为 (a)2.应力计算（解法一）横截面C底部的弯曲正应力为 由此得 代入式（a），得 于是得梁的最大弯曲正应力为 3.应力计算（解法二）横截面C底部的弯曲正应力为 由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为 计算结果相同。6-9图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为Wz，弹性模量为E，试计算梁底边AB的轴向变形。 题6-9图解：梁的弯矩方程为 横截面x处底边微长dx的轴向变形为 所以，梁底边AB的轴向变形为 6-10图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M=20kN·m，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比=0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。题6-10图解：1.截面几何性质工字钢截面大致形状及尺寸符号如图6-10所示。 图6-10由附录F表4查得 从而得 2．计算顶边的长度改变量顶边处有 由此可得边的伸长量为 3．计算上半腹板的长度改变量距中性轴为的点，弯曲正应力的绝对值为 （以向上为正）该处的横向应变为 由此可得线段的伸长量为 6-12图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。题6-12图解：1.单元体的应力分析梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为 在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力，其值为 在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。2.单元体的受力分析根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。显然， 3.单元体的平衡根据上述计算结果，得 说明单元体满足平衡条件。6-13图示矩形截面简支梁，承受矩为Me=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。题6-13图解：1.画剪力、弯矩图左、右支座的支反力大小均为，方向是左向上、右向下。据此可画剪力与弯矩图分别如图6-13a与b所示。 图6-132．求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布如图c所示，最大弯曲正应力和切应力分别为 由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力与数值相等。左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为 左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为 纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为 3．检查单元体的平衡方程是否满足 由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。6-14梁截面如图所示，剪力FS=200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。题6-14图(a)解：截面形心至其顶边的距离为 惯性矩和截面静矩分别为 于是得腹板上的最大弯曲切应力为 腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为 (b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边的距离为 惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为 于是得腹板上的最大弯曲切应力为 腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为 腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为 6-17图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<<3l/2。已知许用拉应力[t]=35MPa，许用压应力[c]=140MPa,l=1m，试确定载荷F的许用值。题6-17图解：1.截面几何性质计算由图6-17可得 图6-172．确定危险面的弯矩值分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当作用在段时， 当作用在段时， 3．确定载荷的许用值由危险面的压应力强度要求 得 由截面的拉应力强度要求 得 由作用面的拉应力强度要求 得 该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。比较上述计算结果，得载荷的许用值为 6-18图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许用应力为[]。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。题6-18图解：1.求最大弯矩左段梁最大弯矩的绝对值为 右段梁最大弯矩的绝对值为 2．求截面高度和由根部截面弯曲正应力强度要求 得 (a)由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求 得 (b)3．确定梁的总体积为 由 得 最后，将式(c)代入式(b)，得 为使该梁重量最轻（也就是最小），最后取 6-19图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应力[]=5MPa，试校核强度。题6-19图解：1.画剪力、弯矩图该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为 图6-192．校核木板的弯曲正应力强度 3．校核胶缝的切应力强度 结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。6-21图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W=50kN，最大起重量F=10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]=80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。题6-21图解：1.求最大弯矩设左、右轮对梁的压力分别为，不难求得 由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力 图6-21该梁的剪力、弯矩图分别如图b和c所示。图中， 由 得极值位置依次为 两个弯矩极值依次为 比较可知，单梁的最大弯矩值为 2．初选工字钢型号先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得 由附录表4初选№28a工字钢，有关数据为 3．检查和修改考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。由于自重，梁中点截面的弯矩增量为 上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算（计算的比真实的略大一点，偏于安全），即 最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。 结论：检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为№28a。6-22图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载荷F作用，试求螺栓剪切面上的剪力。题6-22图解：螺栓的间距为用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为（a）式中，将上述表达式代入式(a)，于是得6-23图示简支梁，由两根№50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d=23mm，许用切应力[]=90MPa，梁的许用应力[]=160MPa。试确定梁的许用载荷[q]及铆钉的相应间距e。提示：按最大剪力确定间距。题6-23图解：1.计算组合截面的和由附录F表4查得№50b工字钢的有关数据为 由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为 2．许用载荷的确定 由此得许用载荷为 3．铆钉间距的确定由铆钉的切应力强度要求来计算。最大剪力为 按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流），其值为 间距长度内的剪力为，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即 由此得梁长方向铆钉的间距为 6-24横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。 题6-24图解：用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以看出，螺钉剪切面上的剪力为（a）式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；代表上部木板横截面对中性轴的静矩。由图c可以看出， 还可以看出，将相关数据与表达式代入式(a)，于是得6-25图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[c]=4[t]。试从强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。 题6-25图解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使 即 (a)由图中可以看出， (b)比较式(a)与(b)，得 于是得 6-26当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。题6-26图解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为 当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为 根据题意， 即 由此得 6-27图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为[]，许用切应力为[]，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。题6-27图解：1.求截面高度弯矩方程为 由等强度观点可知， 由此得 (a)梁的右半段与左边对称。2．求端截面高度由式(a)可知，在处，，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由 得梁左端的截面高度为 (b)这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。3．确定h(x)的变化规律设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取由此得最终确定截面高度h(x)的变化规律为：在区间内在区间内梁的右半段与左边对称。6-29图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。题6-29图解：(1)矩形截面危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力）。最大弯曲正应力为 根据弯曲正应力强度条件，要求 由此得 于是得 (2)圆形截面危险截面的总弯矩为 由弯曲正应力强度条件，要求 于是得 6-30图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变分别为A=2.110-4与B=3.210-4，材料的弹性模量E=200GPa，试求载荷F及其方位角之值。题6-30图解：横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为 (a) (b)将式（a）除式（b），得 由此得 由式（a），得 6-31图示简支梁，在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用，试求梁内的最大弯曲正应力。题6-31图解：1.支反力计算由图6-31a得支反力为 图6-312．弯矩图与危险截面分析弯矩图如图b所示。由该图不难判断：在AC段，截面C最危险；在BD段，截面D最危险；在CD段，My与Mz均为的线性函数，因此，也是的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即截面C或截面D。3．最大弯曲正应力计算由以上分析可知，只需计算截面与的最大弯曲正应力即可，分别为 由此可见， 第七章弯曲变形7-2图示外伸梁AC，承受均布载荷q作用。已知弯曲刚度EI为常数，试计算横截面C的挠度与转角。 题7-2图解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分支座A与B的支反力分别为 AB段（0≤x1≤a）： (a) (b)BC段（0≤x2≤a）： (c) (d)2.确定积分常数梁的位移边界条件为 (1) (2)连续条件为 (3) (4)由式（b）、条件（1）与（2），得 ，由条件（4）、式（a）与（c），得 由条件（3）、式（b）与（d），得 3.计算截面C的挠度与转角将所得积分常数值代入式（c）与（d），得CB段的转角与挠度方程分别为 将x2=0代入上述二式，即得截面C的转角与挠度分别为 7-3图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。题7-3图解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状如图7-3所示。 图7-37-6图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M1与M2的力偶。如欲使挠曲轴的拐点位于离左端l/3处，则力偶矩M1与M2应保持何种关系。题7-6图解：梁的弯矩图如图7-6所示。依题意，拐点或M=0的截面，应在处，即要求 由此得 图7-67-7在图示悬臂梁上，载荷F可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时始终保持相同的高度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度EI为常数。 题7-7图解：在位于截面x的载荷F作用下，该截面的挠度为 因此，如果将梁预弯成 的形状，则当载荷F沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。7-8图示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。在外力作用下，梁的挠曲轴方程为 式中，a为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。 题7-8图解：1.内力分析梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。图7-82.外力分析在区间A＋B－内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中载荷。由剪力、弯矩图可知，截面B－的剪力与弯矩分别为在梁端切取微段B－B，并研究其平衡，得作用在截面B的集中力与集中力偶矩分别为（）（）7-9图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试用奇异函数法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-9图(a)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次，得 (a) (b)3．确定积分常数梁的位移边界条件为： 在处， (c) 在处， (d)将条件(c)代入式(b)，得 将条件(d)代入式(b)，得 4．建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分别为 5．计算和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a)，得截面的转角为(b)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次，得 (a) (b)3．确定积分常数梁的位移边界条件为： (c) (d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得 4．建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分别为 5．计算和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为 将以上所得值和代入式（a），得截面的转角为 (c)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次，得 3．确定积分常数该梁的位移边界条件为： (c) (d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 4．建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 由此得段、段和段的挠曲轴方程依次为 5．计算wC和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a)，得截面的转角为 (d)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次，得 (a) (b)3．确定积分常数梁的位移边界条件为： 在处， (c) 在处， (d)将条件(c)代入式(b)，得 将条件(d)代入式(b)，得 4．建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分别为 5．计算和将代入上述的表达式中，得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a)，得截面的转角为 7-10图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-10图(a)解：由产生的位移为 由产生的位移为 应用叠加法，得截面的转角及截面的挠度分别为 (b)解：梁段及梁段的受力情况分别如图7-10b(1)和(2)所示。 图7-10b由图(1)可得截面的转角为 由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面的挠度为 (c)解：梁段及梁段的受力情况分别如图7-10c(1)和(2)所示。 图7-10c由图(1)可得截面的转角为 由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面的挠度为 (d)解：求时可以书中附录E的7号梁为基础，以x代替a，以q(x)dx代替F，写出B端截面的微转角(a)式中，q(x)为截面x处的载荷集度，其值为(b)将式(b)代入式(a)后两边积分，即得截面B的转角为求wC可以教材附录E中8号梁为基础，所求截面的挠度为表中所列的一半，即 7-12图示外伸梁，两端承受载荷F作用，弯曲刚度EI为常数。试问：(a)当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等；(b)当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度最大。 题7-12图解：在端点力偶矩Me作用下，跨度为a的简支梁的中点挠度为 将梁端载荷F简化到截面D与G，得简支梁DG的受力如图b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。根据上述公式，简支梁DG中点的挠度为 (a)在上述二力偶矩作用下，截面D的转角为 （）所以，外伸梁端点A的挠度为 (b)为使梁跨度中点C与梁端A的挠度数值相等，即使 得为使梁跨度中点C的挠度最大，由式（a），并令 得7-14图示各刚架，各截面的弯曲刚度与扭转刚度分别为EI与GIt，试用叠加法计算自由端形心C的水平与铅垂位移。题7-14图(a)解：由图7-14a可以看出，在力偶矩作用下,杆段AB的截面B产生水平位移Bx与转角，其值分别为 由此得截面C的水平与铅垂位移分别为 图7-14(b)解：由图7-14b可以看出，杆段AB处于弯扭受力状态，截面B的铅垂位移与转角分别为 由此得截面C的水平与铅垂位移分别为 7-16试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1。题7-16图(a)解：容易判断，最大挠度发生在截面处（见下图）。如图7-16a(1)所示，梁段在F和Fa作用下，有 和 图7-16a由图(2)可得 最后，应用叠加法求得最大挠度为 (a)(b)解：不难判断，最大挠度发生在中间截面处。 图7-16b如图7-16b(1)所示，由于左右对称，截面的转角必然为零。由此可将图(1)求的问题转化为图(2)所示悬臂梁求挠度的问题，并可利用本题(a)中所得的结果，只需将式(a)中的更换为即可。最后求得的最大挠度为 (b)7-17图示悬臂梁，承受均布载荷q与集中载荷ql作用。材料的弹性模量为E，试计算梁端的挠度及其方向。题7-17图解： 梁端的总挠度为 其方向如图7-17所示，由图可知， 图7-177-19试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度EI为常数。题7-19图(a)解：此为三度静不定问题，但有反对称条件可以利用。此题以解除多余内约束较为方便。在作用面处假想将梁切开，并在其左、右面各施加一，在