2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第五讲直线平面垂直的判定与性质课件

第五讲直线、平面垂直的判定与性质课标要求考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容.2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想1.直线与平面垂直(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

⇒l⊥α(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b(续表)

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直⇒l⊥α(续表)【名师点睛】(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

考点一线面垂直的判定与性质

[例1](2021年彭州市期中)如图6­5­1，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝

，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3. (1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求三棱锥B1-EA1C1

的体积.图6-5-1(1)证明：如图6-5-2，过点B作CD的垂线交CD于点F，图6-5-2【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.【变式训练】(2022年南京市模拟)如图6-5-3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥E为PD的中点.(1)求证：CE∥平面PAB；(2)求证：CD⊥面PAC.图6-5-3证明：(1)如图D34，取PA的中点F，连接EF，BF，图D34∵E为PD的中点，∴AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，由直线与平面垂直的性质可得CD⊥PA，而PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.考点二面面垂直的判定与性质

[例2]

如图6-5-4所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图6-5-4证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【题后反思】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

【变式训练】

如图6-5-5，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAC；P-ABC的体积.图6-5-5(1)证明：如图

D35，连接OA，OB，OC.∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC.∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC.图D35∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC.∵∠APC＝90°，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PA⊥PC，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.∵PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.

考点三垂直关系的综合应用

[例3]如图

6-5-6，AB是⊙O

的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. (1)证明：△PBC是直角三角形；

(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为

时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.图6-5-6(1)证明：∵AB

是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解：如图

6-5-7，过点A作AH⊥PC于点H，图6-5-7∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.【题后反思】(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解.

【变式训练】

在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积.

解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明如下：

如图D36，连接CM，PM，

由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，

而平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，图D36又因为PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

⊙逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现

逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程.平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系.

[例4](2022年高台县校级月考)如图6-5-8所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA且PA＝2ED＝2. (1)证明：CE∥平面ABP；(2)证明：平面PAC⊥平面BDE；(3)若∠ABC＝60°，求棱锥P-ACE的体积.图6-5-8(1)证明：因为

ED∥PA，ED

平面ABP，PA⊂平面ABP，所以ED∥平面ABP，又因为ABCD是菱形，CD∥AB，同理可得CD∥平面ABP，因为CD∩ED＝D，CD⊂平面CDE，ED⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABP，因为CE⊂平面CDE，所以CE∥平面ABP.

(2)证明：如图6-5-9，连接BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，图6-5-9因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.【题后反思】处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.【高分训练】1.如图6-5-10，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，E为侧棱PC上一点.(1)若BE⊥PC，求证：PC⊥平面BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面BDE把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比.图6-5-10(1)证明：如图D37，连接AC，因为四边形ABCD为菱形，图D37所以AC⊥BD.因为PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.又因为BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以PC⊥平面BDE.(2)解：设

AC∩BD＝O，如图D37，连接OE，因为四边形ABCD为菱形，所以AO＝OC.

因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，

所以平面BDE把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比为1∶3(或3∶1).2.(2021年定远县模拟)如图

6-5-11，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.(1)证明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.图6-5-11

证明：(1)如图D38，设BC1

与B1C相交于点