高考数学第一轮复习6 第6讲　双曲线

第6讲双曲线课标要求考情分析1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.主要侧重双曲线的方程及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择题、填空题为主，难度为中低档．核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2点M的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).2．巧设双曲线方程(1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0，2)解析：选B.由题意得a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝2，得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．3．(2021·高考全国卷甲)点(3，0)到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(6,5)D.eq\f(4,5)解析：选A.由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为eq\f(|3×3－4×0|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(9,5).故选A.4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其右焦点为F2(2eq\r(3)，0)，则双曲线C的方程为________．解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,c＝2\r(3)，))解得a＝eq\r(3).又c2＝a2＋b2，且b>0，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(12－3)＝3.所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1考点一双曲线的定义及应用(师生共研)(1)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝()A．2或14B．2C．14D．2或10(2)已知点P在曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是()A．6B．8C．10D．12【解析】(1)由题意知eq\f(3,a)＝eq\f(3,4)，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝6<a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，设点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.又|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.【答案】(1)C(2)C双曲线定义应用的技巧(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．【对点训练】1．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是()A．12B．16C．21D．26解析：选D.依题意知|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，所以(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝16，又|AB|＝5，所以|AF2|＋|BF2|＝16＋(|AF1|＋|BF1|)＝16＋|AB|＝16＋5＝21.所以|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.即△ABF2的周长是26.故选D.2．(2022·大同市调研测试)已知F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为()A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．2eq\r(3)解析：选A.根据双曲线C的方程可得a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，不妨设P为双曲线C右支上的一点，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3).在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2＝16，即(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝12＋|PF1||PF2|＝16，解得|PF1||PF2|＝4，所以△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故选A.考点二双曲线的标准方程(师生共研)(1)(2022·成都摸底测试)已知离心率为2的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－y2＝1(2)(2022·云南第一次统一检测)已知双曲线M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，点P(eq\r(2)，1)在双曲线M的一条渐近线上．若以双曲线M的实轴为直径作圆，该圆经过点P，则双曲线M的方程为()A.eq\f(x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(y2,3)－eq\f(2x2,3)＝1 D.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,6)＝1【解析】(1)由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，得c2＝a2＋b2＝8－4＝4，又e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4,a2)＝4，解得a2＝1，所以b2＝3，所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)如图所示，设双曲线M的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则点P(eq\r(2)，1)在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，而圆的半径r＝a＝|OP|＝eq\r(3)，故b＝eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(6),2)，所以双曲线M的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1.【答案】(1)C(2)A求双曲线标准方程的2种方法待定系数法设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值[提醒]求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)求解．【对点训练】1．(2022·洛阳第一次统考)已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，则双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(y2,3)－x2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．y2－eq\f(x2,3)＝1解析：选C.由题意设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，c＝2，所以a2＝1，b2＝3，故选C.2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)解析：选C.设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，所以a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．考点三双曲线的几何性质(多维探究)考向1求双曲线的离心率(1)已知点(1，2)是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))C．(eq\r(5)，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))(2)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)【解析】(1)由题意得eq\f(1,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(b2,a2)＝b2＋4，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(b2＋5)>eq\r(5)，所以e>eq\r(5).(2)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).【答案】(1)C(2)A求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)可求e；(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．考向2双曲线的渐近线问题(1)(2022·东北三校第二次考试)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点，PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，则双曲线的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B．2x±y＝0C.eq\r(3)x±y＝0 D．x±eq\r(3)y＝0(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一条渐近线为eq\r(3)x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)因为点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，所以点P的横坐标为c，代入双曲线的方程可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，则|PF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，所以tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(3,4)，整理得2b2＝3ac，则4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(4)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－9＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0.(2)双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0，又双曲线的一条渐近线为eq\r(3)x＋my＝0，即x＋eq\f(m,\r(3))y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4.【答案】(1)C(2)4求双曲线渐近线方程的方法(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程．(2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程．[提醒]两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．考向3双曲线几何性质的综合应用已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＜0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))【解析】因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＜0，即3yeq\o\al(2,0)－1＜0，解得－eq\f(\r(3),3)＜y0＜eq\f(\r(3),3).【答案】A(1)双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．【对点训练】1．(2022·青岛市统一质量检测)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2\r(3),3)D．2解析：选C.由题意得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，则双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3).2．(2022·开封市第一次模拟考试)已知双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的离心率与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3m)＝1的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\f(\r(10),5)x解析：选B.由题意知，椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3m)＝1的离心率e1＝eq\f(\r(2m),\r(3m))＝eq\f(\r(6),3)，所以双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的离心率e2＝eq\f(\r(m＋1),\r(m))＝eq\f(3,\r(6))＝eq\f(\r(6),2)，解得m＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,\r(2))x＝±eq\f(\r(2),2)x，故选B.[A级基础练]1．已知双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4B．焦距为2eq\r(5)C．离心率为eq\f(\r(13),3)D．渐近线方程为2x±3y＝0解析：选D.由题意知，双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以2b＝6，2c＝2eq\r(13)，故选项A，B均不对；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.2．“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.3．(2022·济南市模拟考试)已知双曲线eq\f(x2,m＋1)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0，则m＝()A.eq\f(1,2)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)＋1,2)D．2解析：选A.由题意，知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(m),\r(m＋1))x.x±eq\r(3)y＝0可化为y＝±eq\f(1,\r(3))x，所以eq\f(\r(m),\r(m＋1))＝eq\f(1,\r(3))，解得m＝eq\f(1,2)，故选A.4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为eq\r(5)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D．x2－eq\f(y2,6)＝1解析：选A.由题意得2a＝4，所以a＝2，由离心率为eq\r(5)，可得eq\f(c,a)＝eq\r(5)，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(20－4)＝4，则双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.5．(2022·东北五校联合模拟考试)过点P(2，0)作圆x2＋y2＝1的切线，切点A，B恰好在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线上，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)解析：选C.如图，连接OA，由题意可得|OA|＝1，|OP|＝2，且OA⊥AP，所以∠POA＝eq\f(π,3).又A在双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x上，于是taneq\f(π,3)＝eq\r(3)＝eq\f(b,a)，即b＝eq\r(3)a，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，故选C.6．(2022·海滨区第一学期期末练习)已知双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(－3，4)，则该双曲线的渐近线方程为________；|MF1|－|MF2|＝________．解析：由题意，知a＝1，b＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0.易知点M(－3，4)为该双曲线左支上一点，所以|MF1|－|MF2|＝－2a＝－2.答案：eq\r(2)x±y＝0－27．(2022·南通市第一次调研测试)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程________．解析：可设双曲线C的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由题意知b＝2a，可令a＝1，则b＝2，故双曲线C的一个标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.答案：x2－eq\f(y2,4)＝1(答案不唯一)8．(2022·潍坊市联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，△OPF的面积为eq\r(2)(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．解析：设F(c，0)，双曲线的一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则点F到渐近线bx－ay＝0的距离|FP|＝eq\f(bc,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(bc,c)＝b.在△OPF中，因为FP⊥OP，且|OF|＝c，|FP|＝b＝1，所以|OP|＝eq\r(|OF|2－|FP|2)＝a，则S△OFP＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)a＝eq\r(2)，所以a＝2eq\r(2)，则c＝eq\r(a2＋b2)＝3，所以该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)9．(2021·上海春季高考节选)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．解：设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则a＝10，c＝20，所以b2＝c2－a2＝300，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,100)－eq\f(y2,300)＝1.由题意可得直线OP：y＝eq\f(\r(3),3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,100)－\f(y2,300)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(15\r(2),2)，,y＝\f(5\r(6),2)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15\r(2),2)，\f(5\r(6),2))).10．在①m>0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋eq\r(3)，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,2m)＝1，________，求C的方程．解：若选①，因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝eq\r(m)，c＝eq\r(3m).因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以eq\r(m)＋eq\r(3m)＝(1＋eq\r(3))eq\r(m)＝3＋eq\r(3)，解得m＝3，故C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.若选②，若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝eq\r(3m)＝3，解得m＝3，则C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1；若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝eq\r(－3m)＝3，解得m＝－3，则C的方程为eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1.若选③，由题意得2a＝4，即a＝2.若m>0，则a2＝m，所以a＝eq\r(m)＝2，解得m＝4，则C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1；若m<0，则a2＝－2m，所以a＝eq\r(－2m)＝2，解得m＝－2，则C的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1.[B级综合练]11．设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0解析：选B.由|PF2|＝|F1F2|＝2c及双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a.如图，过点F2作F2Q⊥PF1于点Q，则|F2Q|＝2a，在等腰三角形PF1F2中，|PQ|＝eq\f(1,2)|PF1|＝c＋a，所以|PF2|2＝|PQ|2＋|QF2|2，即(2c)2＝(c＋a)2＋(2a)2，解得a＝eq\f(3,5)c，则b＝eq\r(c2－a2)＝eq\f(4,5)c，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0.12．(2022·河南省高考适应性测试)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上．若△PF1F2为直角三角形，且tan∠PF1F2＝eq\f(5,12)，则双曲线的离心率为________．解析：在Rt△PF1F2中，当F2为直角顶点时，|PF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(5,12)，又a2＋b2＝c2，所以6a2＋5ac＝6c2，得离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)；当P为直角顶点时，由题意及双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,12)，所以|PF1|＝eq\f(24,7)a，|PF2|＝eq\f(10,7)a，又|F1F2|＝2c，所以由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,7)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc