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文档简介
1.(2021·长沙中考)如图,点A,B,C在⊙O上,∠BAC=54°,则∠BOC的度数为(B)A.27°B.108°C.116°D.128°2.(2021·北部湾经济区中考)如图,⊙O的半径OB为4,OC⊥AB于点D,∠BAC=30°,则OD的长是(C)A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.33.(2021·黄石中考)如图,A,B是⊙O上的两点,∠AOB=60°,OF⊥AB交⊙O于点F,则∠BAF等于(C)A.20°B.22.5°C.15°D.12.5°4.(2021·自贡中考)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是(A)A.9.6B.4eq\r(5)C.5eq\r(3)D.105.(2021·营口中考)如图,⊙O中,点C为弦AB中点,连接OC,OB,∠COB=56°,点D是上任意一点,则∠ADB度数为(B)A.112°B.124°C.122°D.134°6.(2021·宿迁中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=32°,点B,C在⊙O上,边AB,AC分别交⊙O于D,E两点,点B是的中点,则∠ABE=__13°__.7.(2021·湖州中考)如图,已知AB是⊙O的直径,∠ACD是所对的圆周角,∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度数;(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交⊙O于点F.若AB=4,求DF的长.【解析】(1)如图,连接BD,∵∠ACD=30°,∴∠B=∠ACD=30°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB=90°-∠B=60°;(2)∵∠ADB=90°,∠B=30°,AB=4,∴AD=eq\f(1,2)AB=2,∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直径,∴EF=DE=ADsin60°=eq\r(3),∴DF=2DE=2eq\r(3).1.(2021·广安中考)如图,公园内有一个半径为18米的圆形草坪,从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB).已知A,B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,小强从A走到B,走便民路比走观赏路少走多少米.(D)A.6π-6eq\r(3)B.6π-9eq\r(3)C.12π-9eq\r(3)D.12π-18eq\r(3)2.(2021·十堰中考)如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则BC=(C)A.2eq\r(3)B.3eq\r(3)C.3D.43.(2021·眉山中考)如图,在以AB为直径的⊙O中,点C为圆上的一点,=3,弦CD⊥AB于点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G.若点H是AG的中点,则∠CBF的度数为(C)A.18°B.21°C.22.5°D.30°4.(2021·辽阳中考)如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C和点D,则tan∠ADC=__eq\f(3,2)__.5.(2021·安徽中考)如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB=__eq\r(2)__.6.(2021·绍兴中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是__15°或75°__.7.(2021·上海中考)如图,在圆O中,弦AB等于弦CD,且相交于点P,其中E,F为AB,CD中点.(1)证明:OP⊥EF;(2)连接AF,AC,CE,若AF∥OP,证明:四边形AFEC为矩形.【证明】(1)连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.∵AE=EB,CF=FD,AB=CD,∴OE⊥AB,OF⊥CD,BE=DF,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵OB=OD,∴Rt△OEB≌Rt△OFD(HL),∴OE=OF,∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP,∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),∴PE=PF,∵OE=OF,∴OP⊥EF.(2)连接AC,设EF交OP于J.∵AB=CD,AE=EB,CF=DF,∴AE=CF,BE=DF,∵PE=PF,∴PA=PC,∵PE=PF,OE=OF,∴OP垂直平分线段EF,∴EJ=JF,∵OP∥AF,∴PC=PF,PA=PE,∴四边形AFEC是平行四边形,∵EA=CF,∴四边形AFEC是矩形.8.(2021·北京中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.(1)求证:∠BAD=∠CAD;(2)连接BO并延长,交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若⊙O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.【解析】(1)∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,∴=,∴∠BAD=∠CAD;(2)在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,∴BE=eq\r(OB2-OE2)=4,∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,∴BC=2BE=8,∵BG是⊙O的直径,∴∠BCG=90°,∴GC=eq\r(BG2-BC2)=6,∵AD⊥BC,∠BCG=90°,∴AE∥GC,∴△AFO∽△CFG,∴eq\f(OA,GC)=eq\f(OF,FG),即eq\f(5,6)=eq\f(OF,5-OF),解得:OF=eq\f(25,11).【素养提升题】(2021·荆门中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,过A,C,E三点的⊙O交AB边于另一点F,且F是的中点,AD是⊙O的一条直径,连接DE并延长交AB边于M点.(1)求证:四边形CDMF为平行四边形;(2)当CD=eq\f(2,5)AB时,求sin∠ACF的值.【解析】(1)连接DF,EF,∵∠BAC=90°,∴FC是⊙O的直径,∵F是的中点,∴=,∴∠ADF=∠EDF,∵OF=OD,∴∠ADF=∠OFD,∴∠OFD=∠EDF,∴FC∥DM,∵OA=OD,OF=OC,∠BAC=90°,∴四边形AFDC为矩形,∴AF∥CD,∴四边形CDMF为平行四边形;(2)∵四边形AFDC为矩形,四边形CDMF为平行四边形,∴CD=AF=FM=EF,∵CD=eq\f(2,5)AB,∴CD=eq\f(2,5)(2CD+BM),∴CD=2BM,∵BM∥CD,∴△BEM∽△CED,∴eq\f(BM,CD)=eq\f(BE,EC)=eq\f(1,2),∴EC=2BE,设BM=a,则CD=2a,BF=3a,EF=2a,在Rt△BEF中,BE=eq\r(BF2-EF2)=eq
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