新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第23讲证明数列不等式学生版

第23讲证明数列不等式一．解答题（共47小题）1．（2021•浙江月考）设等差数列的前为，已知，．（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，求证：2．（2021春•江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上．（1）求的值；（2）当时，记，求数列的前项和（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．3．（2021春•兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．4．数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上．（1）求证：是等比数列；（2）当时，记，证明：数列的前项和．5．（2021•临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上．（1）求的值；（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小．6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：；，．7．，等比数列的前项和为，点，均在函数上．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．8．已知，求证：．9．（2021•嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：，．10．（2021春•秀山县校级月考）设函数，．（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；（2）设，证明：为自然对数的底数）．11．（2021春•阳江校级月考）设数列满足，，，2，3，，（1）求，，；（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（3）设，数列的前项和为，求证：．12．（2012秋•济源校级期中）设数列满足，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．13．（2007•崇文区一模）已知数列中，，，数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，证明．14．（2021春•绍兴期中）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．求证：对任意正整数，有；设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，．15．（2021•邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论．16．（2021•安徽三模）已知正项数列的前项和为，且①求，，；②求数列的通项公式；③若数列满足，，求证：．17．（2021春•历下区校级期中）（1）已知，，比较和的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的，不等式成立．18．（2021•盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：．19．（2021春•枣庄校级月考）（1）已知，，都是正数，且，用分析法证明；（2）已知数列的通项公式为，．利用（1）的结论证明如下等式：．20．（2021•杭州期中）已知数列的前项和满足，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，证明：．21．（2021•沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：①为首项为2的等差数列；②．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，有．22．已知数列中，为的前项和，，，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．23．（2021•宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式和前项和；（2）证明不等式且24．已知函数，，为常数）（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；（2）当时，证明不等式在，上恒成立；（3）证明：，（参考数据：25．（2021•衡水校级模拟）已知函数．（1）求函数在点，处的切线方程；（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式．26．（2012•洛阳模拟）已知函数．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，对于任意的，且，证明：不等式．27．证明不等式：．28．（2021春•辛集市校级月考）已知．求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；（Ⅲ）证明不等式：29．（2021•大庆一模）已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中，取最小值时，设函数．若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式：且．30．（2021春•荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，，当时，．数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）若数列的前项和为，求证：．31．（2021春•淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．（1）求数列与数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．32．（2009秋•沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．33．（2021•黄冈模拟）已知数列满足，首项为；（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：；（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，求证：当时，恒有．34．（2021•桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，．（1）求，与；（2）若，求证：．35．（2021•柯桥区期末）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：．36．（2021•芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足．各项为正数的数列中，对于一切，有，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．37．（2021•温州期末）已知数列的前项和为，满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．38．（2021•温州三模）已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项．（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）设，为前项和，证明：．39．（2021•中原区校级月考）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．40．（2021•浙江开学）已知数列的前项积为，，且对一切均有．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．41．（2021•台州模拟）已知数列，的前项和分别为，，且．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求证：．42．（2021春•浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明：．43．（2021•浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．44．已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得△都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．45．（2021•山东模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）证明：．46．（2021•闵行区期末）已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．