2024年高考数学第二轮复习 专题15 解三角形（解答题压轴题）（教师版）

专题15解三角形（解答题压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u专题15解三角形（解答题压轴题） 1①三角形中线问题 1②三角形角平分线问题 6③三角形周长（边长）（定值） 15④三角形周长（边长）（最值，范围问题） 18⑤三角形面积（定值） 28⑥三角形面积（最值，范围问题） 32①三角形中线问题1．（2023春·江西·高一校联考期末）记的内角的对边分别为的面积.(1)若，求；(2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值.①为的平分线；②为边上的中线.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2).【详解】（1）因为，由余弦定理可得，所以，由三角形的面积公式可得，所以，所以，又，所以.因为，所以为锐角，，所以，由正弦定理得，即，所以.（2）选择条件①：在中由余弦定理得，即，即，故，当且仅当时等号成立，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.选择条件②：由点为的中点得，平方得，在中由余弦定理得，即，所以.当且仅当时等号成立，故有，从而，故的最大值为.2．（2023春·河北保定·高一校联考期中）在中，内角所对边的长分别为，且满足．(1)求；(2)若是的中线，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1），所以，由正弦定理得：，又，得，即（2），，得，由余弦定理得：，由于是的中线，所以,,所以3．（2023春·浙江舟山·高二统考期末）记的内角的对边分别为，函数，角满足．(1)求的值；(2)若，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求边上的中线长度．①的周长为；

②的面积为．【答案】(1)(2)【详解】（1），由得，因为，所以，所以（2）,由正弦定理边化角得,所以或得（舍）或所以，选①，因,所以周长，解得,设边上的中线为，由余弦定理得,为中点，即.选②因，所以三角形面积，解得，设边上的中线为，由余弦定理得,为中点，,,即.4．（2023春·湖北孝感·高一校联考期末）记的内角的对边分别为，满足.(1)求角；(2)若，，是中线，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根据数量积的定义，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以5．（2023春·广东茂名·高二统考期末）在中，角所对的边分别为，其面积为为边上的中线.(1)证明：；(2)当时，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)2【详解】（1）方法一：为边上中线，，，在中，由余弦定理得：，，，.方法二：为边上中线，在中，，在和中，由余弦定理得：，即，，即；（2），，在中，由余弦定理得：，由（1）知：，，当且仅当时，取得最小值为2.②三角形角平分线问题1．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

(1)求边BC的长度；(2)设，，，当时，求k的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）解：由，得,又因为，所以，又因为，过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，

所以，，所以,所以,又因为,所以；（2）解：因为，，，的面积是面积的一半，所以，所以①，，由，得，又因为三点共线，所以，即，所以，又，所以，又因为，所以②，由①②解得，所以.2．（2023春·河北保定·高一校联考期中）已知的内角的对边分别为，满足(1)求角；(2)是的角平分线，若的面积为，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化简得，由余弦定理得，又，则；（2）由面积公式得，解得；即，所以．3．（2023春·贵州安顺·高一统考期末）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求和的值；(2)设点在边上，且，是的角平分线，求的最小值.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理，又，所以.（2）因为，解得或（舍去），又是的角平分线，，所以，即，即，所以，所以且，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.4．（2023春·甘肃陇南·高一统考期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若AD为的角平分线，，且，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，即．因为，所以．因为，所以．又，则．（2）因为，所以．由，得，得．又，解得，，则，所以的周长为．5．（2023春·云南·高一校联考期末）在中，角所对的边分别为，且满足.(1)求角A；(2)若为的中点，且的角平分线交于点，且，求边长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，（2）因为，的角平分线交于点，所以，因为，所以，所以，所以，因为为的中点，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以所以由余弦定理得，所以

6．（2023春·广东梅州·高二统考期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为AD为角A的角平分线，所以，又，所以，所以，不妨设，，则，故，延长至点E，使得，连接，则，又，所以，故，，则，，则，，在中，由余弦定理，得，即，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故.所以长的最大值为.7．（2023春·全国·高一专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(1)求角C；(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化简得，由余弦定理得，又，则；（2）由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，即，则，所以，即，整理得，又，解得，则，由（1）知，则.8．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)，③三角形周长（边长）（定值）1．（2023·全国·高三专题练习）在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，则，2．（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，，3．（2023春·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期中）已知的内角所对的边分别为，，，向量，且，且．(1)求A；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得，因为是三角形内角，所以，∴，，因为A是三角形内角，∴.（2）∵，，又由余弦定理得，，，即的周长为．4．（2023春·广东惠州·高一校考期中）在中，角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)若的面积为且，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，则，整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，故.（2）解：，解得，由余弦定理可得，解得，因此，的周长为.5．（2023春·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）在中，角、、的边分别为、、，且．(1)求角；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，因为、，则，，故.（2）解：由三角形的面积公式可得，由余弦定理得：，可得，因此，的周长为.④三角形周长（边长）（最值，范围问题）1．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，，且有(1)求角的值；(2)求周长的取值范围.【答案】(1)2．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若的外接圆直径为2．(1)求角；(2)请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分．①求周长的最大值；②求面积的最大值．【答案】(1)；(2)选①：周长的最大值为；选②：面积的最大值为.3．（2023春·贵州贵阳·高一校考阶段练习）记钝角的内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得，，即，即，即．若，则，因为，故．从而．（2）由得，若，则，即，与为钝角三角形矛盾．4．（2023春·河北邢台·高一校联考阶段练习）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，已知______.(1)求；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①，，∵；若选②，，∵；若选③∵，而.（2）因为，所以由正弦定理得：，，∵是锐角三角形，∴,∴,∴∴∴.5．（2023春·甘肃武威·高一校考阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．(1)求A的值；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，所以，即，即，则，因为，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，，，则，所以三角形的周长的取值范围为.6．（2023春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理，且，则，，由，则，，由，则，，，，，由锐角中，，则.（2）由（1）可知，则，在中，由正弦定理可得：，由，则，解得，，，由，且，则，，由锐角，，，则，解得，由余弦函数的单调性，可得，解得.7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．(1)求；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，所以，，所以，，即，所以，，又因为，则，所以，，又因为，则，所以，，故.（2）解：由正弦定理知，则，，所以，，因为为锐角三角形，且，则，解得，所以，，则，所以，，因此，的取值范围是．8．（2023春·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．(1)求角A；(2)若，求周长的最大值；(3)求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），由正弦定理得，，因为，所以，即，因为，所以，故，所以，因为，所以，故，解得；（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式可知，所以，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长最大值为；（3）由（1）知，则，令，因为，所以，，则，故当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.9．（2023春·高一单元测试）在中，.（1）当时，求的最大值；（2）当时，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）12.【详解】解：（1）由题意，，，由余弦定理可得，，，的最大值为；（2），，又，，，周长为当且仅当时，周长的最小值为12.10．（2023春·福建南平·高一校考期末）在中，设角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），则的周长.，，周长的取值范围是.⑤三角形面积（定值）1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以.（2）因为平分交于点，且，所以，即，①所以，，所以，，所以，因为，所以，得，因为，所以，在中由正弦定理得，得，所以，所以,在中由余弦定理得，得，②由①②解得，所以的面积为.

2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点D，且，．

(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，即，又由余弦定理得，因为，所以，（2）解：因为，所以，由（1）知，，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理，所以，又因为，所以，所以的面积为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为内角的对边，若满足，.(1)求角；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以,解得或，又，所以，即．（2）由正弦定理得，解得，因为，所以，所以，所以的面积．4．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)【详解】（1），所以函数的最小正周期为.令，得，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因为，所以，从而有，得，则5．（2023春·高一单元测试）已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，，所以，即，又，所以，又，所以，则，故，又，所以.（2）设，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，则②，由①－②得，故，将代入①式得，所以的面积..⑥三角形面积（最值，范围问题）1．（2023春·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足.(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；(2)若为锐角三角形，求面积的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题设，则，故，又，则，又，则为等边三角形，故，

由，则，所以（负值舍），故.（2）由题意，则，又，则，所以，由，而，所以.2．（2023春·江西·高三统考阶段练习）在锐角中，角的对边分别是，且.(1)求；(2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，则，因为是锐角三角形，所以，则所以，所以；（2）因为外接圆的半径是1，所以，则，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，则，故面积的取值范围是.3．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角中，内角的边分别对应，已知.(1)求；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，整理得，所以，因为，所以.（2）解：设的外接圆的半径为，因为，且，可得，由正弦定理可得，，又因为，可得，所以,因为为锐角三角形，可得，解得，所以，可得，所以，所以.4．（2023春·山西大同·高一校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，.

(1)求；(2)若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以.又，所以，则（2）因为，，，四点共圆，所以，.在中，由余弦定理得，即，化简得，当且仅当时取等号.所以的面积.又，则四边形的面积.故四边形面积的最大值为.5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）如图，在等边中，，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且，，.(1)用k，表示DE，DF；(2)若为等腰直角三角形，求k的取值范围；(3)若，求面积的最小值.【答案】(1),.(2)(3)【详解】（1）由，，不妨设，则.在等边中，，所以.因为，所以，所以,所以.在中，，，，，由正弦定理得：，所以.同理可求：（2）要使为等腰直角三角形，只需.所以，整理得：.因为，所以，所以.（3）由可得：，则.所以令，则，其中.所以，解得：.所以当时，存在，使得，所以6．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，角所对的边分别为，且.(1)求的最大值；(2)若，，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1