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抢分练2121.(12分)(2021新高考Ⅱ,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下去,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1;当E(X)>1时,p<1.(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际意义.12解

(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)由题知,E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.设f(x)=p3x3+p2x2+p1x+p0-x,则有f(1)=p3+p2+p1+p0-1=0.f'(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,则有f'(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.12所以当x<x1或x>x2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,x1)和区间(x2,+∞)上单调递增;当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(x1,x2)上单调递减.当E(X)≤1时,f'(1)=E(X)-1≤0,所以必有x1<1≤x2,而当0<x<1时,因为f'(x)<0,所以f(x)>f(1)=0,即方程f(x)=0在(0,1)内没有根,所以p=1就是f(x)=0的最小正根.当E(X)>1时,f'(1)=E(X)-1>0,此时,必有x2<1.因为函数f(x)在[x2,+∞)上单调递增,所以必有f(x2)<f(1)=0.考虑到f(0)=p0>0以及函数f(x)的连续性,由零点存在定理知在0与1之间必有函数f(x)的零点,此零点就是原方程的一个正根x2,且比1小,故p<1.(3)意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后灭绝的概率小于1.121212(2)(方法一)设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.当且仅当|

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