2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量微专题2三角恒等变换与解三角形大题考法3解三角形中的最值或范围问题

大题考法3解三角形中的最值或范围问题(2023·广东模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且eq\f(cosA,a)＝eq\f(b－2cosC,2c).(1)求a的值；(2)若P为BC上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，AP＝eq\r(3)，求角A的最大值．解：(1)因为eq\f(cosA,a)＝eq\f(b－2cosC,2c)，所以根据正弦定理可得eq\f(cosA,sinA)＝eq\f(b－2cosC,2sinC)，所以2cosAsinC＝bsinA－2cosCsinA，所以2sin(A＋C)＝bsinA，所以2sinB＝bsinA，所以根据正弦定理可得2b＝ba，b>0，所以a＝2.(2)因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，AP＝eq\r(3)，a＝2，所以AP⊥BC，又BC＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsinA，所以eq\f(2,bc)＝eq\f(sinA,\r(3))，又根据余弦定理可得：cosA＝eq\f(b2＋c2－4,2bc)≥eq\f(2bc－4,2bc)＝1－eq\f(2,bc)＝1－eq\f(sinA,\r(3))，(当且仅当a＝b取得等号)，所以cosA≥1－eq\f(sinA,\r(3))，所以sinA＋eq\r(3)cosA≥eq\r(3)，所以2sin(A＋eq\f(π,3))≥eq\r(3)，所以sin(A＋eq\f(π,3))≥eq\f(\r(3),2)＝sineq\f(2π,3)，又A∈(0，π)，所以eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以0<A≤eq\f(π,3)，所以A的最大值为eq\f(π,3).解决与解三角形有关的最值或范围问题，一般有两个方法：(1)转化为某角的三角函数，利用三角函数的有界性求最值或范围，须注意角的范围．(2)利用基本不等式求解．(2023·佛山二模)已知△ABC为锐角三角形，且cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)．(1)若C＝eq\f(π,3)，求A；(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．解：(1)因为C＝eq\f(π,3)，又cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)，所以cosA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝eq\r(3)sinA＋eq\r(3)cos(eq\f(2π,3)－A)，所以cosA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sinA＋eq\r(3)(－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA)，所以(1＋eq\r(3))cosA＝(1＋eq\r(3))sinA，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).(2)因为cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)，所以eq\r(3)sinA－cosA＝sinB－eq\r(3)cosB，所以2sin(A－eq\f(π,6))＝2sin(B－eq\f(π,3))，所以A－eq\f(π,6)＝B－eq\f(π,3)或A－eq\f(π,6)＋B－eq\f(π,3)＝π，所以A＝B－eq\f(π,6)或A＋B＝eq\f(3π,2)(舍)，又AD＝BD＝2，所以∠A＝∠ABD，所以∠CBD＝eq\f(π,6)，在△BCD中，由正弦定理可得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sinC)，所以eq\f(CD,\f(1,2))＝eq\f(2,sinC)，所以CD＝eq\f(1,sinC)，又sinC＝sin(eq\f(7π,6)－2B)，又△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A＝B－\f(π,6)<\f(π,2)，,0<B<\f(π,2)，,0<C＝\f(7π,6)－2B<\f(π,2)，))所以B∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，所以eq\f(7π,6)－