工程断裂力学第三章(矿大)

第三章应力强度因子

断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。假设裂端应力应变场的强度〔intensity〕足够大，断裂即可发生，反之那么不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键。近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一任务的，而这些解析法需求用高深的数学工具，这对于初次接触断裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只给出一些主要的概念和结果，并引见一些工程近似方法。3-1裂纹的根本型普通将裂纹问题分为三种根本型，如下图张开型滑移型撕裂型

裂纹根本型第一种称为张开型〔openingmode〕或拉伸型〔tensionmode〕，简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何外形对称于裂纹平面的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前方〔x方向〕。假设物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，那么问题是二维的〔平面问题〕；假设物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚，那么是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。裂纹根本型第二种裂纹型称为同平面剪切型〔in—planeshearmode〕或者滑移型〔slidingmode〕，简称II型。裂纹上下外表的位移方向刚好相反，一个向正x方向，另一个向负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问题。裂纹根本型第三种裂纹型称为反平面剪切型〔anti—planeshearmode〕，简称III型。裂纹面上下外表的位移方向也是刚好相反，但一个向正z方向，另一个向负z方向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。除了这三种根本型外，尚有复合型裂纹〔mixedmodecrack〕，它是两种以上根本型的组合。3-2裂端的应力场和位移场下面思索二维的I型裂纹问题。图给出一个以裂纹端点为原点的坐标系，此坐标系x方向是裂纹正前方，y方向是裂纹面的法线方向，z方向那么是分开纸面的方向。思索一个离裂端很近，位置在极坐标(r，θ〕的单元，其应力形状可以用σx、σy和τxy三个应力分量来表示。裂纹前沿的应力应变场终究是怎样的？I型裂纹的应力场由弹性力学〔椭圆孔口问题〕的解析解，得裂端的应力场恒为＋高次项在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，因此可以忽略。I型裂纹的应变场从上式可见，裂端区应力场的方式恒定，其强度完全由KI值的大小来决议，因此就称KI为I型裂纹的应力强度因子。裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：我们的兴趣不在于得到准确的应变场方式，而在于知道应变分量也只由应力强度因子来确定。I型裂纹的位移场经过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为：这里u和v分别为x和y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊松比ν的关系为：平面应力平面应变II型和III型裂纹对于II型和III型裂纹，裂端区的应力场和位移场的方式也是恒定的，而且其表达式与I型裂纹类似。II型和III型裂纹的应力强度因子分别用KII和KIII表示。由于II型裂纹也是平面问题，可采用上面的坐标系来描画，而且只需应力分量σx、σy和τxy存在。III型裂纹问题是反平面剪切问题，位移分量仅有z方向的w，应力分量仅有τxz和τyz。II型裂纹的应力场和位移场III型裂纹的应力场和位移场思索题如下图的坐标系，I型和II型裂纹的裂端区应力场在裂纹外表有何特点？在裂纹正前方又分别有何特点？裂端区位移分量在裂纹外表和正前方又有何特点？3-3应力奇特性和应力强度因子三种根本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r→0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇特性〔stresssingularity〕。为何会出现应力奇特性呢？这是由于裂纹端点是几何上的不延续点的缘故。应力奇特性图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别遭到无穷远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集中景象，其应力集中系数(stressconcentrationfactor)已广为人知。对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为：a为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。

应力奇特性由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的程度比圆孔问题严重。假设是短轴长趋于零，那么ρ也将趋于零，此时应力集中系数Kt将趋于无限大。在没有特别阐明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂纹面是相互接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。应力是看不见的，它是个笼统的概念，然而位移过程是可以看到的。物体上个别点〔无限远处除外〕具有无限大的应力并不会使该点的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区应变能的有界。三种根本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来决议。因此，只需知道应力强度因子，裂端区的应力、应变、位移和应变能密度就都能求得。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。近代断裂力学，就是Irwin在五十年代中期提出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开场开展起来的。习题当应力奇特性是由r-n来决议时，n就称为应力奇特性的指数。当线弹性体的裂纹端点具有指数n为1/2的应力奇特性时，试由量纲分析着手，证明裂端区的应变能将是有界的。假设要裂端区的应变能有界，能否反过来从数学上证明应力奇特性指数不得大于或等于1？3-4常见裂纹的应力强度因子应力强度因子可以用来表征裂纹端点区应力应变场强度的参量，因此，在工程运用前，首先要计算应力强度因子。计算应力强度因子有解析法和数值法两种，前者包括应力函数法、积分变换法、契合问题解法等等；后者包括有限单元法、边境元法、边境配置法等。从五十年代中期以来，已建立了许多的计算应力强度因子的方法，对很多常见裂纹问题的应力强度因子已聚集成手册。因此，可以根据手册的结果，作一定的简化和近似后，来处理工程问题。裂纹的应力强度因子应力强度因子的值由载荷、裂纹数目、长度和位置以及物体的几何外形等共同决议。它的单位是[力]•[长度]-3/2。常用单位为制的百万牛顿•米-3/2(MN/m3/2)或用公制的公斤力•毫米-3/2。由于I型裂纹是最主要的裂纹型，下面引见一些规范裂纹问题，给出实验室常用试件和工程零构件最常见I型裂纹的应力强度因子〔用K表示〕。Griffith裂纹的应力强度因子无限大平板有中心裂纹，裂纹外表遭到均匀拉伸应力作用的应力强度因子无限大平板有中心裂纹，裂纹外表某处遭到一对集中拉力P〔单位厚度集中力〕作用的应力强度因子有限宽的长条板有中心裂纹，遭到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子有限宽的长条板有单边裂纹，遭到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子有限宽的长条板有单边裂纹，遭到无穷远处的纯弯曲的应力强度因子设那么圆孔萌生的单边裂纹—工程近似解的应力强度因子无限大平板的圆孔萌生了一条穿透板厚的裂纹，裂长为L。假设平板遭到无穷远处的均匀拉伸，当L<<R时，应力强度因子的上限为:假设裂纹较长，那么下限用:圆孔萌生的双边裂纹—工程近似解的应力强度因子圆裂纹的应力强度因子又称为钱币裂纹〔penny-shapedcrack〕，是三维的I型裂纹问题，裂纹外表呈圆形。假设遭到垂直裂纹外表的拉伸应力，当弹性体的体积远大于圆裂纹尺寸，且拉伸应力为均布时，圆周上每一点的应力强度因子〔准确解〕为：椭圆裂纹的应力强度因子Φ为第二类椭圆积分：在短轴的端点，K有最大值。在长轴的端点，K有最小值。半椭圆形外表裂纹外形因子从上述例子可见，强度因子总是与载荷成正比〔这里指单向加载的拉伸应力或集中力〕，而且在均匀拉伸下，恒有的方式。这里Y是与载荷无关，而与几何变数〔裂纹长度或位置、物体外形等〕有关的量，故称为几何因子或外形因子〔geometricfactor〕。3-5叠加原理及其运用线弹性力学的本构关系是线性的，因此，裂纹问题的应力强度因子可以利用叠加原理来求得。下面举例引见叠加原理在求应力强度因子方面的几种运用。1.同型裂纹的叠加两个以上的外载荷同时作用于一个带裂纹的物体，假设此时的裂纹问题与每个载荷单独作用时是同一型裂纹，那么应力强度因子为每个载荷单独作用时应力强度因子之和。2.复合型裂纹的分解假设几种载荷或是特殊载荷的作用，产生了复合型裂纹，那么复合型裂纹的各型应力强度因子是把载荷分解后各型裂纹问题的应力强度因子。3.把裂纹问题化为同型的另一个裂纹问题

当一个裂纹问题的应力强度因子很大易求得时，有时可以经过叠加原理，改求另一个较简单裂纹型的应力强度因子，而此两裂纹问题的应力强度因子是相等的。4.Green函数的运用集中力的解可作为格林函数，然后用积分来得到分布力的解。练习1．

如图〔3—17〕所示，宽为h的无限长条板有长为a的单边裂纹，无穷远处的拉伸应力分布是由σ1线性降低到σ2,试求其应力强度因子。2．