高三数学第二轮复习专题3不等式

专题3不等式江苏省震泽中学王利平填空题例1已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2，2a))，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________．解析A×B＝{a2,2a，a2＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a2＋1，解得0＜a＜2.答案(0,2)例2．设则三者的大小关系解析a=2=,b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b.答案例3．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”．给出如下一种解法：解由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式eq\f(k,x＋a)＋eq\f(x＋b,x＋c)＜0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则关于x的不等式eq\f(kx,ax＋1)＋eq\f(bx＋1,cx＋1)＜0的解集为________．解析不等式eq\f(kx,ax＋1)＋eq\f(bx＋1,cx＋1)＜0可化为eq\f(k,\f(1,x)＋a)＋eq\f(\f(1,x)＋b,\f(1,x)＋c)＜0，所以有eq\f(1,x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式eq\f(kx,ax＋1)＋eq\f(bx＋1,cx＋1)＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案(－3，－1)∪(1,2)例4．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B,的最小值等于解析由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为。答案4例5．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①；②；③；④；⑤解析令，排除②④；由，命题①正确；又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－，从而a＞－eq\f(5,8)，所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,8)，\f(5,4))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,8)，\f(5,4)))例13．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝eq\f(1＋cosx＋8sin2\f(x,2),sinx)的最小值为________．解析f(x)＝eq\f(1＋cosx＋8sin2\f(x,2),sinx)＝eq\f(2cos2\f(x,2)＋8sin2\f(x,2),2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))＋eq\f(4sin\f(x,2),cos\f(x,2))≥2eq\r(\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))·\f(4sin\f(x,2),cos\f(x,2)))＝4，当且仅当eq\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))＝eq\f(4sin\f(x,2),cos\f(x,2))，即taneq\f(x,2)＝eq\f(1,2)时取“＝”，因为0＜eq\f(x,2)＜eq\f(π,2)，所以存在x使taneq\f(x,2)＝eq\f(1,2)，这时f(x)min＝4.答案4例14．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则eq\f(x2＋s＋tx＋st＋1,x＋t)的最小值为________．解析设x＋t＝m，则eq\f(x2＋s＋tx＋st＋1,x＋t)＝eq\f(x2＋8x＋10tx＋8x＋9tt＋1,x＋t)＝eq\f(9x＋t2＋1,x＋t)＝eq\f(9m2＋1,m)＝9m＋eq\f(1,m).因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋eq\f(1,m)≥6，当且仅当m＝eq\f(1,3)，即x＋t＝eq\f(1,3)时等号成立．故所求最小值为6.答案6例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x的不等式f(mx2)－2f(x)＞f(m2x)－2f(m)(0＜m＜eq\r(2))的解集为________．解析由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)，得f(mx2＋2m)＞f(m2x＋2x)，即mx2＋2m＞m2x＋2x，也即(x－m)>0.又0＜m＜eq\r(2)，所以x＜m，或x＞eq\f(2,m).答案例16．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值为________．解析∵2a＋b＝2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)(当且仅当a＝b时取等号)，∴(2a＋b)2－4×2a＋b≥0，∴2a＋b≥4或2a＋b≤0(舍)．又∵2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，∴2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴2c＝eq\f(2a＋b,2a＋b－1)(2a＋b≥4)．又∵函数f(x)＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)(x≥4)单调递减，∴2c≤eq\f(4,4－1)＝eq\f(4,3)，∴c≤log2eq\f(4,3)＝2－log23.答案2－log23二、解答题例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用C1(x)＝6x.故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)由f(x)＝2≥2(2eq\r(400)－5)＝70，当且仅当eq\f(400,3x＋5)＝3x＋5，即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70.当隔热层修建为5cm厚时，总费用达到最小值70万元．例18．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋8a＋2b＋a＝0，,12＋8a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝5.))所以切线l的方程为x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－eq\f(1,4).又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m恒成立，得m<0，由根与系数的关系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.故0<x1<x2.对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．综上所述，m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).例19．已知函数f(x)＝sinx＋cosx和g(x)＝2sinx·cosx.(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，eq\f(π,2)]的最小值h(a)；(2)若对任意x∈[0，eq\f(π,2)]，使|af(x)－g(x)－3|≥eq\f(1,2)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sinx＋cosx＋2asinxcosx.设t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，所以φ(t)＝t＋a(t2－1)＝at2＋t－a，由x∈[0，eq\f(π,2)]，得t∈[1，eq\r(2)]．若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2a)))2－a－eq\f(1,4a)，因为t＝－eq\f(1,2a)＜0，所以φ(t)在[1，eq\r(2)]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1；若a＜0，则当－eq\f(1,2a)≤eq\f(1＋\r(2),2)，即a≤1－eq\r(2)时，h(a)＝φ(eq\r(2))＝a＋eq\r(2)；当－eq\f(1,2a)＞eq\f(1＋\r(2),2)，即1－eq\r(2)＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1.综上所述，h(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a＞1－\r(2)，,a＋\r(2)，a≤1－\r(2)，))(2)由|af(x)－g(x)－3|≥eq\f(1,2)，得|a(sinx＋cosx)－2sinxcosx－3|≥eq\f(1,2).设t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，且由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得t∈[1，eq\r(2)]．所以|at－t2－2|≥eq\f(1,2)恒成立，即t2－at＋2≤－eq\f(1,2)或t2－at＋2≥eq\f(1,2)恒成立．由t2－at＋2≤－eq\f(1,2)，得a≥t＋eq\f(5,2t)，因为t∈[1，eq\r(2)]，且t＋eq\f(5,2t)在[1，eq\r(2)]上递减，所以t＋eq\f(5,2t)≤eq\f(7,2)，所以a≥eq\f(7,2).由t2－at＋2≥eq\f(1,2)，得a≤t＋eq\f(3,2t).因为t∈[1，eq\r(2)]，所以t＋eq\f(3,2t)≥2eq\r(t·\f(3,2t))＝eq\r(6)，当且仅当t＝eq\f(3,2t)，即t＝eq\f(\r(6),2)时等号成立，所以a≤eq\r(6).综上所述a≤eq\r(6)或a≥eq\f(7,2).例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．(2)该小组分析若干测得的数据后，认