江西省桑海中学等三校2024届高一数学第二学期期末联考试题含解析

江西省桑海中学等三校2024届高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线y＝﹣x+1的倾斜角是（）A．30∘ B．45∘ C．1352．“”是“函数的图像关于直线对称”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要3．已知点，和向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知,则的值为()A． B． C． D．5．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形8．若，则的坐标是()A． B． C． D．9．己知，，若轴上方的点满足对任意，恒有成立，则点纵坐标的最小值为（）A． B． C．1 D．210．已知为等差数列的前项和，，，则（）A．2019 B．1010 C．2018 D．1011二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．角的终边经过点，则___________________．12．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.13．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．14．已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数m的最小值是______．15．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________．16．设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）解方程：；（2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数；18．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明：；(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．19．某高中非毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这2000个学生的体重情况，从中随机抽取160个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.（1）为了使抽取的160个样品更具代表性，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，并确定每层应抽取的样品个数；（2）根据频率分布直方图，求的值，并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数；（3）已知高一全体学生的平均体重为，高二全体学生的平均体重为，试估计全体非毕业班学生的平均体重.20．某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：单价（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量关于单价的线性回归方程，要使利润最大，应将价格定为多少？参考公式：，.参考数据：，21．已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【题目详解】直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，∴α＝135°故选：C．【题目点拨】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．2、A【解题分析】

根据充分必要条件的判定，即可得出结果.【题目详解】当时，是函数的对称轴，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的充分条件，当函数的图像关于直线对称时，,推不出，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的不必要条件，综上选.【题目点拨】本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.3、B【解题分析】

先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.【题目详解】由题得，因为，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解题分析】

根据辅助角公式即可．【题目详解】由辅助角公式得所以，选C.【题目点拨】本题主要考查了辅助角公式的应用：，属于基础题．5、B【解题分析】

根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.【题目详解】点在直线上,故得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即故原题转化为故答案为：B【题目点拨】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6、D【解题分析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【题目详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.7、D【解题分析】

先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求【题目详解】由题即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故为顶角为的等腰三角形故选D【题目点拨】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题8、C【解题分析】

，.故选C.9、D【解题分析】

由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P纵坐标的最小值即可.【题目详解】设，则，，故，恒成立，即恒成立，据此可得：，故，当且仅当时等号成立.据此可得的最小值为，则的最小值为.即点纵坐标的最小值为2.故选D.【题目点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、A【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【题目详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先求出到原点的距离,再利用正弦函数定义求解.【题目详解】因为,所以到原点距离,故.故答案为：.【题目点拨】设始边为的非负半轴,终边经过任意一点,则：12、1【解题分析】

利用线面平行的性质定理来进行解答.【题目详解】过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，故答案为：1.【题目点拨】本题考查线面平行的性质定理，是基础题.13、【解题分析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.14、【解题分析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面区域内的点与定点距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【题目详解】作出约束条件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目标函数，则目标函数表示平面区域内的点与定点距离的平方，由图像易知，点到的距离最大.由得，所以.因此，即的最小值为37.故答案为37【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.15、【解题分析】

在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。【题目详解】如图所示：因为，又因为，所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16、【解题分析】

由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围【题目详解】根据余弦定理：代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为则：【题目点拨】本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或。（2）、、、，或、、、【解题分析】

（1）由正弦的倍角公式，化简得，得到解得或，结合正弦和余弦的性质，即可求解；（2）设这四个数分别为，得到，且，即可求解，得到答案.【题目详解】（1）由题意，方程，可得，即，解得或，所以或.（2）由题意，设这四个数分别为，可得，且，解得：或，所以这四个数为：、、、，或、、、.【题目点拨】本题主要考查了三角方程的求解，以及等差、等比中项的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及等差、等比数列中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18、(1)见证明；(2)二面角图见解析；【解题分析】

（1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案．【题目详解】（1）连接，因为侧面为菱形，所以，且与相交于点．因为平面，平面，所以．又，所以平面因为平面，所以．（2）作，垂足为，连结，因为，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因为，所以为等边三角形，又，所以，所以.因为，所以.所以.在中，.【题目点拨】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直关系，二面角的求解一般有以下几种方法：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④射影面积法；⑤空间向量法．在求解时，可以灵活利用这些方法去处理．19、(1)见解析；(2)；1350人；(3)平均体重为.【解题分析】

（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生，高一女生，高二男生，高二女生，高一男44人，高一女52人，高二男34人，高二女30人，由此能求出结果．（2）体重在之间的学生人数的率，从而，体重在，内人数的频率为0.675，由此能求出估计全体非毕业班学生体重在，内的人数．（3）设高一全体学生的平均体重为：，频率为，高二全体学生的平均体重为，频率为，由此能估计全体非毕业班学生的平均体重．【题目详解】（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生高一男：人,高一女：人高二男：,高二女：人可能的方案一:按性别分为两层，男生与女生男生人数：人,女生人数：人可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生高一人数：人,高二人数：人（2）体重在70-80之间学生人数的频率：体重在内人数的频率为：∴估计全体非毕业班学生体重在内的人数为：人（3）设高一全体学生的平均体重为，频率为高二全体学生的平均体重为，频率为则估计全体非毕业班学生平均体重为答：估计全校非毕业班学生平均体重为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图、频率、分层抽样、平均数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20、（1）（2）当销售单价定为10元时，销量为50件（3）要使利润达到最大，应将价格定位8.75元.【解题分析】

（1）由均值公式求得均值，，再根据给定公式计算回归系数，得回归方程；（2）在（1）的回归方程中令，求得值即可；（3）由利润可化为的二次函数，由二次函数知识可得利润最大值及此时的值.【题目详解】（1）由题意可得，，则，从而，故所求回归直线方程为.（2）当时，，故当销售单