苏州市重点中学2023年高一数学第一学期期末考试试题含解析

苏州市重点中学2023年高一数学第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.2．已知集合,则(

)A. B.C. D.3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲302乙203其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.44．“”是“的最小正周期为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A.棱柱 B.棱台C.圆柱 D.圆台6．已知全集,集合，集合，则A. B.C. D.7．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A. B.C. D.8．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半9．已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（）A. B.平面C.三棱锥的体积为定值 D.存在点，使得平面平面11．设角的终边经过点，那么A. B.C. D.12．若，则的最小值为（）A.4 B.3C.2 D.1二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是__________14．在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________15．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.16．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：偏瘦正常肥胖女生人数88175y男生人数126211z若，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为_________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．设函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，判断的奇偶性并给予证明；（3）当时，恒成立，求m的最大值.18．从某小学随机抽取100多学生，将他们的身高（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求直方图中的值；（2）试估计该小学学生的平均身高；（3）若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为多少人？19．已知集合A=x13≤log（1）求A，B；（2）求∁U（3）如果C=xx<a，且A∩C≠∅，求a20．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.（1）求证A1C⊥平面EBD；（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.21．计算：（1）；（2）.22．已知函数.（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、A【解析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，因此，.故选：A.2、B【解析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N【详解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则M∩N={x|-1≤x＜2}，故选B【点睛】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题3、D【解析】根据平均数和方差的计算性质即可计算.【详解】设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，因为，同理，∴甲、乙两班合在一起后的方差为：.故选：D.4、A【解析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可的解.【详解】解：由的最小正周期为，可得，所以，所以“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件.故选：A.5、D【解析】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台故选D6、C【解析】先求出，再和求交集即可.【详解】因全集,集合，所以，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.7、A【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，，且与的夹角为，所以，因此.故选：A.8、A【解析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.9、D【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解当有两个解时，则，当有两个解时，则或，综上，的取值范围是，故选D点睛：本题考查函数性质的应用．本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案10、D【解析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明，再证明平面即可.对C,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.对D,根据与平面有交点判定即可.【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;在B中,因为,,故,故.故,又有,所以平面,故B正确；在C中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确.在D中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故D错误.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：

线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；

面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；

线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；

面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面11、D【解析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式求解的值即可.【详解】由三角函数的定义可知：，则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查由点的坐标确定三角函数值的方法，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、D【解析】利用“乘1法”即得.【详解】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】若任意，存在，使得成立，只需，∵，在该区间单调递增，即，又∵，在该区间单调递减，即，则，，14、【解析】由题，设，截面是面积为6的直角三角形，则由得，又则故答案为15、①.448②.600【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．【详解】由题意可得（元），即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入，，即，.当时，，故当时，y取最大值，，当时，易知，故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.故答案为：448；600.【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．16、【解析】先求得，然后利用列举法求得正确答案.【详解】依题意，依题意，记，则所有可能取值为，，，共种，其中肥胖学生中男生不少于女生的为，，，共种，故所求的概率为.故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）﹣3和1（2）奇函数，证明见解析（3）3【解析】（1）令求解；（2）由（1）得到，再利用奇偶性的定义判断；（3）将时，恒成立，转化为，在上恒成立求解.【小问1详解】解：当时，由，解得或，∴函数的零点为﹣3和1；【小问2详解】由（1）知，则，由，解得，故的定义域关于原点对称，又，，∴，∴是上的奇函数.【小问3详解】∵，且当时，恒成立，即，在上恒成立，∴，在上恒成立，令，易知在上单调递增∴，∴，故m的最大值为3.18、（1）（2）（3）4人【解析】（1）根据频率和为1，求出的值；（2）根据频率分布直方图，计算平均数即可（3）根据分层抽样方法特点，计算出总人数以及应抽取的人数比即可；【小问1详解】解：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有，解得；【小问2详解】解：根据频率分布直方图，计算平均数为【小问3详解】解：由直方图知，三个区域内的学生总数为人，其中身高在内的学生人数为人，所以从身高在范围内抽取的学生人数为人；19、（1）A=2,8，（2）∁（3）2,+∞【解析】（1）根据函数y=log8x和函数y=（2）先求出集合A与集合B的交集，再求补集即可（3）根据集合∁和集合A的交集为空集，可直接求出a的取值范围【小问1详解】根据题意，可得：log8813≤log故有：A=函数y=2x在区间-∞,+∞综上，答案为：A=2,8，【小问2详解】由（1）可知：A=2,8，则有：A∩B=故有：∁故答案为：-∞,2【小问3详解】由于A=x2≤x≤8，且A∩C≠∅则有：a>2，故a的取值范围为：2,+∞故答案为：2,+∞20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；（2）由平面，又，则，进而可得是二面角平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.【小问1详解】证明：平面，，又，，平面，，又平面，，且，，平面，，又，A1C⊥平面EBD；【小问2详解】解：平面，又，是二面角的平面角，在中，，在中，，.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式22、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ），，对任意的实数，恒有成立，则区间是不等式解集的子集，，解得，因此，实数的取值范围是；（Ⅱ），由题意可知，，，令，得，令，则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：作出函数在时的图象如下图所示：①当或时，即当或时，方程无实根，此时，函数无零点；②当时，即当时，方程根为，而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；③当时，即当时，方程有两根、，且，，方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；④当时，即当时，方程有两根分别为、