高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第04讲 双曲线（学生卷）

第04讲双曲线【【考点目录】【【知识梳理】知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点2双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==知识点4等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1(a＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq\r(2).(3)等轴双曲线的方程，；2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；(2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于，两点，则（为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.【【考点剖析】考点一求双曲线的标准方程1．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（

）A．1 B．-1 C． D．2．（2023春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．3．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为（

）A． B．C． D．4．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．5．（2023春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．考点二双曲线的焦点三角形7．（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．188．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，，为坐标原点，是中点，则（

）A． B． C． D．9．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（

）A．2 B．4 C． D．10．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（

）A．3 B． C． D．考点三双曲线定义的应用11．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．12．（2023春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（2023·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．14．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．1115．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．考点四双曲线的轨迹方程16．（2023·四川·高二统考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．17．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．18．（2023春·陕西渭南·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．19．（2023·全国·高二专题练习）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．考点五双曲线的离心率求双曲线的离心率20．（2023春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．21．（2023春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．22．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．23．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．24．（2023春·海南·高二校考阶段练习）设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．25．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．求双曲线离心率的取值范围26．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（

）A． B． C． D．28．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线的离心率为2，则实数m的值为（

）A． B． C． D．330．（2023春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．31．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．考点六双曲线的渐近线32．（2023春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．33．（2023春·江苏徐州·高二期末）若双曲线：，的离心率为，则的两条渐近线所成的角等于__________.34．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.35．（2023春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）A．2 B．4 C．2 D．436．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．37．（2023·新疆·统考三模）已知P是双曲线右支上一点，分别是双曲线C的左，右焦点，P点又在以为圆心，为半径的圆上，则下列结论中正确的是（

）A．的面积为 B．双曲线C的渐近线方程为C．点P到双曲线C左焦点的距离是 D．双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3考点七直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（

）A．条 B．条 C．条 D．条39．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（

）A． B．C． D．40．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件41．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是A．（） B．（） C．（） D．（）42．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．43．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．（二）弦长问题44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（

）A．7 B．8 C．9 D．1045．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（

）A． B． C．6 D．46．（2023·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．47．（2023春·福建福州·高二校考期中）设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（

）A． B． C． D．（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．149．（2023秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（

）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=050．（2023春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（

）A． B．C． D．51．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B． C． D．52．（2023·高二课时练习）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．考点八双曲线中参数范围及最值问题53．（2023春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．54．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（

）A． B．C． D．55．（2023春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．56．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是A． B． C． D．考点九双曲线的定点、定值问题57．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直线恒过定点______．58．（2023春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___．59．（2023春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线(1)求曲线C的方程；(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．60．（2023·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；(3)已知点，求最小时的值.61．（2023春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线：的离心率为，且点在双曲线上.(1)求曲线的方程；(2)动点M，N在曲线上，已知点，直线PM，PN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点在直线MN上，，证明：存在定点，使得为定值.考点十双曲线中的向量问题62．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则的纵坐标为（

）A．1 B．2 C． D．63．（2023春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.64．（2023春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.65．（2023春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．考点十一双曲线中的综合问题66．【多选】（2023春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C：，两个焦点记为，下列说法正确的是（

）A．B．渐近线方程为：C．离心率为D．点在双曲线上且线段的中点为，若，则67．【多选】（2023春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率68．（2023春·四川成都·高二树德中学校考期中）设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（

）A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为C．的外接圆半径为 D．的面积为969．【多选】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的方程为B．直线与双曲线C有两个交点C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为170．【多选】（2023·全国·高二假期作业）已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．若在双曲线上，且，则或1C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为D．若在双曲线上，且，则的面积为【【过关检测】一、单选题1．（2023春·江苏连云港·高二期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则3．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P是双曲线上的