北师大长春附属学校2024届数学高二下期末监测试题含解析

北师大长春附属学校2024届数学高二下期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．2．设命题，，则为（）A．， B．，C．， D．，3．函数在处切线斜率为（）A． B． C． D．4．中，，则的值是（）A． B． C． D．或5．函数(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)6．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．8．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由得参照附表，得到的正确结论是（）.爱好不爱好合计男生20525女生101525合计302050附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”9．将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于轴对称，则正数的最小正值是（）A． B． C． D．10．设，，，则A． B． C． D．11．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能确定12．若命题p：，，则是（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．样本中共有5个个体，其值分别为，0，1，2，1．则样本方差为________．14．正方体的边长为，P是正方体表面上任意一点，集合，满足的点P在正方体表面覆盖的面积为_________；15．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______．16．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

18．（12分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间上零点的个数.19．（12分）已知函数，且当时，取得极值为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.20．（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.21．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．22．（10分）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是34，乙猜对歌名的概率是23，丙猜对歌名的概率是(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

求得导数，根据在上单调，得出或在上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。【题目详解】由题意，函数，则，因为，在上单调，所以①当在上恒成立时，在上单调递增，即在上恒成立，则在上恒成立，令，，则在为增函数，∴．②当在上恒成立时，在上单调递减，即在上恒成立，则在上恒成立，同①可得，综上，可得或．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值问题，用到了分离参数法求参数的范围，恒成立问题的处理及转化与化归思想是本题的灵魂，着重考查了推理与运算能力，属于偏难题．2、C【解题分析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【题目详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，.故选：.【题目点拨】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3、C【解题分析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：，则，即函数在处切线斜率为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、B【解题分析】

根据正弦定理求解.【题目详解】由正弦定理得，选B.【题目点拨】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.5、B【解题分析】

根据零点存在性定理，即可判断出结果.【题目详解】因为，所以，，，所以，由零点存在定理可得：区间内必有零点.故选B【题目点拨】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.6、C【解题分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①，当时等号成立，正确②，时不成立，错误③，时等号成立.正确④，时等号成立，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.7、D【解题分析】

分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.详解：由题得：所以故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.8、A【解题分析】

对照表格，看在中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论．【题目详解】由≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A．【题目点拨】本题考查独立性检验，属于基础题．9、D【解题分析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．【题目详解】解：将函数的图形向左平移个单位后，可得函数的图象，再根据得到的图象关于轴对称，可得，即，令，可得正数的最小值是，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10、D【解题分析】

依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．【题目详解】由于，；，又，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．11、B【解题分析】试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4，故选B．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．12、B【解题分析】

利用全称命题的否定是特称命题来判断.【题目详解】解：命题p：，，则：，.故选：B.【题目点拨】本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

根据题中数据，求出平均值，再由方差计算公式，即可求出结果.【题目详解】因为，0，1，2，1这五个数的平均数为：，所以其方差为：.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查计算几个数的方差，熟记公式即可，属于基础题型.14、【解题分析】

分别在六个侧面上找到满足到点的距离小于等于的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【题目详解】在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：满足的点在正方体表面覆盖的面积为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.15、【解题分析】

设椭圆的方程为，由面积公式以及离心率公式，求出，，即可得到答案。【题目详解】设椭圆C的方程为，椭圆C的面积为，则,又，解得，.则C的方程为【题目点拨】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和，，的关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题。16、0.768【解题分析】

至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．分别求解后根据互斥事件的概率加法公式求解即可．【题目详解】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确，其概率为；②第一二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为；③第一天预报不准确，第二三天预报准确，其概率为．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．即所求概率为．【题目点拨】本题考查独立事件同时发生的概率的求法和互斥事件的概率，解答类似问题时首先要分清概率的类型，然后在选择相应的公式求解．某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解题分析】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.试题解析：（1）由，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解题分析】

试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；（2）由，得．因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数．试题解析：（1）∵，∴，因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：100递增极大值递减极小值递增由表可得当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为.（2）由（1）得．∵，∴.①当时，在上单调递增，在上递减又因为所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，所以上有两个零点．②当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.综上：当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点．点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．19、（1）（2）【解题分析】分析：(1)先根据导数几何意义得，再与函数值联立方程组解得的解析式；(2)先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.详解：（1），由题意得，，即，解得，∴.（2）由有两个不同的实数解，得在上有两个不同的实数解，设，由，由，得或，当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，由题意得，即，解得，点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20、（1）18（2）39.96【解题分析】试题分析：（1）频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率，由此可以得出中度拥堵的概率，继而得出这50个路段中中度拥挤的有多少个；记事件为一个路段严重拥堵，其概率，则，所以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为；（3）根据频率分布直方图列出分布列，即可求得数学期望.试题解析：（1），这50路段为中度拥堵的有18个.（2）设事件“一个路段严重拥堵”，则，事件三个都