三角函数-任意角与弧度制

2/2三角函数-任意角与弧度制知识点1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。2.角的分类为了区别起见，我们规定:（1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；（2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简化成“”。3.终边相同的角的表示方法：与终边相同的角构成一个集合：注:（1）；（2）是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.非象限角：终边落在轴或轴上的夹角。5.弧度与角度的互化（1）弧度制的定义比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。因此我们有如下定义：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)（2）.弧度角的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。弧度单位：rad。（此单位写不写都可以）（3）.弧长公式：（4）.角度与弧度的换算；。1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝(eq\f(180,π))°特殊角的度数与弧度制对应表：（5）.弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为S＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)|α|·r2题型一终边相同的角的表示【例1】写出与角终边相同的角的集合，并求在范围内与角终边相同的角【例2】写出终边落在如图所示直线上的角的集合．【例3】如图分别是终边落在OA,OB位置上的两个角.且.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的所有角的集合;(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角θ.且的所有角的集合.【过关练习】1.下列各对角中终边相同的角是（）。A和 B和C和 D和2.已知角的终边经过点，则与终边相同的角的集合是 .A. B.C. D.3.与终边相同的最小正角为________，与终边相同的最小正角是________。4.在，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限：（1）；（2）。5.若与的终边互为反向延长线，则有（）ABCD6.如果角与角具有同一条终边，角与角具有同一条终边，那么与的关系是什么？7.已知角的终边在如图所示的阴影部分内(包括边界),试指出角的取值范围.

题型二象限角的判定【例1】⑴在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：①；②；③.⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合，写出中满足不等式的元素：①；②；③.【例2】若是第四象限角，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【例3】若角是第二象限角，确定，是第几象限角。【过关练习】1.下列说法正确的有几个（）（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角；（3）小于的角是锐角；（4）的角是锐角。A1个B2个C3个D4个2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在轴的正半轴上，则角是第（）象限角。A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角3.若是第一象限角，则是（）A.第一象限角B.第四象限角C.第二或第三象限角D..第二或第四象限角4.将下列各角表示为的形式，并判断角在第几象限。（1）；（2）。题型三角度制与弧度制的互换【例1】（1）把化成弧度制；（2）把化成角度制。【例2】将下列各角化为的形式，并判断其所在象限.(1)；(2)-315°；(3)-1485°.【例3】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

【过关练习】1.用弧度制表示：①终边在轴上的角的集合②终边在轴上的角的集合③终边在坐标轴上的角的集合。2.⑴把化成弧度；⑵把化成度.3.在平面直角坐标系中,α=,β的终边与α的终边分别有如下关系时,求β:(1)α,β的终边关于x轴对称;(2)α,β的终边关于y轴对称;(3)α,β的终边关于原点对称;(4)α,β的终边关于直线x+y=0对称.题型四弧长公式和扇形面积公式的应用【例1】如图，扇形OAB的面积是4，它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦AB的长。【例2】两个圆心角相同的扇形的面积之比为，则两个扇形周长的比为（）ABCD【例3】将一条绳索绕在半径为的轮子上,绳索的下端B处悬挂着物体W,且轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈,现在想将物体W的位置向上提升100cm,需要多长时间才能完成?【过关练习】1.下列命题中正确的命题是（）A若两扇形面积的比是，则两扇形弧长的比是B若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C若扇形的面积一定，则弧长存在最小D任意角的集合可以与实数集之间建立一种一一对应关系2.一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（）A. BC D3.已知扇形的面积为，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值。4.视力正常的人，能读远处文字的视角不小于，试求：（1）距人远处所能阅读文字的大小如何？（2）要看清长，宽均为的大字标语，人距离标语的最远距离是多少米？课后练习【补救练习】1.下面四个命题中正确的是（）A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角2.终边在坐标轴上的角的集合＿＿.3.若，，则_________（其中扇形的圆心角为，弧长为，半径为）。4.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来。（1）（2）。5.⑴把化成弧度；⑵把化成度.6.把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.⑴；⑵；⑶.7.写出终边在轴上的角的集合.8.将第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角分别用弧度制的形式表示.【巩固练习】1.当角与的终边互为反向延长线，则的终边在 .A.轴的非负半轴上 B.轴的非负半轴上C.轴的非正半轴上 D.轴的非正半轴上2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()(A) (B)(C) (D)23.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是()(A) (B)－(C) (D)－4.若角α是第三象限角，则角的终边在，2α角的终边在.5.试写出所有终边在直线上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.6.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.xyOA7.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜πxyOA8.已知集合，，则两集合的关系是______ .9.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）。图（1）图