广东省2024届高三下学期3月一模考试数学试题

广东省2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记复数ｚ的共轭复数为，若，则（）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（）A． B．1 C． D．4．过，，三点的圆与y轴交于M，N两点，则（）A．3 B．4 C．8 D．65．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%．那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍．（参考数据：，，）（）A．23 B．100 C．150 D．2326．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．分别以锐角三角形的边，，为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（）A． B． C． D．8．已知集合，若a，b，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（）A．16 B．24 C．32 D．48二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是10．已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．11．已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点P为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（）A．有无数个点P，使得平面B．有无数个点P，使得平面C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为D．若点平面，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．随机变量，若且，则随机变量X的第80百分位数是______．13．已知函数在区间上单调，且满足，，则______．14．已知直线l与椭圆在第一象限交于P，Q两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足，则l的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，函数．（1）求的单调区间．（2）讨论方程的根的个数．16．（15分）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点．（1）若点D到平面的距离为，证明：．（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围．17．（15分）如图，已知抛物线，其上有定点，，动点P在抛物线上，且点P位于点A，B之间的曲线段上（不与点A，B重合），过点B作直线的垂线，垂足为Q．（1）若点P是的中点，求点P的坐标．（2）求的最大值．18．（17分）某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码k（，2，3，…，N），按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场．（1）求面试号码为2的学生来自A校的概率．（2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率．（3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是X的数学期望，证明：．19．（17分）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵．对于平面向量，其模定义为．类似地，对于n行n列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第i行第j列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模．弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用．（1），，矩阵，求使的n的最小值．（2），，矩阵求．（3）矩阵，证明：，，．2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学参考答案评分标准：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CDCDBACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABDBDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．88 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。15．解：（1）求导得．因为，，所以当时，且；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．（2）①当时，因为，，所以．所以在上有0个根．②当时，由（1）得，时，的最小值为．因为，所以．所以．所以．所以在上有0个根．综上所述，方程有0个根．16．（1）证明：如图1，连接，过点D作，垂足为H．因为是圆的直径，所以．因为是圆柱侧面的母线，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，，所以平面．因为平面，所以．又因为，，平面，，所以平面．所以点D到平面的距离为，即．设，则．由，得，解得．因为，所以．因为是的中点，所以．（2）解：（方法一）如图2，在平面内，过点作交圆于点E，连接，因为平面，所以，，两两相互垂直，以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，．设点，因为点P在圆上，所以，且．则，，．设平面的法向量为，则即解得取，得．设与平面所成角为，则．因为，且，所以．所以．所以．所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．（方法二）由（1）知，点D到平面的距离为．连接交于点F，如图3．因为，且，所以．所以点O到平面的距离为．在中，由等面积法得，．所以．设与平面所成角为，所以与平面所成角的正弦值．所以．所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．17．解：（1）由点P在抛物线上，设点P的坐标为，，由点P是的中点，且点A的坐标为，得点Q的坐标为．故，．因为，所以，即．整理得．解得，或（舍）．所以点P的坐标为．（2）当直线的斜率为0时，直线的斜率不存在，此时点P的坐标为，点Q的坐标为，得．显然直线的斜率存在，当直线的斜率不为0时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线：，：，解得，的交点Q的横坐标为，所以．因为，，由，得，当且仅当，即时等号成立．综上所述，的最大值为．18．解：（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排，则事件A包含的样本点数为，故．（说明：根据每名参加面试的学生在任意次序面试都等可能，直接写出概率给2分）（2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得．所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，显然事件B，C互斥．记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则．当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，则．当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，则．所以．（3）由题知随机变量X的取值为，，…，，则随机变量X的分布列为，，，…，N．分所以随机变量X的期望，．所以．19．解：（1）由题意得．若，则，即．因式分解得