北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题第一部分一､选择题1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全集，集合，.故选：C.2.设复数z满足，则z的共轭复数（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，所以.故选：B3.展开式中，的系数为（）A.1 B.5 C.10 D.20〖答案〗C〖解析〗二项展开式的通项为，令，即，有，故的系数为10.故选：C.4.设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（）A.6 B.8 C.12 D.14〖答案〗D〖解析〗设公比为，则，则，又的各项均为正数，故，则.故选：D.5.已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗非零向量，，满足，且，对于A，不恒为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不恒为，故C错误；对于D，不恒为，故D错误.故选：B.6.如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中点，连接，，，正方体，平面，平面，，是的中点，，且，四边形是矩形，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面，，，，.故选：A.7.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗，，函数在单调递增，函数在上单调递减，由得，得，满足充分性；由得，得，满足必要性.“”是“”充要条件.故选：C.8.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由题知，粒子从为一个周期，对应由为一个周期，对应由为两个周期，函数的周期是函数的周期的倍.对于A，的周期为，的周期为，故A错误；对于B，的周期为，的周期为，故B正确；对于C，的周期为，的周期为，故C错误；对于D，的周期为，的周期为，故D错误.故选：B.9.已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图：设，圆M的半径为r，则，所以的面积，当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值，故选：A10.设函数，对于下列四个判断：①函数的一个周期为；②函数的值域是；③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．正确的判断是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗D〖解析〗对于①，，，故不是函数的一个周期，①错误；对于②，，需满足，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离，当且仅当且时等号成立，而时，或，满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，又，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确．故选：D.第二部分二､填空题共5小题.11.函数的定义域为__________.〖答案〗〖解析〗，解得且，函数的定义域为.故〖答案〗为：.12.已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是__________；直线与双曲线相交于，两点，则__________.〖答案〗〖解析〗由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，即，，所以双曲线的渐近线方程为；当时，，设，则，所以.故〖答案〗为：；.13.已知函数，若，则的一个取值为__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，即，解得，，，的一个取值为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.14.设函数①若，则的最小值为__________.②若有最小值，则实数的取值范围是__________.〖答案〗①.②〖解析〗①当时，，则当时，，当时，，故的最小值为；②由，则当时，，由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故〖答案〗为：；.15.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列.其中所有正确判断的序号是__________.〖答案〗②③〖解析〗对于①，因为，取数列：，显然满足，但数列不是周期函数，所以①错误；对于②，因为数列满足：，不妨令，则数列为，故，所以②正确；对于③，为周期数列，不妨设周期为，所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，故存在正整数，使得恒成立，所以③正确；对于④，取数列为首项2，当时，，则当为奇数时，，当为偶数时，，取，则恒成立，但不为周期数列.故〖答案〗为：②③.三､解答题16.如图，在直三棱柱中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.（1）证明：如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有,又因为平面，平面,故平面，平面，又,则平面平面,因平面，则平面.（2）解：如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,设点,则，代入坐标得：，即，于是,,设平面的法向量为，则有故可取，依题意得，，解得：，即线段的长为1.17.在中，（1）求；（2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1），故；（2）若选条件①：，由，，，故，即，，此时三角形唯一确定，符合要求，.若选条件③：的周长为,由，故，则，化简得，即有，解得，故，此时三角形唯一确定，符合要求，.不能选条件②，理由如下：若选条件②：，由，，，设点到直线的距离为，则，即，此时，，故，即不存在该三角形，故②不符合要求.18.某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假设每次考试是否通过相互独立.（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值838893解：（1）记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，则，，从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；（2），，，小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为；（3）2022年考生成绩合格的概率为,2023年考生成绩合格的概率为，要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则，解得.故的最小值为.19.已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线.（1）解：由题意，所以，所以椭圆的方程为.（2）证明：由题意不妨设，其中，即，则，且直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，消去并化简整理得，由韦达定理有，所以，，即点，而，，所以三点共线.20.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，求证：函数在上有极大值，且.（1）解：当时，，，即切点为，，，即在处切线的斜率为，故曲线在处的切线方程为；（2）证明：，令，，，在单调递增，且，在单调递增，且，在单调递减，，，即，，存在唯一的，使，即，当时，，即，在单调递增，当时，，即，在单调递减，在处取得极大值，设极大值，即，令，，，对勾函数在单调递增，，，，，即，.21.若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.（1）若数列具有性质，求的值；（2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；（3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.（1）解：由已知可得数列共有5项，所以，当时，有，当时，有，所