福建省三明市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得：或，即，因，故.故选：C.2.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意.故选：A.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，的定义域为且单调递增，又，，∴零点所在区间为.故选：C.4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于点，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，所以.故选：D.5.函数若，则实数的取值是（）A.3 B. C.3或 D.5或〖答案〗D〖解析〗当时，，解得：；当时，，解得：；即实数的取值是5或.故选：D.6.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，函数的定义域为，显然关于原点对称，由可知函数是偶函数，故排除A，B两项；因当时，，如图，则，即，故排除D项，则C项正确.故选：C.7.2023年8月24日，日本政府无视国内外反对呼声，违背应履行的国际义务，单方面强行启动福岛核污染水排海．福岛核污染水中的放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过（参考数据：）（）A.110年 B.115年C.112年 D.120年〖答案〗A〖解析〗设至少经过年（是正整数），“锶90”的剩余量不高于原有的8%，原有“锶90”含量为1，则，解得，即，若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过110年.故选：A.8.“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（）A.196 B.198 C.199 D.200〖答案〗B〖解析〗由题意，在中，不妨令，得，所以，经检验满足题意，所以，所以，如图所示：由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数，由图可知时，与的交点分布在这49个区间内，且每个区间内都有2个交点，同理时，与的交点分布在这50个区间内，且每个区间内都有2个交点，综上所述，函数与在内的交点个数为：.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗选项A：因为，所以，故A错误；选项B：因为，所以，又因为，所以，故B错误；选项C：因为，所以，两边同乘，得到，故C对；选项D：因为，所以，故，D对.故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为C.当时，函数的值域为D.与表示同一个函数〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，带量词的命题的否定，包括否定量词和否定结论，故A项正确；对于B项，不等式对一切实数都成立包括两种情况：①时，不等式为显然恒成立；②时，恒成立等价于解之得：，综上可得：数的取值范围为，故B项正确；对于C项，因，故，当且仅当时，等号成立，即函数的值域为，故C项正确；对于D项，两函数定义域都是R，但与的对应法则不同，故两个函数不是同一函数，故D项错误.故选：ABC.11.函数，下列结论正确的是（）A.图象关于轴对称 B.在上单调递减C.的值域为 D.若，则的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于A，函数的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，故A正确；对于B，因为函数的定义域为，所以在上不具备单调性，故B错误；对于C，当时，，又因为为偶函数，所以，故C错误；对于D，当时，，所以在单调递减，又因为为偶函数，若，则，且，解得，则的取值范围为，故D正确.故选：AD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是周期函数B.函数在单调递减，单调递增C.若，则D.不等式的解集为〖答案〗ABD〖解析〗因可知函数定义域为R，由可知函数为偶函数，且，故有一个为，故A项正确；对于B项，当时，，，则函数上单调递增，由奇偶性知，函数在上单调递减，故B项正确；对于C项，因，，，则，但是，故C项错误；对于D项，先求不等式在一个周期内的解集，取区间，由不等式可得，即，即(*)，由B项知函数在上单调递增，当时，，因，则函数在上单调递减，当时，，，则函数在上单调递增，同理函数在和上单调递减，在上单调递增，如图.结合图象，由（*）可得：，则在整个定义域上有，解得：，故D项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数的图象经过点，则___________．〖答案〗〖解析〗因为幂函数的图象经过点，所以，则，所以，则.故〖答案〗为：.14.函数的定义域为_____________________．〖答案〗〖解析〗由题意，解得且，所以函数的定义域为.故〖答案〗为：.15.中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为______．〖答案〗455〖解析〗如图，作出包含扇环的两个扇形和，依题意，的长为50cm，的长为15cm，cm，不妨设扇形的半径为，则扇形的半径为，设圆心角，则，解得：，于是扇环的面积为：.故〖答案〗为：455.16.已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是__________________________．〖答案〗〖解析〗由题分析：令，已知函数，依题意与图象有2个不同的交点，当时，与图象有1个交点，不符合题意，当时，函数与的图象如图所示，两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意，当时，函数与的图象如图所示，因为，，所以，，解得，所以，，综上所述，的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值．解：（1）由诱导公式得：，所以．（2）由（1）得，由，得，所以．18.集合，或，且．（1）求，的值；（2）若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）因为，或，所以是方程的根，所以，由可得或，所以或，又因为，或，所以，．（2）因为或，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时满足题意，此时，即，当时，此时或，则，综上所述，实数的取值范围是．19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：00200（1）根据以上表格中的数据求函数的〖解析〗式，并求函数的单调递增区间；（2）将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．解：（1）由表中数据可得，，因为，所以，则，当时，，则，所以，由，得，所以的单调递增区间为．（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，函数图象如下，如图，当时，方程恰有两个实数根，等价于函数，的图象与直线有两个交点，故可得：．20.某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表：身高8090100110120130140150160170体重10121517202731455067根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的关系，现有以下三种模型提供选择：①，②，③.（1）你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用，，这三组数据求出此函数模型的〖解析〗式；（2）若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？（参考数据：）解：（1）选择模型①，因为体重随着身高的增大而增大，并且增长的速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型，把，，这三组数据分别代入，可得（Ⅰ）消去，可得（Ⅱ）将两式相除可得：，将其代入（Ⅰ）式，可得：解得：，故．（2）由（1）得，所以，当时，由可得：，所以，所以，因，故该未成年男性的体重正常．21.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）因为函数是偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，令，因为，则，所以，存在，使得成立，则，所以