数学-河南省南阳市2024届高三上学期1月期终质量评估试题和答案

数学试题参考答案一．选择题1-8.CBDCBDAC二．选择题9.AC10.ACD11.ABD12.CD三．填空题四．解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）：由正弦定理得sinAsinB一sinBcosA=0.……………2分：0<A<π,：A=.………………………5分即b2+c2bc=100.…………7分22：S=bcsinA=bc<根100=25，………………8分：当且仅当b=c时，△ABC面积有最大值，最大值为25.…………10分=2，……………2分{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，an=1=2n111=2.……………2（2）证明方法一）由（1）可得Sn=n，所以Sn=2=1<.…………………7分nS7综上可得T<.…………12分2（方法二）由（1）可得Sn=n，所以Sn=n2=1<.…………………7分=1+=<.…………………8分n2n(n-1)n-1nnS综上可得Tn<.…………12分由余弦定理，得所以A1C」AC，…………2分同理A1C」BC，又BC（AC=C，AC,BC一平面ABC,所以A1C」平面ABC,又A1C一平面A1ACC1，所以平面ABC」平面A1ACC1.……………5分(2)由平面几何知识可知，AC⊥CP，……………6分以C为坐标原点，以CA，CP，CA1为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C一xyz，)，……………7分=(,3,1).…………9分(1,0,0)，…………10分所以二面角CA1PB1的正弦值为.……………12分（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，∴设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.……………4分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，知X～B(3，0.7)，P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C×0.7×0.32＝0.189，P(X＝2)＝C×0.72×0.3＝0.441，P(X＝3)＝C3×0.73＝0.343.∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1.…………………12分假设存在常数n,使AD.AE=λ（常数设直线l：x=my+n，代入C，整理得(m2224)=0，设D(x1,y1),E(x2,y2)m2则y+y=2mn,m2所以AD.AE=(x1+4,y1).(x2+4,y2)2y2y222)2……………7分22=λ（算法一）整理化简得：(12λ)m2+5n2+32n+604λ=0对vmeR恒成立.……9分:λ=12,5n2+32n+12=0：n=一或当直线l为x轴时AD.AE=12综上，存在常数n=一,对任意直线l,使AD.AE=12（为定值）……………12分（算法二）(m2m222m2+42=λ根据对应系数成比例得：n24.4.……………9分当n=6不能保证任意l成立，故舍去.将n=代入上式可得AD.AE=12当直线l为x轴时AD.AE=12综上，存在常数n=一,对任意直线l,使AD.AE=12……………11分（为定值）……………12分…1分 ,a ,a……3分……5分①当0<x<1时，xlnx<0,ex一1+sinx