2024年中考数学复习（全国版）第13讲 二次函数图象与性质（讲义）（原卷版）

第13讲二次函数的图象与性质目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一二次函数的相关概念题型01判断函数类型题型02判断二次函数题型03已知二次函数的概念求参数值题型04利用待定系数法求二次函数的解析式类型一一般式类型二顶点式类型三交点式考点二二次函数的图象与性质题型01根据二次函数解析式判断其性质题型02将二次函数的一般式化为顶点式题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质题型04利用五点法绘二次函数图象题型05二次函数平移变换问题题型06已知抛物线对称的两点求对称轴题型07根据二次函数的对称性求函数值题型08根据二次函数的性质求最值题型09根据二次函数的对称性求字母的取值范围题型10根据二次函数的最值求字母的取值范围题型11根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围题型12根据二次函数的增减性求字母的取值范围考点三二次函数与各项系数之间的关系题型01根据二次函数图象判断式子符号题型02二次函数图象与各项系数符号题型03二次函数、一次函数综合题型04二次函数、一次函数、反比例函数图象综合题型05两个二次函数图象综合考点四二次函数与方程、不等式题型01求二次函数与坐标轴交点坐标题型02求二次函数与坐标轴交点个数题型03抛物线与x轴交点问题题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况题型05图象法确定一元二次方程的近似根题型06求x轴与抛物线的截线长题型07图象法解一元二次不等式题型08根据交点确定不等式的解集题型09二次函数与斜三角形相结合的应用方法考点要求新课标要求命题预测二次函数的相关概念通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.二次函数的图象与性质能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.二次函数与各项系数的关系理解二次函数与各项系数的关系.二次函数与方程、不等式知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.考点一二次函数的相关概念二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数a≠0，而QUOTEb ，  cb，c可以为零根据实际问题列二次函数关系式的方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式.二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件一般式y=ax²+bx+c(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax²＋c（a≠0）2)当c＝0时，y＝ax²＋bx（a≠0）3)当b＝0，c＝0时，y＝ax²（a≠0）题型01判断函数类型【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系【变式1-1】（2021上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记PM=xm，PN=ym，图中阴影部分的面积为Sm

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系题型02判断二次函数【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（

）A．y=ax2C．y=ax【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（

）A．y=x+13 B．y=【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数y=a-A．a≠b B．a=b C．判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数.题型03已知二次函数的概念求参数值【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=m2+mA．-1 B．0 C．2 D．-1题型04利用待定系数法求二次函数的解析式类型一一般式【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且ax-1013y-353①ac②当x>1时，y的值随x③4是方程ax④当-1<xA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=ax2+bx+c（ax…--012…y…1m--n…且当x=-12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②-2和3是关于A．0 B．1 C．2 D．3【变式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x2+bx+c=0的两根为-1A．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=-2时，函数的最大值是C．当x=2时，函数的最小值是-9． D．当x=-2类型二顶点式【例5】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，且顶点为1【变式5-1】（2022上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为．类型三交点式【例6】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点-1,0、3,0【变式6-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+ca<0与x轴交于点（1）抛物线的顶点坐标为．（2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值s1≤s≤2，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.考点二二次函数的图象与性质一、二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=-顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(-b2a最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac-增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.二、二次函数的图象变换1）二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号三、二次函数的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=-b22若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=-b2a3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.四、二次函数的最值问题自变量取值范围图象最大值最小值全体实数a>0当x=-b2a<0当x=-b2x1≤x≤x2a>0当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=-b2当x=x1时，二次函数取得最大值y1当x=-b2当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=x1时，二次函数取得最小值y1备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.11.抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.2.抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.3.涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.题型01根据二次函数解析式判断其性质【例1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为0C．图象与x轴的交点坐标为-2,0和D．y的最小值为-【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若A-6,y1，B-3,y2，C1,y3A．y3<y2<y1 B．【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线y=x2①开口方向向上；②对称轴是直线x=-4；③当x<-2时，y随x的增大而减小；④当x<-5或xA．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线y=ax-h2+k（a、h、k是常数，a<0，0<h<12）过点A-1,0．下列四个结论：①k<0；②该抛物线经过点2h+1,0；③一元二次方程ax【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式M=a2①M的值可能为4；②当a>1时，M的值随a③当a为小于0的实数时，M的值大于0；④不存在这样的实数a，使得M的值小于-1其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④题型02将二次函数的一般式化为顶点式【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数y=x2A．y=x+4C．y=x+2【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数y=-x2A．最小值为1 B．最小值为2 C．最大值为3 D．最大值为-【变式2-2】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2-2ax+【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=-x2+4x-n【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数y=(1)用配方法将函数y=-x(2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形ADBC的面积．题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【例3】（2022·福建龙岩·统考模拟预测）若二次函数y=a2x2+bx-c的图象过不同的六点A-1,n，B5,n-1，A．y2<y1<y3 B．【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知a、b(0<a<b)为抛物线y=(xA．b-a B．a-b C．a-【变式3-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数y=mxA．当m=1时，函数图象的对称轴是yB．当m=2C．当m>0D．如果m<0，当x>12时，【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线y=ax2+A．若m>2时都有n>B．若m>1时都有n<C．若m<0时都有n>D．若m<0时都有n<【变式3-4】（2022·福建福州·统考一模）已知点Ax1,y1，Bx2,yA．若x1-xB．若x1-C．若y1>yD．若y1>题型04利用五点法绘二次函数图象【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：(1)请在图中画出函数：y=

(2)结合图像直接写出方程：x+4=-x+6(3)在图中画出函数y=x2-2

【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线y=2(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出y=2

(2)将y=2x2-4【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2(1)作图探究：①下表是y与x的几组对应值：x…---2-01234…y…830m0-10n8…m=___________，n=②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：①方程x2-2|②如果y=x2-2x的图象与直线y=(3)延伸思考：将函数y=x2题型05二次函数平移变换问题【例5】（2022·上海崇明·统考二模）将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点．【变式5-1】（2021·浙江宁波·统考一模）将抛物线y=x2A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【变式5-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中将抛物线y=ax2-4axA．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线y=-x2+aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式5-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）将抛物线y=ax2-2ax+1平移，使得平移后的抛物线与A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位题型06已知抛物线对称的两点求对称轴【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数y=ax-h2A．6 B．5 C．4 D．3【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线y=ax2+【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点m+1,m，3-m,m，直线y=题型07根据二次函数的对称性求函数值【例7】（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A1,4关于抛物线y=a(x【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点P1(1,y1)，P2(3,y2)和P3(4,y3【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线y=ax2+bx+c经过点-3,y1A．m<-3 B．m<1 C．m>1【变式7-3】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点Ax1，y1，Bx2，y2在抛物线A．y1>y2>m B．y【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，aA．若对称轴为直线x=1，则a<0 B．若对称轴为直线xC．若对称轴为直线x=3，则a<0 D．若对称轴为直线x题型08根据二次函数的性质求最值【例8】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数y=x2-2x+3，当0≤x≤4时，yA．13 B．5 C．11 D．14【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积SA．3 B．152 C．15 D．【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-A．-14 B．-6 C．-8【变式8-3】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=-x-m2①若y的最大值为-8，则m②若y的最小值为-8，则m③若m=5，则y的最大值为-则上达说法（）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确题型09根据二次函数的对称性求字母的取值范围【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（c为常数）经过点p,m、qA．c-154≤mc<m≤【变式9-1】（2022·浙江杭州·校考二模）若二次函数的解析式为y=x-mx-11≤mA．94≤q≤254 B．-题型10根据二次函数的最值求字母的取值范围【例10】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤xA．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤【变式10-1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）已知二次函数y=-x2+4x+c的图象与直线y=x有且只有一个公共点，且当0≤x≤A．-1≤m≤0 B．2≤m<7【变式10-2】（2022·四川泸州·二模）已知函数fx=x2-2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤xA．-3≤a≤4 B．-2≤a≤4题型11根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围【例11】（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=-2x2+4x+3，当A．y≤5 B．y≤3 C．-3≤【变式11-1】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点1,0，则当A．-5≤y≤5 B．-4≤y≤5【变式11-2】（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）已知二次函数y=ax2+x…-013…y…-366…当0<x<4时，y的取值范围是（A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．题型12根据二次函数的增减性求字母的取值范围【例12】（2023·陕西西安·校考一模）已知点A(m，y1)、B(m+2，y2)A．m<-3 B．m>-3 C．m<-2 D【变式12-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-6（A．a≥-3 B．-3≤a<4 C．【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线y=ax2-2x+c，当xA．-1<a<0 B．-1≤a<0【变式12-3】（2023·山东济南·统考三模）若点An+1,y1,Bn-2,A．n≥3 B．n>32 C．考点三二次函数与各项系数之间的关系一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c>0x轴上4a-2b+c=0x轴的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx轴的上方a-b+c>0x轴上a-b+c=0x轴的下方a-b+c<01a+b+cx轴的上方a+b+c>0x轴上a+b+c=0x轴的下方a+b+c<024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c>0x轴上4a+2b+c=0x轴的下方4a+2b+c<0题型01根据二次函数图象判断式子符号【例1】（2023·广东湛江·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+（1）a<0,b<0,c>0；（2）-b2b=1；（3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A-1，0，对称轴为x=1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点.下列结论：①abc<0；

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（2022·广东深圳·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b>0，②c<0，③

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-4】（2023·辽宁鞍山·校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①c<0；②a-

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤题型02二次函数图象与各项系数符号【例2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+A．抛物线与x轴负半轴必有一个交点 B．2C．abc>0 D．当0≤x【变式2-1】（2022·湖北随州·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，x…-012…y…m--n…且当x=-12时，对应的函数值y>0.有以下结论：①abc>0；②0<m+n<203；③4aA．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【变式2-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）下表按照横坐标由小到大列出了y关于x的二次函数图像上一些不同的点，图像上任意一点纵坐标均不大于7，下列说法错误的是（

）x0m2nyc676A．当c>0时，抛物线与坐标轴有3B．当x=mC．若以Am,6，Bn,6，DD．若直线y=kx+b，经过4,8，若b>8【变式2-3】（2022·湖南株洲·校考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点B在0,-2和0,-1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【变式2-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）已知抛物线y=axA．若抛物线经过点-3,0,B．若b=c，则方程cC．抛物线与x轴一定有两个不同的公共点D．点Ax1,y1,【变式2-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）二次函数y=ax2+

题型03二次函数、一次函数综合【例3】（2023·广东河源·统考二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+A．

B．

C．

D．

【变式3-1】（2012·江苏淮安·统考一模）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数A． B． C． D．【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数y=ax²+

A．

B．

C．

D．

题型04二次函数、一次函数、反比例函数图象综合【例4】（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+

A．

B．

C．

D．

【变式4-1】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+A． B． C． D．【变式4-2】（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=αx+b和反比例函数y=

A． B． C． D．【变式4-3】（2023·山东滨州·统考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+

A．

B．

C．

D．

题型05两个二次函数图象综合【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y1＝12（x-h）2＋k与y2=a(x+3)2-1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①a=12；②点（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，则p＜n＜mA．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【变式5-1】（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数y1，y2在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=A．B．C．D．【变式5-2】（2021上·山东青岛·九年级校考期末）已知二次函数y1=ax2+bxA．当x<0时，y1<y2C．当0<x<1时，y1>y考点四二次函数与方程、不等式一、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根判别式Δ=b2-4ac2个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>01个交点有一个不相等的实数根b2-4ac=00个交点没有实数根b2-4ac<0二次函数与不等式的关系:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2x≠-取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解1.1.解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x轴交点的横坐标.2.若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1<x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线x13.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=b2-（原因：MN=|x1-x2|=x1题型01求二次函数与坐标轴交点坐标【例1】（2023·安徽淮北·校考一模）若对称轴为直线x=-2的抛物线y=ax2+bx【变式1-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线y=2(x-3)【变式1-2】（2023·上海·一模）抛物线y=-x2-3【变式1-3】（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）将抛物线C1：y=x2-2x+3向左平移题型02求二次函数与坐标轴交点个数【例2】（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线y=-x2【变式2-1】（2021·山东滨州·统考模拟预测）抛物线y=2x2+2k【变式2-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）关于抛物线y=x2①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点1,0；④顶点一定不在第二象限A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④题型03抛物线与x轴交点问题【例3】（2023·安徽滁州·校考二模）若二次函数y=x2+2x-2m【变式3-1】（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数y=kx2-8x【变式3-2】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数y=ax2-(3【变式3-3】（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线y=（1）若对称轴在直线x=-1处，则k=（2）若顶点在y轴上，则k=（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为；（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【变式3-4】（2021·安徽安庆·统考一模）已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为．题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况【例4】（2022·河北邢台·校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+c甲：当m=1乙：当m=3丙：当m=5A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式4-1】（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数y=ax2+

A．抛物线开口向上 B．方程ax2+bxC．抛物线对称轴为直线x=2 D．抛物线与y轴交点坐标为【变式4-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程x3-xA．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根题型05图象法确定一元二次方程的近似根【例5】（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式x2x1.11.21.31.4x-0.842.293.76小明说，他通过这四组值能得到方程x2+12x-15=0【变式5-1】（2021·山西·校联考三模）阅读与思考．小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务：九年级总复习笔记专题：一元二次方程解法归纳时间：2021年3月×日引例：求一元二次方程x2方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．解方程：x2【解析】解：……公式法：……配方法：……方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所示，把方程x2-2x-3=0的解看作是一个二次函数的图象与方法三：将方程x2-2x-3=0移项可得x2任务：（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2-x题型06求x轴与抛物线的截线长【例6】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线y=14x2与一次函数y=2xA．202 B．203 C．403【变式6-1】（2022·四川眉山·统考二模）已知：抛物线y=x2-mx-3与x轴交于A、BA．2 B．-2 C．±2 D．【变式6-2】（2021·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-3（m≠0）与x轴交于点A．m>0 B．C．m>316【变式6-3】（2019·重庆·校联考一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为()A．1 B．2 C．