华师一附中2024届高三数学独立作业（1）试卷带答案

一、单选题丙2人相邻，则不同的排队方法共有()3．设,是两个单位向量，若+在上的投影向量为，则cos,=()ABCD505．函数y=x(sinxsin2x)的部分图象大致为()C.D.6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72,82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为()A．455B．2718C．8．已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f,(x)，且满足f,(x)一2f(x)<0，f(0)=1，2C．f<eD．f(1)>ef二、多选题9．已知复数z的共轭复数为z，则下列说法正确的是()A．z2=z2B．z+z一定是实数D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则()A．BC1∥平面A1ECB．二面角A1－EC－A的正弦值为C．点A到平面A1BC1的距离为D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为2一4=1的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接BF1，BF2，BF1与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，A．PM=BNB．SΔFBF=2C．过F2的双曲线的弦的长度的最小值为8D．点B到两条渐近线的距离的积为12．如图，曲线C：x2=2y的焦点为F，直线l与曲线C相切于点P(异于点O)，且与x轴，y轴分别相交于点E，T，过点P且与l垂直的直线交y轴于点G，过点P作准线及y轴的垂线，垂足分别是M，N，则下列说法正确的是()B．无论点P(异于点O)在什么位置，FM都平分ZPFTC．无论点P(异于点O)在什么位置，都满足PT2=4FP.OND．无论点P(异于点O)在什么位置，都有PF.GM<PG.FM+GF.PM成立三、填空题则不吸烟者中患肺癌的概率是用分数表示）2sin20o-cos10o15．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则S‘PAB+S‘PAC+S‘PBC的最大值为.A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于-2，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为.(1)求数列{bn}是通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.b=.1）求角A的大小2）若a=3，求ΔABC的周长L的取值范围.19．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E(ξ);(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（i）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.(ⅱ)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.20．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ADLCD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF」平面ABCD，BC=2AD，ZDCF=60o，G是线段BE上一动点（不含端点）.(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG//平面CDEF；角EDGF的正弦值.21．已知函数f(x)=a+sinx的图象在点(0,f(0))处的切线与y轴垂直.(1)求实数a的值.(2)讨论f(x)在区间(-π,π)上的零点个数. 14 14的直线l1与E交于A，B两点，线段AB的中点坐标为,-，直线l2过原点且与E交于C，D两点，椭圆E过C的切线为l3，OD的中点为G.(1)求椭圆E的方程.(2)过G作直线l3的平行线l4与椭圆E交于M，N两点，在直线l2上取一点Q使=，求证：四边形MQNC是平行四边形.(3)判断四边形MQNC的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.参考答案：【分析】根据题意，化简集合A,B，然后由交集的运算即可得到结果.【详解】由题意可得，集合A={xx=2n,neZ}，即集合A中的元素是2的倍数，集合B={xx=3n+1,neZ}，即集合B中的元素是3的倍数余1，故A八B既是2的倍数，又是3的倍数余1，故选:B【分析】根据给定条件，利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.【详解】求不同排除方法数有两类办法：乙丙站前排，有C种方法，甲站后排有C种方法，排余下3人有A，乙丙的排列有A种，不同排法数为CCAA种，乙丙站后排，有C种方法，甲站后排有1种方法，排余下3人有A，乙丙的排列有A种，不同排法数为CAA种，所以不同的排队方法有：CCAA+CAA=96（种）.【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】：+在上的投影向量为，rara故选：A.【分析】利用赋值法得到a0=-1，a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3-1)5=-1024，结合二项式展开式的系数正负得到a0+a1+...+a5的值，进而求出答案.05x5中，50-a12-a3【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.【详解】由y=f(x)=x(sinx-sin2x)，得f(-x)=-xsin(-x)-sin(-2x)=-x(-sinx+sin2x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除BD.【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.1359根20000=2718.【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，答案第2页，共16页答案第3页，共16页78性，判断各选项不等式.因为f'(x)-2f(x)<0在R上恒成立，所以g'(x)<0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减，2f(0)=e2，故B不正确；【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可.【详解】当复数z=i时，z2=-1，z2=1，故A错；设z122答案第4页，共16页3则V3则V而z1z2a21a2-b1b2a2a2i，不一定为0，故C错；设z=a+bi（a，beR则z2=a2-b2+2abi为纯虚数.2故选：BD.【分析】A选项，连接A1C,AC1，使相交于F，连接EF，通过证明EFⅡBC1即可判断选项正误；B选项，通过证明CEL平面ABB1A1，可得二面角A1－EC－A的平面角为a=ZA1EA；C选项，利用等体积法结合VB-AA1C1可得答案；D选项，利用正弦定理，可得ABC外接圆半径，后可得球的半径.【详解】A选项，连接A1C,AC1，使相交于F，连接EF，因F，E分别为AC1,AB中点，则EF∥BC1，因EF仁平面A1CE，BC1红平面A1CE，则BC1Ⅱ平面A1EC，故A正确；B选项，由题可得A1AL平面ABC，又CE仁平面ABC，则CELA1A.又CELAB，AA仁平面AA1B1B，AB仁平面AA1B1B，则CEL平面AA1B1B.又A1E仁平面AA1B1B，则CELA1E，结合CELAB，可知二面角A1－EC－A的平面角为C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，5，故B错误；取AC中点为G，连接BG.B-B-AACABCd-ABC，又S又SAA.AC22cosZABC=((3)2答案第5页，共16页66‘ABC‘ABC.BC1.sinZA1BC1=77.则d4D选项，设‘ABC外接圆半径为r，由正弦定理， =‘A‘A1BC133212147774 2又设三棱锥外接球半径为R，则三棱锥外接球与以‘ABC,‘A1B1C1外接圆为底面的圆柱外接故选：ACD22(1)2)+.故D正确=m>0结合已知可得m=2，设B(x,y)且x,y>0，应用点在双曲线上、两点距离公式求B坐标，写出直线BF1求出P,M,N坐标，进而判断各项的正误即可.BF22222222 答案第6页，共16页所以PM=，即PM=BN，A令x=c=，则4x5y2=4，可得y=士4，故过F2垂直于x轴所得弦长为8，而过F2和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过F2的双曲线的最短弦为2，C错误； 所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.故选：AD【分析】由题意，求导即可判断A，证明四边形PFTM为菱形即可判断B，由4FP.ON=4PM.ON即可判断C，证明四边形GFMP为平行四边形，再结合基本不等式即可判断D.【详解】因为曲线C：x2=2y，即y=x2，所以yI=x，设点P(x0，y0)，则y022当x0因为PM//FT，所以四边形PFTM为平行四边形，又PF=PM，所以四边形PFTM为菱形，可得FM平分角ZPFT，故B正确：0所以|PT|2=x+4y=2y0+4y，(1)2(1)2所以|PT|2=4FP.ON，故C正确：12直线GP方程：y=x+y0+1，可得G(0,1+y0)，所以GF12又PM=y0+，所以GF//MP且GF=MP，0，答案第7页，共16页所以四边形GFMP为平行四边形，故PG=FM.GM|22>PF.GM，故选：BCD.即可得答案.PAB)=8500，不吸烟者中患肺癌的概率为P(AB).，故答案为：sin10。sin10。sin10。故答案为：【分析】由长方体模型得出a2+b2+c2=16，再由基本不等式得出最值.【详解】设PA=a,PB=b,PC=c，因为三棱锥P一ABC的三条侧棱两两垂直，2答案第8页，共16页即S‘PAB+S‘PAC+S‘PBC的最大值为8.故答案为：8【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点(1,0)，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设lAB：mx+ny=1，又y2=2x，:y2=2x(mx+ny)，:y2-2nxy-2mx2=0，:2-2n.-2m=0.:.=kOA.kOB=-2m=-2，:m=1，:直线AB恒过点Q(1,0)，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线ABLQE时，弦长最短，此时弦JI最小为2=2.故答案为：2n-1由首项公比写出通项公式即可；=an中化简，根据定义即可判断{bn}为等比数列，答案第9页，共16页（2）由（1）中的通项公式求得an，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.【详解】【详解】nn又bnnn又bn所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以bn=3n一1；a nn2a nn23n2n1，234n1n，n，【分析】（1）由条件b=.可得b=aco系可得tanA=，进而求出A；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L的范围.所以b=acosC+csinA，由正弦定理，可得sinB=sinAcosC+sinCsinA，因为B=π(A+C)，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，又由CE(0,π)，则sinC>0，整理得tanA=，又因为AE(0,π)，所以A=.2bc2bc,又由bc<()2（当且仅当b=c=3时等号成立）23()2=(b+c)2，可得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长LE（6，9].【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.(2)（i）200ii）199或200 25【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.故分布列为：ξ012P 433（2i）设池塘乙中鱼数为m,则=,解得m=200,故池塘乙中的鱼数为200.（ii）设池塘乙中鱼数为n,令事件B=“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C=“池塘乙中鱼数为n”则pn=P(B∣C)=C050,由最大似然估计法,即求pn最大时n的值,其中n65,pn+1(n49)(n19)11所以池塘乙中的鱼数为199或200.20．(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接GH,AG，由三角形中位线和边长关系可知四边形ADHG是平行四边形，即可证明AG//平面CDEF；（2）根据题意可知，以C为原点建立空间直角坐标系，可设=λ利用空间向量即可表示出，进而确定G点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角E-DG-F的正弦值为.连接GH,AG，如下图（1）中所示：因为四边形CDEF为平行四边形，所以H是CE中点，又G点为线段BE的中点，则GH//BC，且GH=BC,又AD//BC且AD=BC，所以GH//AD,GH=AD，所以四边形ADHG是平行四边形，所以AG//DH，又AG仁平面CDEF，DH仁平面CDEF，所以AG//平面CDEF；（2）以C为原点，CB,CD为x,y轴，过C且在平面CDEF内与CD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：VCDF,VDEF均为边长为2的正三角形，(-2λ,3λ,λ),0<λ<1，-2λ,3λ,λ)-(-2,2,0)=(2-2λ,3λ-2,λ)，所以---cosDG,---2-2λ (2-2λ)2+(3λ-2)2+3λ2221(3)1(3)设平面EDG的法向量为=(x1,y1,z1)，则有1令z1.设平面FDG的法向量为=(x2,y2,z2)，则有,y2,z2).=-y2222-y22令z22.-2.-2所以二面角E-DG-F的正弦值为 所以二面角E-DG-F的正弦值为 42即二面角E-DG42(2)f(x)在区间(-π,π)上的零点个数为2【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得f,(0)=0，解得即可；的单调性，即可得到f(x)在(一π,0)上的零点情况，当xe(0,π)时，将f(x)变形得f(x)=(exsinx一x)，令F(x)=exsinx一x，利用导数说明F(x)的单调性，即可判断其零点个数，从而得解.由题意得，函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为0，2xxe2xxef,(x)<f,(0)=一1+1=0，故函数f(x)单调递减，所以f(x)>f(0)=0，故函数f(x)在(一π,0)上无零点.设k(x)=ex(sinx+cosx)一1，则k,(x)=故k(x)在(0,,π)上单调递减，又k(0)=0，π故存在x0e,π,使k(x0)=0，当xe(0,x0)时，k(x)>0，F(x)单调递增；故函数f(x)在(0,x0)上没有零点，在(x0,π)上有1个零点.综上所述，f(x)在区间(一π,π)上的零点个数为2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.(2)证明见解析(3)定值，1 x+m4(x2y22