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文档简介
5.数学期望的根本性质利用数学期望的定义可以证明,数学期望具有如下根本性质:设ξ,η为随机变量,且E(ξ),E(η)都存在,a,b,c为常数,那么性质1.E(c)=c;性质2.E(aξ)=aE(ξ);性质3.
E(a+ξ)=E(ξ)+a;
性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b;性质5.E(ξ+η)=E(ξ)+E(η).例设随机变量X的概率分布为:
P(X=k)=0.2
k=1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2).解.
∵P(X=k)=0.2
k=1,2,3,4,5
∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,E(3X+2)=3E(X)+2=11.例.
设随机变量X的密度函数为:
求E(X),E(2X-1).解.
由连续型随机变量的数学期望的定义可知
=-1/6+1/6=0.∴
E(2X-1)=2E(X)-1=-1.我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2数学期望的性质
〔1〕设是常数,那么有。
证把常数看作一个随机变量,它只能取得唯一的值,取得这个值的概率显然等于1。所以,。
〔2〕设是随机变量,是常数,那么有
。
证假设是连续型随机变量,且其密度函数为。
。
当是离散型随机变量的情形时,将上述证明中的积分号改为求和号即得。
〔3〕设都是随机变量,那么有
。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2,我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况,即
。
〔4〕设是相互独立的随机变量,那么
。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为和,的联合概率密度为,那么因为与相互独立,所以有
。
由此得
此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2倒扣多少分?
李老师喜欢在考试中出选择题,但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通,随便选一个答案,以图侥幸。为了对这种不良风气加以处分,唯一方法就是对每一个错误的答案倒扣假设干分。
假设每条选择题有五个答案,只有一个是正确的。在某次考试中,李老师共出20题,每题5分,总分值是100分。他决定每一个错误答案倒扣假设干分,但应倒扣多少分才合理呢?倒扣太多对学生不公平,但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分
数,应该恰到好处,使乱选一通的学生一无所获。换句话说,如果学生完全靠运气的话,他的总分的数学期望应该是0。
假定对一个错误答案倒扣分,而正确答案得5分。随意选一个答案,选到错误答案的概率是,选到正确答案的概率是,所以总分的数学期望是。要它是0,由此,即是对每一个错误答案应该倒扣分。要是这样,对一个只答对六成的学生〔但不是乱选一通之流〕来说,他的总分仍然有,并不算不公平吧?
例4.1.3某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。对600人作临床试验,其中300人服用新药,而另外300人未服,4天后,有320人康复,其中260人服用了新药。问这种新药疗效如何?
[分析]〔1〕无论病人服药与否,可能的结果都有两个:痊愈与未愈,所以为了能够使用概率方法解决这个问题,应该想到引入两点分布的随机变量;
〔2〕评价药物疗效好坏,仅对两组中的某两个个体的治疗效果进行比拟是不行的,而应该比拟两组病人的平均治疗效果。
解
引入“病人服用新药后的结果”;“病人未服用新药的结果”。
,
,
由题设知
,,故,
,,故,
比拟与可知新药对治疗此种病疗效显著。
例4.1.4十个猎人等候野鸭飞来,当一群鸭飞来,猎人同时射击,但每人任选自己的目标,且不互相影响,假设每一人单独打中目标的概率是,假设10只野鸭飞来,计算没有被打中的鸭数的期望值。
解设
没有被打中的鸭数为。首先计算,每一人打中第只鸭的概率是,所以,
进而,
。
注将一个“复杂”的随机变量分解为假设干个“简单”的随机变量之和,是研究随机变量的一种根本方法。
将个球随机地放入个盒子中去,每个球放入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数的数学期望。
提示设
。的分布律为01于是有。故
。
假设由自动线加工的某种零件的内径〔以毫米计〕,服从正态分布。销售每个零件的利润〔元〕与销售零件的内径有如下关系:
问平均内径为何值时,销售一个零件的平均利润最大。
提示销售一个零件的利润的取值为,其分布律为
其中为标准正态分布的
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