数学必修四复习提纲

第二讲平面向量★知识梳理一、根本概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量〔注意向量和数量的区别〕2、零向量：长度为0的向量，记作：〔注意零向量的方向是任意的〕3、单位向量：长度为1的向量提醒：1〕假设是单位向量，那么2〕与共线的单位向量是)4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量〔〕5、平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量，记作：∥〔规定：〕提醒：1〕相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；2〕两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量所在直线重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；3〕平行向量不满足传递性〔因为有)；6、相反向量：长度相等方向相反的向量〔〕二、向量的表示：1、几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后〔注意向量不能说就是有向线段，有向线段也不能说是向量〕2、字母表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3、坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，那么平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。〔如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同〕三、平面向量根本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使基底：任意不共线的两个向量称为一组基底〔平面内的基底有无数组〕四、向量的运算：1、几何运算：1〕向量加法：“平行四边形法那么”：共起点，连对角线〔只适用于不共线的向量〕“三角形法那么”：尾首相接，连首尾〔设，那么向量叫做与的和，〕特殊地，假设，2〕向量减法：“三角形法那么”：共起点，连终点，后到前〔设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同〕3〕向量数乘：几何意义：将的长度扩大〔或缩小〕倍，改变〔或不改变〕的方向，就得到了长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，提醒：线性运算(加法、减法、数乘)的结果还是向量4〕数量积：①两个向量的夹角：对于非零向量，，作，〔当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，〕②在上的投影：〔它是一个实数，不一定大于0〕③平面向量的数量积〔或内积〕：如果两个非零向量，，它们的夹角为，那么(规定：〕〔注意数量积结果是一个实数，不再是一个向量〕④的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积⑤向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，那么：〔特别地，〕2、坐标运算：设，那么：①向量的加减法：，②数乘：③假设，那么，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。④数量积：〔坐标对应相乘相加〕3、向量的运算律：〔1〕交换律：，，；(2)结合律：，；〔3〕分配律：，。4、向量运算的常见应用：1〕向量的模：或2〕两点间的距离公式：假设，那么3〕非零向量，夹角的计算公式：4〕向量平行(共线)：〔坐标交叉相乘相减等于0〕5〕向量垂直：设两个非零向量，，〔坐标对应相乘相加等于0〕提醒：五、向量的一些常用结论：1、不等关系：1〕设两个非零向量，，当且仅当，时取等号〔其中=〕2〕如果，那么当且仅当，时取等号3〕同向或有反向或有；不共线2、线段的定比分点：1〕定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，假设存在一个实数，使，那么叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；2〕的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；3〕线段的定比分点公式：①向量表示：假设P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，那么，②坐标表示：设、，分有向线段所成的比为，那么，〔在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比〕特别地，为线段的中点4〕点为平面内的任一点，假设该平面内三点共线存在实数使得且.3、三角形四心的表示1〕重心〔三角形三边上中线的交点〕：把中线分成2:1①向量表示O为△ABC所在平面的一点，O是△ABC的重心②坐标表示：在中，假设，那么其重心的坐标2〕垂心〔三角形三条高的交点〕：O为△ABC所在平面的一点，O是△ABC的垂心3〕外心〔三角形三边的中垂线的交点〕：O为△ABC所在平面的一点，O是△ABC的外心4〕内心〔三角形三条角平分线的交点〕：O为△ABC所在平面的一点，假设点O满足：①，②③O是△ABC的内心★考点题型及相关练习考点1：向量及与向量相关的根本概念题型1：概念判析【例1】判断以下各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)假设(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量假设共起点,那么终点也相同(6)假设，，那么；(7)假设，，那么(8)假设四边形ABCD是平行四边形,那么(9)的充要条件是且；【解题思路】正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。【解析】(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，〔6〕正确，向量相等有传递性〔7〕不正确，因假设，那么不共线的向量也有，。(8)不正确,如图〔9〕不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【小结】对于有关向量根本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否认相关命题。【例2】〔1〕假设，那么______〔答：〕；〔2〕以下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕中，点在边上，且，，那么的值是___〔答：0〕〔4〕AD，BE分别是的边上的中线,且,那么可用向量表示为_____〔答：〕；【相关练习】1．判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．以下命题正确的选项是〔〕A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c也共线ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量【解析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.3.以下说法：〔1〕假设，那么。〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。〔3〕假设，那么是平行四边形。〔4〕假设是平行四边形，那么。〔5〕假设，那么。〔6〕假设，那么。其中正确的选项是_______〔答：〔4〕〔5〕〕考点2：向量的运算题型1：考查加、减法运算及相关运算律【例1】化简解：〔利用〕设O是平面内任意一点，那么===【小结】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等根底知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错率．【例2】〔1〕作用在点的三个力，那么合力的终点坐标是〔答：〔9,1〕〕〔2〕，，那么点的坐标是。〔答：〔0,2〕〕〔3〕,向量与相等，求的值。〔答：x=0,y=〕〔4〕是坐标原点，，且，求的坐标。〔答：(-2,5)〕题型2：结合图形考查向量加、减法【例3】〔1〕在中，是的中点，请用向量表示〔答案：〕〔2〕在平行四边形中，，求〔答案：〕【小结】三角形中两边对应向量，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．题型3：向量的数乘运算【例4】〔1〕，那么。〔答案：〕；〔2〕设，且，，那么C、D的坐标分别是__________〔答案：〕；题型4：向量的数量积运算【例5】〔1〕△ABC中，，，，那么_________〔答：－9〕；〔2〕，与的夹角为，那么等于____〔答：1〕；〔3〕，那么向量在向量上的投影为______〔答：〕〔4〕，且与的夹角为，求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕。〔答：6,15，-2,0〕；〔5〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕题型5：向量的运算律【例6】以下命题中：①；②；③；④假设，那么或；⑤假设那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的选项是______〔答：①⑥⑨〕【注意】〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法”不满足结合律，即【相关练习】假设3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是向量，求ｍ，ｎ.【解析】记3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ2．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，ABCDE因D、E为eq\o(AB,\s\up6(→))的两个三等分点，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．3.〔1〕化简：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假设为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，那么的值为___〔答：2〕；〔3〕假设M〔-3，-2〕，N〔6，-1〕，且，那么点P的坐标为_______〔答：〕4.点，假设，那么当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上〔答：〕；当＝____时，点P在第三象限〔答：〕，，那么__________〔答：或〕；6.，，如果与的夹角为钝角，那么的取值范围是______〔答：〕；7.是单位向量，其夹角为，假设求的范围，假设？〔〕8.求证：9.(2009)在所在的平面上有一点，满足，那么与的面积之比是()A．B．C．D．P【解析】由,得,PP即,所以点是边上的第二个三等分点,PB故．B考点三：向量的几个重要应用题型1：求向量的模【例1】〔1〕，那么等于____〔答：〕；〔2〕均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____〔答：〕；〔3〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕《二教》P60题型2，P63当堂检测5题型2：求向量的夹角【例2】〔1〕，，求与的夹角。〔答：〕〔2〕，求与的夹角。〔答：〕〔3〕是两个非零向量，且，那么的夹角为____〔答：〕〔4〕，，，求。〔答：〕〔5〕向量，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围是〔A〕....《二教》P47能力提升1，P52例2，P60例3，P61根底稳固6，P63题型4，当堂检测6题型3：向量的平行与垂直问题【例3】(1)假设向量，当＝_____时与共线且方向相同〔答：2〕；〔2〕，，，且，那么x＝______〔答：4〕；〔3〕设，那么k＝_____时，A,B,C共线〔答：－2或11〕【例4】，假设，那么〔答：〕；【例5】1.，，当为何值时，〔1〕？〔2〕？〔答：－1,9〕2