专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）

--------------------------=λ(λ1)，当线段AM、DN的长度均最短时，.=()222．下列命题中正确的个数是().①若与共线，与共线，则与共线.②向量共面，即它们所在的直线共面.③如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组(x,y,z)，使得④若，是两个不共线的向量，而=λ+μ(λ,μER且λμ子0则{,,}是空间向量的一组基底.其中真命题的个数为()4．下面四个结论正确的个数是()---1---3---②若空间四个点P，A，B，C，PC=4PA+4PB，则A，B，C三点共线；5多选）给出下列命题，其中正确的是(),,}是空间的一个基底，则{,,+}也是空间的一个基底---1---3---C．若空间四个点P，A，B，C满足PC=4PA+4PB，则A，B，C三点共线6多选）下列命题中正确的是()B．若//，则AB//CD---1---1---1---C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=2OA+4OB+4OC，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有=λ+μ不共线则λ+μ=1是A，B，C三点共线的充分不必要条件7．在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设=，=，=.(1)用表示(2)求证：EFFG；(3)求证：E，F，G，H四点共面.8．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，ADAB，AA1=AD=2BC＝2，AB=.点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F.(1)求证：BDC1F；(2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为，试确定点F的位置.9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的(1)试建立空间直角坐标系，并写出点D，G的坐标；(2)求DGF的余弦值.10．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C，C1的一点，EAEB1．已=．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.12．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面体高为2，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设‘AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出点A1,B1,A,D1的坐标.13．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为边长为√2的正方形，O1,O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O，且OA1=a．请建立适当空间直角坐标系，并求点A,B,A1,C,D,O1的坐标.OA=，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.位置关系是()A．BC1//平面B1DEB．D1FL平面B1DEC．平面A1AFL平面B1DED．点E到平面A1D1F的距离为224点M在棱PD上，PB//平面ACM.(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AEL平面PBD？=，在线段A1D上取点M，在CD1上取点N，使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为()20多选）若是平面Q的一个法向量，是平面β的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的是()--------------C．Q//β常二λeR，使得=λ上底面A1B1C1D1运动，则下列结论正确的是()A．存在点P使BPLAMB．不存在点P使平面PBDL平面MBDC．若P，A1，B，M四点共面，则B1P的最小值为D．若P，A，B，M，D五点共球面，则B1P的最小值为22．如图所示的几何体中，平面PADL平面ABCD,ΔPAD为等腰直角三角形，ZAPD=90。，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC,ABLAD,AB(1)求证：PD//平面QBC；(2)线段QB上是否存在点M满足=(0<λ<1)，使得AML平面QBC？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.24．如图，在四棱锥P一ABCD中，PDL底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角的大小为()25多选）在三棱锥A一BCD中，平面ABDL平面BCD，BDLCD，BD=CD=2，ΔABD为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能226．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点，计算：(2)异面直线AG与CE所成角的余弦值.(1)求证：MNLAC1；(2)求AG和MC所成角的余弦值；BB,的中点.(1)求证：CELA,D；(2)求异面直线CE与AC,所成角的余弦值.30．设=(1,2,2),=(2,3,2)分别是空间两直线l1,l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的大小为.已知Q是棱PD上靠近点P的四等分点，则CQ与平面PAB所成角的正弦值为().A.55B.5C.D. 1632．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90。，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦() 33．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB=5，DC=3，EF=1，平面ADE所成角的正弦值为.34．如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在棱DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°?若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由.=2AB=2，E为CC1的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：AC1//平面BDE.（用向量的方法证明）(2)若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所成角的正弦值是，求BF的长.336．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD.(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；(2)若折成二面角的大小为45°,是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°,若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由.37．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，AD=AP，AECE.(1)证明：点E是PD的中点；(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值.38．已知多面体PQABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，BC=2AD=2AB=4，四边形PQAD是菱形，QAD=，E，F分别为QA，BC的中点，QF=.(1)求证：平面QPDA平面ABCD；(2)求直线EF与平面QCD夹角的正弦值.39．在正六棱柱ABCDEF一A1B1C1D1E1F1中，底面棱长为2，高为2，P,Q分别为FF1，CD的中点，连接PQ,A1B,A1C,F1D.(1)求PQ,A1B所成角Q的余弦值；(2)过点B作直线l//PQ，设点R是直线l上一点，记平面A1CDF1与平面EFR所成角为β,求cosβ的取值范围.AB，AA140．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为8的等边三角形，AB，AA1。，D在CC1上且满足CD=2DC1.(1)求证：平面ACC1A1L平面BAD；(2)求平面ABC与平面AB1C1夹角的正弦值.41．如图1，在四边形ABCD中，BCLCD，E为BC上一点，AELBC，AE＝BE＝2CD＝2，LAC，(1)证明：平面ABEL平面BCE；(2)点F是线段BE上一点，设=λ,且二面角E-AD-F为30。，求λ的值.42．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PADL底面ABCD，E为侧棱PD的中点.(1)求证：PB∥平面EAC；(2)若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正弦值.43．图1是直角梯形ABCD，AB//CD，ZD=90，AB=4，DC=6，AD=2，=2，以BE为折痕将ΔBCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1(1)证明：平面BC1EL平面ADEB；(2)若=，求二面角P-BE-A的大小.44．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A棱BB1上的点M满足BM=1.(1)证明：CMLAF；(2)若AC与平面ABB1A1所成的角为60。，求平面CAM与平面CBA1所成锐二面角的余弦值.=1，点M是AC的中点.(1)若点G是ΔA1B1C1的重心，证明；点G在平面BB1M内；46．如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，PA=PC，PB=PD，(1)求证：平面PBDL平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为60。，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值.--------------------------=λ(λ1)，当线段AM、DN的长度均最短时，.=()22【答案】A【分析】根据题意得到Me平面BCD，Ne直线BC，从而求得AM,DN最短时，得到M为ΔBCD的中心，N为BC的中点，求得AM的长，结合向量的运算公式，即可求得.的值.可得Me平面BCD，Ne直线BC，当AM,DN最短时，AML平面BCD，且DNLBC，所以M为ΔBCD的中心，N为BC的中点，如图所示，AN=又由正四面体的棱长为1，所以NM=DN=，AN=所以AM=663因为AML平面BCD，所以AMLMN，33222．下列命题中正确的个数是().①若与共线，与共线，则与共线.②向量共面，即它们所在的直线共面.③如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组(x,y,z)，使得④若，是两个不共线的向量，而=λ+μ(λ,μeR且λμ子0则{,,}是空间向量的一组基底.【答案】B【分析】举例=，判断①,由向量共面的定义判断②,由空间向量基本定理判断③,由共面向量定理和空间向量基本定理判断④.【详解】①当=时，与不一定共线，故①错误；②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当，不共线且=λ+μ时共面，故④错误.3．以下命题：①若//，则存在唯一的实数λ,使得=λ;②若.=.，则=或=；③若{,,}其中真命题的个数为()【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断①;由数量积判断②;由基底的概念判断③;由数量积的性质判断④【详解】对于①：根据共线向量的基本定理，//的充要条件是存在唯一的实数λ,使得=λ,其中子；这里没有限制，所以①错误；则a.cosa,b=ccosb,c，即只要在上的投影与在上的投影相等即可，故②错误；}构成空间的另一个基底，故③正确；，故④正确；所以正确的有2个，4．下面四个结论正确的个数是()---1---3---②若空间四个点P，A，B，C，PC=4PA+4PB，则A，B，C三点共线；【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可.---1---3---1---1---3---3---确； 由与不共线得x子一3，于是得当 对于④,(.).是的共线向量，而.(.)是的共线向量，④错误，综上可知，①②正确.5多选）给出下列命题，其中正确的是(),,}是空间的一个基底，则{,,+}也是空间的一个基底---1---3---C．若空间四个点P，A，B，C满足PC=4PA+4PB，则A，B，C三点共线【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A,,,不共面，则,,+不共面，所以{,,+}也是空间的一个基底，故正确；对于B,点P(一2,4,3)关于坐标平面yOz的对称点是(2,4,3)，故错误；---1---3------Φ1---1---Φ1Φ所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得//，所以(-2,-6,k)=λ(1,3,-4)，解得k=8，故正确.故选：ACD6多选）下列命题中正确的是()B．若//，则AB//CD---1---1---1---C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=2OA+4OB+4OC，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有=λ+μ不共线则λ+μ=1是A，B，C三点共线的充分不必要条件【答案】AC【分析】由+=+，可得向量，的方向相同，得向量，共线，从而判断出A；根据向量平行概念判断选项B；根据向量共面条件判断出C；根据共线向量定理判断出D.则AB//CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有=λ+μ不共线当λ+μ=1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D不正确，故选：AC.7．在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是O(1)用表示(2)求证：EFLFG；(3)求证：E，F，G，H四点共面.(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可得EF=2OB，FG=2AC，由向量的减法可得答案.（3）用向量,,分别表示出,,，从而可得=+，从而可证.【详解】（1）E，F分别是OA，AB的中点，则EF//OB且EF=OBF，G分别是AB，BC的中点，则FG//AC且FG=AC（2）证明：设四面体的棱长为a，则向量,,两两之间的夹角均为故EFLFG；从而E，F，G，H四点共面.中，AD∥BC，ADLAB，AA1=AD=2BC＝2，AB=.点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F.(1)求证：BDC1F；(2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为，试确定点F的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)点F为棱AA1的中点.【分析】（1）利用条件可证ACBD，进而利用线面垂直的判断定理可得BD平面ACC1A1，即证；（2）利用坐标法，利用线面角的向量求法可得E2,0,2，然后利用向量共面的向量表示可求F0,0,1即得.因为BD平面ABCD，所以AA1BD，连接AC，所以ADBCAB，所以ACBD，又因为AA1，AC=平面ACC1A1，AA1nAC=A，所以BDL平面ACC1A1，因为C1F=平面ACC1A1，所以BDLC1F.---（2）以A为坐标原点AA1分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，4---214---21(1)---(1)---(1)(1)---(1)---(1)2m=z-222∴F(0,0,1)，即点F为棱AA1的中点.9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1L平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的(1)试建立空间直角坐标系，并写出点D，G的坐标；(2)求ZDGF的余弦值.(2).【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.【详解】（1）因为EF//CC1，CC1L平面ABC，所以EFL平面ABC.又EC仁平面ABC，BE仁平面ABC，所以EFLEC，EFLBE.又AB=BC，所以BELEC，所以直线EB，EC，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EB，EC，EF为轴建立如图所示的空间直角坐标系.2222222在△DGF中，cosZDGF=GD2DF2=2+2=，即ZDGF的余弦值为.10．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.【答案】答案见解析【分析】取BC的中点O，B1C1的中点O1，由面面垂直性质可得AOL平面BCC1B1，以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.【详解】取BC的中点O，连接AO，∵ΔABC为正三角形，:AOLBC，:AO=22一12=；∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABCL平面BCC1B1，平面ABC八平面BCC1B1=BC，AO仁平面ABC，:AOL平面BCC1B1，取B1C1的中点O1，则OO1//CC1，又CC1L平面ABC，:OO1L平面ABC，----------以O为坐标原点，OB,OO1,OA正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，ABL侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C，C1的一点，EALEB1．已3=π.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.3【答案】答案见解析【分析】ABL侧面BB1C1C而BC与BB1不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线，与CC1相交于点D，则BD，BB1，BA三线两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用三角函数和余弦定理求出各边的长度，得各个点的坐标.【详解】在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线，与CC1相交于点D，如图所示，以B为原点，分别以，BA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 2, (1)(3)2)，B1(0,2,0) (1)(3)ABL侧面BB1C1C，EB1仁侧面BB1C1C，ABLEB1，又EALEB1，AB,EA仁平面ABE，ABnEA=A，EB1L平面ABE，BE仁平面ABE，‘BCE中，由余弦定理，BE2=BC2+CE2-2BC.CE.cosZBCC1=1+m2-m，‘B1BE中，B1B2=BE2+B1E2，4=1+m2-m+1+(2-m)2+2-m，(1)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设ΔAB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出点A1,B1,A,D1的坐标.【答案】答案见解析----【分析】取A1B1的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】解：取A1B1的中点E，连接OE，在矩形A1B1C1D1中，O是C1D1中点，所以OE//A1D1，则OELC1D1，由题可知ODL平面A1B1C1D1，所以OD，----如图，以O为坐标原点OC1，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为OE//A1D1，且AD//A1D1，所以OE//AD，则O，E，A，D四点共面，Ae平面xOz，AELx轴，ADLz轴，AE=OD=2，中心，且A1在底面ABCD上的射影是O，且OA1=a．请建立适当空间直角坐标系，并求点A,B,A1,C,D,O1的坐标.【答案】答案见解析【分析】以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可求得各点坐标.【详解】：四边形ABCD为正方向，:ACLBD，由题意知：A1OL平面ABCD，以O为坐标原点，OA,OB,OA1正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，OA=，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.【答案】答案见解析【分析】在平面OBB1O1取一向量LOB，由已知条件可证，OA，OB两两垂直，以O为原点的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】已知平面OBB1O1L平面OAB，ZO1OB=60。，以O为原点，O，O，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.【答案】D【分析】依题意可得L，即可判断.【详解】∵直线l的方向向量为，平面Q的法向量为且.=0，即L，位置关系是()【答案】C【分析】根据线面垂直的向量法即可判断.因此AL，AL，即ABLl，ACLl．又AB八AC=A,AB,AC仁Q，所以lLQ.A．BC1//平面B1DEB．D1FL平面B1DEC．平面A1AFL平面B1DED．点E到平面A1D1F的距离为224【答案】ACD【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.即平行于平面B1DE，而BC1仁平面B1DE，因此BC1//平面B1DE，A正确；F不垂直于DE，而DE仁平面B1DE，因此D1F不垂直于平面B1DE，B错误；,DELAF,AA1nAF=A,AA1,AF仁平面A1AF，于是DEL平面A1AF，而DE仁平面B1DE，因此平面A1AFL平面B1DE，C正确；D1F的一个法向量=(x,y,z)，所以点E到平面A1D1F的距离d=故选：ACD 24D正确.点M在棱PD上，PB//平面ACM.(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AEL平面PBD？【答案】(1)点M为PD中点(2)(3)点E为PC中点【分析】（1）设ACnBD=O，则O这BD的中点，设点M为PD中点，在△PBD中，PB//OM，由此能够确定M的位置使PB//平面ACM.MC=，故SΔMAC=，利用等积法能够求出直线PB与平面MAC的距离.（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出当点E为PC中点时，AEL平面PBD.因为PB//平面ACM，平面ACM八平面PBD=MO，又PB仁平面PBD，于是PB//MO，所以点M为PD中点.底面ABCD是正方形，有CDLAD，PAL底面ABCD，PALCD，而PA八AD=A，则CDL平面PAD，又PD仁平面因此CDLPD，∴AM=，AC=，MC=，∴AM2+MC2=AC2，∴SΔMAC=，取AD的中点F，连接MF，则MF//PA，MFL平面ABCD，且MF=，∵PB//平面ACM，M为PD的中点，∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，∴xxh=xx1x，解得h=.（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(1,1,0)，lyz=lyz=0λ,b=λ,c=1λ,---即E(λ,λ,1—λ)，AE=(λ,λ,1—λ)---∵AEL平面PBD，∴//，∴=,解得λ=，∴E为PC中点.故当点E为PC中点时，AEL平面PBD.使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为()【答案】D【分析】以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面AA1C1C的法向量，由向量与平面AA1C1C的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值.【详解】解：如图，以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，,0,)，--------------------------------λ_1,μ,λ_μ)，2+(λ_1)2+(λ_μ)2=4λ2+4μ2_6λμ_2λ+1222+4μ2_6(1_μ)μ_2(1_μ)+1 当μ=时，2取得最小值，即MN的长度的最小值为.20多选）若是平面a的一个法向量，是平面β的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的是()--------B．aLβ常.=0C．a//β常二λeR，使得n1=λn【答案】BCD【分析】A选项，只有AB仁平面a时，才能得到b//a；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导.【详解】对于A，当.=0且AB仁平面a时，才满足b//a，故A错误；对于B，若aLβ,则.=0，若.=0，则aLβ,即可得到aLβ常.=0，故B正确；对于C，若a//β,则//，则二λeR，使得=λ，若二λeR，使得=λ则//，所以a//β,故C正确；对于D，设a与β的夹角为θ,则θe0,,所以cosθ=cos,，故D正确.故选：BCD.上底面A1B1C1D1运动，则下列结论正确的是()A．存在点P使BPLAMB．不存在点P使平面PBDL平面MBD5C．若P，A1，B，M四点共面，则B1P5D．若P，A，B，M，D五点共球面，则B1P的最小值为√2【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，计算与的数量积能否为0可判断A；若平面PBDL平面MBD，可得MOLBP，同A方法即可判断B；作出平面A1BM与平面A1B1C1D1的交线A1N，B1P的最小值即为B1PLA1N时，计算可判断C；四点A，B，M，D确定的几何体的外接球即为正方体ABCD一MEFG的外接球O，判断出面A1B1C1D1与球O的截面为圆O1，转化为点B1到圆O1上点的距离的最小值，计算可得D.【详解】对于A，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(3,3,0)，M(0,3,3)，设P(x,y,4)，则0<x<3，0<y<3，-------则AM=(3,3,3)，BP=(x3,y3,4)，若BPLAM---------------------对于B，连接AC交BD于O，连结MO，则依题意可得MOLBD，若平面PBDL平面MBD，又平面PBDn平面MBD=BD，MO仁平面MBD，MOLBD，所以MOL平面PBD，所以有MOLBP，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.=(x3)(y3)12=0，得xy=4，此式不可能成立，故B正确；对于C，如图，延长BM交B1C1的延长线于Q，连接A1Q交C1D1于N，则A1Q为平面A1BM与平面A1B1C1D1的交线，若P，A1，B，M四点共面，则P在线段A1N上，所以当B1PLA1N时，B1P最小，CM BB因为C1M//BB1，C1N//A1B1CM BB1所以B1Q=4，又A1B1=3，则A1Q=5，所以当B1PLA1N时，在RtΔA1B1Q中，如图，四点A，B，M，D确定的几何体的外接球即为正方体ABCD-MEFG的外接球O，球O的半径R=（正方体ABCD-MEFG的对角线长的一半若P，A，B，M，D五点共球面，则P在圆O1上，则B1P的最小值为B1O1-r=，故D正确.故选：BCD22．如图所示的几何体中，平面PADL平面ABCD,ΔPAD为等腰直角三角形，ZAPD=90。，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC,ABLAD,AB(1)求证：PD//平面QBC；(2)线段QB上是否存在点M满足=(0<λ<1)，使得AML平面QBC？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，λ=.【分析】（1）通过求证PD//QC，由线面平行的判定定理即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.:四边形PQCD是平行四边形，yz0.PD//QC.∵PD平面QBC,QC平面QBC,PD//平面QBC.（2）取AD的中点为O,∵PAPD,OPAD.∵平面PAD平面ABCD,OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD,OP平面ABCD.以点O为坐标原点，分别以直线OD,OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则x轴在平面ABCD内,∵APD90,ABAD2,PQCD1，------设平面QBC的法向量为x,y,z,---xyz0,xyzxyz,yz------------------------------------又平面QBC的法向量为2,1,1,AM平面QBC，∴.∴在线段QB上存在点M，使AM平面QBC，且的值是.,代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.,代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式cosu,v=【详解】直线l1方向向量=(0,0,1),所以两向量夹角为120。，：直线l1和l2所成角为60。，u.v24．如图，在四棱锥P一ABCD中，PDL底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角的大小为()【答案】B【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC与BQ所成的角的大小.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标------------AC.BQ121因此，异面直线AC与BQ所成的角的大小为.25多选）在三棱锥A一BCD中，平面ABDL平面BCD，BDLCD，BD=CD=2，ΔABD为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能2【答案】AC【分析】过O作与CD平行的直线为y轴，取BD的中点O，根据条件可得AOL平面BCD，分别以OB,OA为x,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由ΔABD为等边三角形，取BD的中点O，连接AO,则AOLBD又平面ABDL平面BCD，且平面ABD八平面BCD=BD所以AOL平面BCD，由BDLCD过O作与CD平行的直线为y轴，分别以OB,OA为x,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，(1)，故AF=AD=或AF=AD=.故选：AC26．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点，计算：------(1)EF.DC------(2)异面直线AG与CE所成角的余弦值.【答案】(1)(2).=().()，最后可求解.（2）利用空间向量数量积的运算性质计算出cos<,>的值，结合异面直线所成角的范围可求得异面直线AG和CE所成角的余弦值.，2.------2243322所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.27．如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，点M,N分别是B1C1【答案】B----【分析】设正方体棱长为2，以D为原点建立空间直角坐标系，写出向量A1M，的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线DN与A1M所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.成角为θ,2x22+125(1)求证：MNLAC1；(2)求AG和MC所成角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)322451--------（2）利用向量数量积和模求向量间的夹角即可.,,}为一组基底，------------------故MNLAC1.----------------------------.. 222=42 ac2((1)24a.------------∴------AG.MC------|AG||------ 所以直线AG与MC所成角的余弦值为BB,的中点.322451A,AL平面ABC，AC=BC=AA,，ZACB=90。，D，E分别为AB，(1)求证：CELA,D；(2)求异面直线CE与AC,所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).（2）用,,表示，然后利用向量夹角公式即得.根据题意得a=b=c22∴∴L，.)12)2)12)22a555 16a555 169即CELA,D；--------a---- ---'cos∴, 5a---- ---'cos∴, 5 2.22a2a c=∴异面直线CE与AC,所成角的余弦值为为.【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.----vv=------vv=--【详解】因为cos1,22.(2)221,2所以与的夹角为90o，即直线l1，l2所成角的大小为90o.AD=1BC//AD，已知Q是棱PD上靠近点P的四等分点，则CQ与平面PAB所成角的正弦值为().212cosCQ,nsinθ=12cosCQ,nsinθ=则.【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点C、Q的坐标，求出平面PAB的法向量，最后求出CQ与平面PAB所成角的正弦值.【详解】：以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，设CQ与平面PAB所成角为θ,n32．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90。，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦() 【答案】B【分析】以CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，根据.=0列出方程求得值，得到向量，，且是平面ABD的一个法向量，设A1B与平面ABD所成角为θ,再利用线面角的向量求法可得答案.++3 ++3 【详解】由题意，以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，(aa1)(aa1)因为点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心，所以GEL平面ABD，因为GEL平面ABD，所以GE是平面ABD设A1B与平面ABD所成角为θ(0<θ<90。)，--+-AB.GE cosAB.GE1sinθ= cosAB.GE1sinθ=AB1AB. cosθ=1cosθ=1-sin2θ=所以.333．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB/DC，DC/EF，AB=5，DC=3，EF=1，ZBAD=ZCDE=60O，二面角F-DC-B的平面角为60O．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为【答案】【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证FN平面ABCD，然后过点N做AB平行线NK，所以以点N为原点，NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB5,DC3,EF1，BADCDE60，由平面几何知识易知，DGAH2,EFCDCFDCBABC90，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，∴在RtΔEGD和RtΔDHA，EGDH2，∵DCCF,DCCB，且CFCBC，∴DC平面BCF,BCF是二面角FDCB的平面角，则BCF60，∴△BCF是正三角形，由DC平面ABCD，得平面ABCD平面BCF，∵N是BC的中点，FNBC，又DC平面BCF，FN平面BCF，可得FNCD，而BCCDC，∴FN平面ABCD，过点N做AB平行线NK，所以以点N为原点，NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz， 设A(5,3,0),B(0,3,0),D(3,3,0),E(1,0,3)，则M3,2,2，设平面ADE的法向量为(x,y,z)，02x2y0nDE02xy3z002x2y0nDE02xy3z0设直线BM与平面ADE所成角为，故答案为：34．如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在棱DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°?若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由.【答案】存在点M，此时MD的长度为3一4.【分析】以D为原点，以DA,DC,DM所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，设DM的长度为a，求得向量和平面BEF的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】以D为原点，以DA,DC,DM所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设DM的长度为a，可得B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1),M(0,0,a)，设MB与平面BEF所成的角为θ,可得sinθ==a+2=，即存在点M，此时MD的长度为3一4.35．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为CC1的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：AC1//平面BDE.（用向量的方法证明）(2)若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所成角的正弦值是，求BF的长.【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE的法向量，利用1.n=0（2）设点F的坐标为(1,1,λ)，由线面角公式可求出λ,即可利用向量的模求BF的长.由题意可知，以D为坐标原点，建立如图示的空间直角坐标系D-xyz.y11AF.y11AF.AF 3y,解得λ=1.证明：设平面BDE的法向量=(x,y,z)，因为1.1L，所以AC1//平面BDE.设点F的坐标为(1,1,λ)，设直线A1F与平面BDE所成角为a，则λ-3 3.1+(λ-2)2所以BF的长为1.36．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD.(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；(2)若折成二面角的大小为45°,是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°,若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)点O在EA的延长线上且OA2(2)存在，答案见解析【分析】（1）根据平面的公理2可确定点O的位置，根据三角形全等求得OA的长；（2）先作辅助线，证明DH⊥平面ABFE，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，求出平面EMC的一个法向量，利用空间量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，如图所示.因为AO//BF，M为AB的中点，所以ΔOAMΔFBM，所OMMF，即M是OF的中点,则OABF2，故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，（2）过D作DH⊥AE于点H，由已知可得EFAE,EFDE，又EAnDEE，∴EF⊥平面ADE,则AED即为折成的二面角的平面角，AED45。，又DH仁平面ADE,∴EFLDH，则DH⊥平面ABFE以H为坐标原点，以HA，HD所在的直线分别为x轴，z轴,，过点H在平面ABFE内作AE的垂线作为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，0,4,),,0,)，取y=-2，则x=t,z=4-t，∴平面EMC的一个法向量为=(t,-2,4-t)，2-4t解得：t=2-或t=2+，∵te[0,4]，∴t=2-，∴存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°.37．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，AD=AP，AELCE.(1)证明：点E是PD的中点；(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明AEL平面PCD，再利用线面垂直的性质得AELPD，结合AD=AP，即可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求直线BE的方向向量与平面ACE的法向量，根据空间向量夹角公式求解线面角正弦值，再利用平方关系得余弦值即可.因为四边形ABCD是正方形,所以ADLCD又PA八AD=A,PA,AD仁平面PAD,所以CDL平面PAD，又AE仁平面PAD,所以CDLAE，又AELCE,CE八CD=C,CE,CD仁平面PCD，所以AEL平面PCD,因为PD仁平面PCD,所以AELPD,又AD=AP,所以点E是PD的中点.（2）由已知可知AP,AB,AD两两垂直，以点A为坐标原点，AP,AB,AD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以cosθ=1一sin2θ=，即直线BE与平面ACE所成角的余弦值为.38．已知多面体PQABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，BC=2AD=2AB=4，四边形PQAD是菱形，ZQAD=，E，F分别为QA，BC的中点，QF=.(1)求证：平面QPDAL平面ABCD；(2)求直线EF与平面QCD夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证OFL平面QPDA，进而可得结果；（2）建系，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）设O是线段AD的中点，连接QO,OF，过D作DMLBC，垂足为M，因为四边形ABCD为等腰梯形，ADⅡBC,BC=2AD=2AB=4，CDCD2CM2则ODⅡMF，即四边形OFMD为平行四边形，可得OFⅡDM,OF=DM=，所以OFLAD，又因为四边形PQAD是边长为2的菱形，且ZQAD=，则ΔQAD是边长为2的等边三角形，可得QOLAD,QO=，则QO2+FO2=QF2，可得QOLOF，因为ADIOQ=O,AD仁平面QPDA,OQ仁平面QPD所以OFL平面QPDA，且OF仁平面ABCD，所以平面QPADL平面ABCD.（2）以O为原点、OF,OD,OQ分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O一xyz，0,02,0E,，，，设直线EF与平面QCD的夹角为θ,所以直线EF与平面QCD夹角的正弦值为39．在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，底面棱长为2，高为2，P,Q分别为FF1，CD的中点，连接PQ,A1B,A1C,F1D.(1)求PQ,A1B所成角a的余弦值；(2)过点B作直线l//PQ，设点R是直线l上一点，记平面A1CDF1与平面EFR所成角为β,求cosβ的取值范围.【答案】(1)(2)0,---(35)---(35)（2）连接AC，取A1C的中点为S，连接AS，证得ASl平面A1CDF1，得到为平面A1CDF1的法向量，，所以PQ,A1B所成角a的余弦值为，所以PQ,A1B所成角a的余弦值为所以cosa= ---(( ---((,,，求得平面FER的法向量为=t,0,2+，结合向量的夹角公式得到cosβ= 42,令t+1=m，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：连接FB，以点F为空间坐标系的原点，直线FB，FE，FF1分别为x轴、y轴和z轴建立空间坐标系，如图所示， 23，P，Q分别为FF1，CD的中点，可得因为正六棱柱ABCDEF一A1B123，P，Q分别为FF1，CD的中点，可得(35)(35)---(35)---(35)所以------AB.PQ---AB1AB---PQ（2）解：连接AC，取A1C的中点为S，连接AS.由正六棱柱的几何性质得，AA1LCD,ACLCD，又因为AA1nAC=A，所以CDL平面A1AC，AAAA因为平面A1CDF1八平面A1AC=A1C，所以ASL平面A1CDF1，又因为平面即为平面A1CDF1的法向量， 23,2,0 23,2,0，所以 (3) (3) ---(3t5t)--- ---(3t5t)---(35)所以cosβ=22所以cosβ=22m+m3t(3t)3t(3t)---AS.n---ASn .42 42,cosβ=2m当且仅当m=5时，cosβ=，综上所述，可得cosβe0,.=222m+m所以AB，AA1LAC，40．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABCAB，AA1LAC，(1)求证：平面ACC1A1L平面BAD；(2)求平面ABC与平面AB1C1夹角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)2所以OB⊥CE，从而证明线面垂直，证明面面垂直；（2）先证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，得到点的坐标，利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】（1）过点D作DE//AC交AA1于点E，连接CE交AD于点O，连接OB,BE，因为CD//AE，所以四边形ACDE为平行四边形，AB=12,因为CD=2DC1，所以CD=8,DC1=4，因为AA1LAC，AC=CD=8，所以四边形ACDE为正方形，因为ZBAA1=ZBAC=60。，AC=AE,AB=AB，所以‘BAE≌‘BAC，故BC=BE，所以OB⊥CE，因为OBnAD=O，OB,AD仁平面ABD，所以CE⊥平面ABD，因为CE仁平面ACC1A1，所以平面ACC1A1L平面BAD.又AO2+BO2=AB2，由勾股定理逆定理可得BO⊥AO，因为AOnOC=O，AO,CO仁平面ACDE，所以BO⊥平面ACDE，取AE中点M，A1C1的中点N，以OM,ON,OB分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设平面ABC的法向量为=(x,y,z)，，35(35)35(35)设平面ABC与平面AB1C1夹角为θ,所以平面ABC与平面AB1C41．如图1，在四边形ABCD中，BCLCD，E为BC上一点，AELBC，AE＝BE＝2CD＝2，CE=，将四边形AECD沿AE折起，使得二面角B-AE-C的大小为30。，连接BD，BC，得到如图2.(1)证明：平面ABEL平面BCE；(2)点F是线段BE上一点，设=λ,且二面角E一A【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明AEL平面BCE，再根据面面垂直判定定理证明结论；（2）根据条件，结合二面角定义可得ZCEB=30。，建立空间直角坐标系，求平面ADE，ADF的法向量，由条件，结合向量夹角公式列方程求λ.所以AEL平面BCE，又AE仁平面ABE，所以平面ABEL平面BCE，（2）由AELCE，AELBE，则∠CEB为二面角B-AE-C的平面角，以E为坐标原点分别为x，y轴正方向，