专题4.2等差数列的概念（九个重难点突破）

11.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d，则递推公式为an+1-an=d，1.等差数列通项公式的变形及推广(a1-d)(neN*)m,neN*).22.若{an},{bn}分别是公差为d,d,的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数,keN*)公差为pd+qd,的等差数列(p,q为常数)3.下标性质m+n=2p(m,n,peN*),则有am+an=2apn+12．已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，且p子0，那么这个数列一定是等差数列吗？3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由.4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.10等于.nnn6多选）若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(){an}C．{pan+q}(p,q为常数)nnnn+，则数列{an}的通项公式为.23n+1=D.nnA．2024B．2023C．4048。414．已知等差数列{an}中，a6=-24，a30=-48，则首项a1与公差d分别为()A．-18,-2B．-18,-1C．-19,-2D．-19,-115．已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是.16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a3>0，a3+a4<0，则的取值范围是.19．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是.21．记等差数列{an}的公差为d(d>0)，若a是a与a-2的等差中项，则d的值为()22．有穷等差数列{an}的各项均为正数，若a2023=3，则+的最小值是.a2*a25A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D．2n-1=a5=a5A．-1028．已知等差数列{an}中，a5，a14是函数f(x)=(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(2)求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式.3n2(2)证明数列{an}的通项公式.(2)设bn=an+1an，证明{bn}是等差数列.一36．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn2nan+2。7A．2023B．2024C．202742．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{an}（单位万元，neN*每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知a12+a22=72．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为()A．72万元B．96万元C．120万元45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.47．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围.48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为()49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、。9按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，ⅆ,以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，ⅆ,以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为()A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是()51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是()A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，52．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2五五数之剩三（除以5余3问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列‘an，则该数列最大项和最小项之和为.11.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d，则递推公式为an+1-an=d，1.等差数列通项公式的变形及推广n-d)(neN*)nm+(n-m)d(m,neN*).22.若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数,keN*)公差为pd+qd'的等差数列(p,q为常数)3.下标性质n+1【分析】先判断得{an}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解.【详解】因为an+1=an2，所以数列{an}是等差数列，公差d=2，故答案为：12.2．已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，且p子0，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{an}一定是等差数列.【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{an}中任意相邻两项an与an一1(n>2)，=p，它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等差数列.3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由.【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2【分析】结合等差数列的定义判断即可；所以是等差数列，且公差为6.4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（12）根据等差数列的定义判断即可.所以数列{an}是以一2为公差的等差数列.2(n所以数列{an}不是等差数列.等于.【答案】。4解.为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得10故答案为：.6多选）若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(){an}C．{pan+q}(p,q为常数)【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列-1,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若{an}为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列{an+1-an}为常数列，故{an+1-an}为等差数列，故选项B符合题意；对于选项C，若{an}为等差数列，设其公差为d，则pan+1+q-pan-q=p(an+1-an)=pd为常数列，故{pan+q}为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若{an}为等差数列，设其公差为d，则2an+1+n+1-2an-n=2d+1为常数，故{2an+n}为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.nn【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【答案】n【分析】由题意得到{an}为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.故答案为：n【分析】根据-=可得{}为等差数列，从而可求{an}的通项公式.【详解】由题设可得-=，故{}为等差数列，2，3【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{an+1-an}的通项公式，再利用累加法求a6.又{an+1-an}是等差数列，故首项为3，公差为2，。nn(a5-a4)2-a1)故选：A.n【答案】B【分析】先把an+1变形得到a =1，再由等差数列的定义即可求出通项公式.ana-所以数列{bn}是以b1==1为首项，1为公差的等差数列，2.n.【分析】根据等差数列的概念可得数列{log2(an-1)}的通项公式，进而可得an.【详解】设等差数列{log2(an-1)}的公差为d，3n。7A．2024B．2023C．4048【答案】C【分析】设数列{an}的公差为d（d>0解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求a1,d，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以a4为中心求d，即可得结果.【详解】解法一：设数列{an}的公差为d（d>0262.a6，解法二：设数列{an}的公差为d（d>02.a6得344-2d)(a4+2d)，14．已知等差数列{an}中，a6=-24，a30=-48，则首项a1与公差d分别为()A．-18,-2B．-18,-1C．-19,-2D．-19,-1【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{an}的公差为d，15．已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是.【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出a8即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为{an}单调递增，所以d>0，10所以a116．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a3>0，a3+a4<0，则的取值范围是.【答案】-,-2【分析】根据已知判断等差数列{an}先正后负，是递减数列，即可得出d<0，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.:a4<0，则d<0，la3la3:-<<-2，即的取值范围是-,-2.故答案为：-,-2.【答案】20【分析】设等差数列{an}的公差为d，进而列出方程求得a1，d，进而求解即可.【详解】设等差数列{an}的公差为d，。9故答案为：20.【答案】32a9-a11故答案为：319．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】12√2.【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d，所以〈|(b(b-d)=12,解得b＝4，d从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12.22+(b-d)2,方法二：设c为斜边，因为是直角三角形且三边长a，b，c成等差数列，222,222,【答案】-2【分析】由等差数列的性质可得a3+a5=2a4，代入条件式，可求得a4，再根据a1+a7=2a4，可得解.=a4【详解】在等差数列{an}中a3=a454，427故答案为：2.21．记等差数列{an}的公差为d(d>0)，若a是a与a一2的等差中项，则d的值为()【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.2=a1【详解】等差数列{an}的公差为d，由a是a与a一2的等差中项，得2=a12=a12=a1所以d的值为1.22．有穷等差数列{an}的各项均为正数，若a2023=3，则+的最小值是.【答案】/0.75【分析】利用等差中项易知a2000+a2046=6，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.20002046)(6=，当且仅当a2000=4,a2046=2时等号成立且满足题设.故答案为：23．已知{an}是等差数列，且a2+1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{an}的公差为d，故答案为：2.*【答案】【分析】由 =+an+1anan+2 式，进而可求出a2015的值. ∴a=n，n∴a2015=.故答案为.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列〈〉是等差数列是解决本题的关键.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当m=4时，根据等差数列的性质可得45，故充分性成立；mm9，此时meN*即可，故必要性不成立.5”的充分不必要条件，【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出a2和a9，进而求出公差d即可求解.因为{an}为正项等差数列，故公差d≥0，9a22=a527．若{an}是公差不为0的等差数列，满足a2=a5【答案】C【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得d子0，根据题意求得a3+a4+a5+a6=0，然后利用等差数列的基本性质得出a4+a5=0，利用等差数列求和公式可求得S8的值.【详解】设等差数列{an}的公差为d，可得d子0，345645【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{an}中，a5，a14是函数f(x)=x2-3【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数f(x)=x2-3x-2的两个零点，即方程x2-3x-2=0的两根x1，x2，∵数列{an}为等差数列，【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.2故答案为：530．在等差数列{an}中，若a1,a2023为方程x2-10x+16=0的两根，则a2+a1012+a2022=.【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.22022(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.【答案】(1)证明见解析n11，利用定义证明{bn}是等差数列；（2）由等差数列通项公式求bn，进而得an.nn nn∴{bn}是首项为，公差为的等差数列.n(2)求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式.43a=33n1转化为n11，即可证明数列{bn}是等差数列，算出数列{bn}的通项公式后即可计算数列{an}的通项公式.23n所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，3n2(2)证明数列{an}的通项公式.【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得an.n32所以n所以(2)设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列.(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.n+24（2）∵bn+1-bn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=2∴{bn}为等差数列.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)将已知表达式变形为4an+1-2=2-，通过配凑的方法可以得到〈〉是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{an}的通项公式，代入{bn}，用错位相减法可以求得前n项和Tn.nnn一n2122232n.2n2223242n2n+1.12n36．已知数列{an}的前n项和为Sn(Snn【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；Snn，S n1S n1n1一n811【答案】证明见解析【分析】利用an与Sn的关系及等差数列的定义即可求解.2，n1为公差的等差数列.:{}是n1为公差的等差数列.2nan+2【答案】Aan+1an+2anlanJannan+1an+2anlanJannak可求得结果.n，则a1A．2023B．2024C．2027【答案】C=2n+5，进而可得an+2-an=2，则有数列{an}的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.2由②-①得an+2-an=2，所以数列{an}的偶数项是以2为公差的等差数列，则a202422所以a12【答案】/2024-1即可得答案.:an=，故答案为：2，从而可证得数列{}是等差数列，可n求得数列{an}的通项，即可得解.2(2，等式两边开方可得：an+1+1=an+1+1，即an+1所以数列{}是以首项为=2，公差为1的等差数列，n2故答案为：120.42．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+【分析】题中所给式子无法直接根据an=Sn-Sn-1进行转化，考虑使用an+1=Sn+1-Sn进行转化，先求出Sn，再求an.【详解】由Sn+1.Sn=an+1，得到Sn+1.Sn=Sn+1-Sn，然后两边同除以Sn+1.Sn得到-=1，即-=-1，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.（2）利用裂项求和法求得Tn.∵n2-33-4 44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{an}（单位万元，nEN*每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知a12+a22=72．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为()A．72万元B．96万元C．120万元【答案】C【分析】本题可设等差数列{an}的公差为d，然后根据题意得出五年累计总投入资金为10(a1+a2)，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{an}的公差为d，由题意可知，五年累计总投入资金为：242222当且仅当a1=a2时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为.【答案】C42H24【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C、H的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C下标分别是：10,14,18…，H的下标分别是：8,10,12…所以稠环芳香烃的分子式中C下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：Cn稠环芳香烃的分子式中H下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：所以并n苯的分子式为：C4n+2H2n+4(n之2,nEN*)，因此当n=10时，得到并十苯的分子式为：C42H24.故答案为：C42H24【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{an}，显然大张在2021年第1,5,9,…天放假，此时两数列的公共项为：1,29,57,…，首项为1，公差为28，末项为365，此时两数列的公共项为：25,53,81,…，首项为1，公差为28，末项为361，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有14+13=27天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围.【分析】这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}．由题意可知，10年之内（含10年这台设备的价值应不小于220根5%=11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{an}的通项公式列不等式求解.【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a1=解这个不等式组，得19<d<20.9.所以d的取值范围为19<d<20.9.48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为()【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论.【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，公差为d，76764343故选：D.,49．天干地支纪年法