常用概率分布

第四章常用概率分布概率分布基本知识1.随机试验2.随机变量：用来表达随机试验结果的变量。常用X来表示。3.随机变量的概率分布：随机变量的所有各种取值及其概率，就构成该随机变量的概率分布。例如，掷一枚骰子，出现的结果可能是1点，2点，…，6点，其结局为一个随机变量。例如，用针灸治疗头痛患者3人，治疗结果可能是1人有效，2人有效，3人有效，也可能是无效。治疗结果为一个随机变量。表4-1掷一枚骰子结局的概率分布可能的结局1点2点3点4点5点6点概率1/61/61/61/61/61/6第一节二项分布（binomialdistribution)及其应用一、二项分布的概念和特征例：设有一口袋，内装形状、重量完全相同的黑球和白球，各占80%和20%。搅匀后从该口袋中摸出一球，记录颜色，放回搅匀，再摸一球，…，如此重复5次。若把摸到黑球的次数作为一个随机变量X。求该随机变量的概率分布。摸球试验中摸到黑球的概率分布X的可能取值012345概率P(x)0.00030.00640.05120.20480.40960.3277一是每次试验结果，只能是两种对立的结果之一。即每次摸球只有两种可能结果，或黑球或白球。二是每次试验的条件不变，发生某种结果的概率是固定不变的。即每次试验摸到黑球的概率是固定的。三是每次试验独立，即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。即各次摸球是彼此独立的。Bernoulli试验序列：满足以上三个条件的n次试验构成的序列。实际上，医学研究中很多试验都能满足上述三个条件，例如用同种属、同性别且体重相近的大白鼠作某药物一定剂量的毒性试验；某新疗法临床试验观察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性。

如果每一次试验只有阳性或阴性两种可能结果；每次试验阳性结果的发生概率均为π，阴性结果的发生概率为１－π；每次试验的结果是相互独立的，那么重复n次实验，发生阳性结果的次数X的概率分布为二项分布，记为B(X;n,π)。恰好有Ｘ例阳性结果的概率为则摸出黑球次数的可能结果及其概率如下表所示上例中离散型随机变量X的概率函数X的可能取值012345概率P(x)0.00030.00640.05120.20480.40960.3277例4-2临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率为多大？分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合二项分布的条件。因此可用二项分布的概率函数来求得两例有效的概率。二、二项分布的特征1。二项分布的图形特征π=0.5时，不同n值对应的二项分布n=3,π=0.5n=10,π=0.5P0.000.100.200.300.3400123012345n=3,π=0.3n=6,π=0.3n=10,π=0.301234567n=20,π=0.301234567891011二项分布图的形态取决于π和n。当π=1-π时，它呈对称分布。当π≠1-π时，呈偏态分布。当π接近0.5时，图形接近对称；当π离0.5愈远，对称性越差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n足够大，且π不太靠近0或1时，二项分布逼近正态分布。一般来说，当nπ和n（1-π）都大于5时，二项分布近似于正态分布。2二项分布的均数和标准差对于任何二项分布问题，如果每一次实验出现阳性结果的概率均为π，进行n次独立重复实验，出现X次阳性结果，则式中是样本率的标准差，又称为样本率的标准误，它反映率的抽样误差的大小。例4-4已知某地钩虫感染率为6.7%,如果随机抽查该地150人，记样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差。本例n=150,π=0.067,三、二项分布的应用（一）概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？分析计算：（二）单侧累计概率计算二项分布出现阳性的次数至少为k次的概率为二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为例4-6例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的的概率有多大？至多有2名感染钩虫的概率为至少有2名感染钩虫的概率为至少有20名感染钩虫的概率为三、二项分布资料的假设检验（一）样本率和总体率的比较1.直接计算概率法：即按二项分布概率函数，直接求出累积概率，与所定检验水准比较，作出检验推断。例根据以往经验以常规疗法治某病，其有效率为65％，今用新疗法治疗该病患者20人，结果1人无效。问新疗法是否较以往疗法为优？这里65％作为总体有效率，而19/20＝95%是样本有效率，按以往有效率推算，在20人中全部有效的概率为（0.65）20，19人有效、1人无效的概率为20(0.35)(0.65)19。故20人中最多1人无效的概率为P＝（0.65）20＋20(0.35)(0.65)19＝0.002133<0.05可以认为新疗法较以往疗法为优2.正态近似法当n足够大时例6-8某医院称治疗声带白斑的有效率为80%。今统计前来治疗的此类患者