2023-2024学年广东省深圳市宝山区重点名校中考数学模试卷含解析

2023-2024学年广东省深圳市宝山区重点名校中考数学模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≤0 C．x=0 D．任意实数3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A． B． C． D．4．tan60°的值是()A． B． C． D．5．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝36．二元一次方程组的解是()A． B． C． D．7．2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（）A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×1028．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．9．如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是A． B． C． D．10．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有_____个，第n幅图中共有_____个．12．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为____．13．如图，已知，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第四象限内的点B在反比例函数y＝的图象上．且OA⊥OB，∠OAB＝60°，则k的值为_________．14．已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且，则AB所对的圆周角为__o.15．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=▲度．16．将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与二次函数y=ax1+bx+c的图象交于y轴上一点B，该二次函数的顶点C在x轴上，且OC=1．（1）求点B坐标；（1）求二次函数y=ax1+bx+c的解析式；（3）设一次函数y=x+m的图象与二次函数y=ax1+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD是以BD为直角边的直角三角形，求点P的坐标．18．（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．19．（8分）某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：（1）该公司有哪几种生产方案？（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）20．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（1）已知⊙O的半径为1．①若=，求BC的长；②当为何值时，AB•AC的值最大？21．（8分）路边路灯的灯柱垂直于地面，灯杆的长为2米，灯杆与灯柱成角，锥形灯罩的轴线与灯杆垂直，且灯罩轴线正好通过道路路面的中心线（在中心线上）.已知点与点之间的距离为12米，求灯柱的高.（结果保留根号）22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．23．（12分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（1）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；（3）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．24．如图1，菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120o，连接对角线AC、BD交于点O，（1）如图2，将△AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A′BO与菱形ABCD重合部分的面积.（2）如图3，将△A′BO绕点O逆时针旋转交AB于点E′，交BC于点F，①求证：BE′+BF=2，②求出四边形OE′BF的面积.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1考点：线段垂直平分线的性质2、C【解析】

当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．据此可得．【详解】解：根据题意知，

解得：x=0，

故选：C．【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3、D【解析】

本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．4、A【解析】

根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】tan60°=故选：A．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5、B【解析】试题分析：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴．∴．故选B．6、B【解析】

利用加减消元法解二元一次方程组即可得出答案【详解】解：①﹣②得到y＝2，把y＝2代入①得到x＝4，∴，故选：B．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：7600＝7.6×103，故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8、D【解析】试题分析：俯视图是从上面看到的图形．从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，故选D．考点：简单组合体的三视图9、D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.10、D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、72n﹣1【解析】

根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有2×3-1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【详解】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．

第2幅图中有2×2-1=3个．

第3幅图中有2×3-1=5个．

第4幅图中有2×4-1=7个．

…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．

故第n幅图中共有（2n-1）个．

故答案为7；2n-1．点睛：考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12、2【解析】

解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，∴设BE=DE=x，则AD=AF=1x．∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得．∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=1．又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，解得．在Rt△ABH中，由勾股定理，得．∴．又∵△ADF∽△ABC，∴，∴∴．故答案为：2．13、-6【解析】如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△ACO∽△ODB，∴，∵∠OAB=60°，∴，设A（x，），∴BD=OC=x，OD=AC=，∴B（x，-），把点B代入y=得，-=，解得k=-6，故答案为-6.14、45º或135º【解析】试题解析：如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点,即在Rt△AOC中,OA=1,根据勾股定理得：即OC=AC，∴△AOC为等腰直角三角形，同理∵∠AOB与∠ADB都对,∵大角则弦AB所对的圆周角为或故答案为或15、1．【解析】

由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数【详解】∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB.又∵∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA=.又∵PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP.∴∠OAP=90°.∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=1°.故答案为：1【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．16、1【解析】试题分析：先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式y=x+b﹣3，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=1．故答案为1．考点：一次函数图象与几何变换三、解答题（共8题，共72分）17、（1）B（0，1）；（1）y=0.5x1﹣1x+1；（3）P1（1，0）和P1（7.15，0）；【解析】

（1）根据y=0.5x+m交x轴于点A，进而得出m的值，再利用与y轴交于点B，即可得出B点坐标；（1）二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=1．得出可设二次函数y=ax1+bx+c=a（x﹣1）1，进而求出即可；（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．【详解】（1）∵y=x+1交x轴于点A（﹣4，0），∴0=×（﹣4）+m，∴m=1，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=1∴B点坐标为：（0，1），（1）∵二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=1∴可设二次函数y=a（x﹣1）1把B（0，1）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x1﹣1x+1；（3）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴，∴，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P1D⊥BD，连接BP1，将y=0.5x+1与y=0.5x1﹣1x+1联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP1=∠BAO，∠BOA=∠ADP1，∴△ABO∽△AP1D，∴，，解得：AP1=11.15，则OP1=11.15﹣4=7.15，故P1点坐标为（7.15，0）；∴点P的坐标为：P1（1，0）和P1（7.15，0）．【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．18、（1）详见解析；（1）①详见解析；②BP=AB．【解析】

（1）根据要求画出图形即可；（1）①连接BD，如图1，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【详解】（1）解：补全图形如图1：（1）①证明：连接BD，如图1，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠1．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP1+BP1=BD1，又∵DQ=BP，BD1=1AB1，∴DP1+DQ1=1AB1．②解：结论：BP=AB．理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴19、（1）共有三种方案，分别为①A型号16辆时，B型号24辆；②A型号17辆时，B型号23辆；③A型号18辆时，B型号22辆；（2）当时，万元；（3）A型号4辆，B型号8辆;A型号10辆，B型号3辆两种方案【解析】

（1）设A型号的轿车为x辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答；（3）根据（2）中方案设计计算.【详解】（1）设生产A型号x辆,则B型号（40-x）辆153634x+42(40-x)1552解得，x可以取值16，17，18共有三种方案，分别为A型号16辆时，B型号24辆A型号17辆时，B型号23辆A型号18辆时，B型号22辆（2）设总利润W万元则W==w随x的增大而减小当时，万元（3）A型号4辆，B型号8辆;A型号10辆，B型号3辆两种方案【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=4；②【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=1-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（1）设AB=5k、AC=1k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴BC=2k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=1k，MC=BC=k，∴DM=，∴OM=OD﹣DM=1﹣k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（1﹣k）2+（k）2=12，解得：k=或k=0（舍），∴BC=2k=4；②设OM=d，则MD=1﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=16﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（1﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣）2+，∴当d=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，∴DC2=，∴AC=DC=，∴AB=，此时．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．21、【解析】

设灯柱BC的长为h米，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BE⊥AH于点E，构造出矩形BCHE，Rt△AEB，然后解直角三角形求解．【详解】解：设灯柱的长为米，过点作于点过点做于点∴四边形为矩形，∵∴又∵∴在中，∴∴又∴在中，解得，（米）∴灯柱的高为米.22、(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．23、（1）C（2，0），A（1，4），B（1，9）；（2）＜t＜5；（2）m=，∴n=.【解析】分析：（Ⅰ）将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标，联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标．（Ⅱ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t，1），然后求出直线AC的解析式后，将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值，从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围．（Ⅲ）直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+2与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣2，0），F（0，2），易得CF⊥AB，△PAB的面积是△ABC面积的2倍，所以AB•PM=AB•CF，PM=2CF=1，从而可求出PG=3，利用点G在直线y=x+2上，P（m，n），所以G（m，m+2），所以PG=n﹣（m+2），所以n=m+4，由于P（m，n）在抛物线y=x2﹣1x+9上，联立方程从而可求出m、n的值．详解：（I）∵y=x2﹣1x+9=（x﹣