七年级数学专题三-多边形、轴对称考点例析-华东师大版

初一数学专题三多边形、轴对称考点例析华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：专题三多边形、轴对称考点例析二、知识点分析1.三角形内角和、外角的性质、三角形的三边关系，会根据三边关系判断已知的三条线段能否组成三角形.2.三角形的分类.3.三角形具有稳定性.4.多边形的内角和与多边形的外角和的探索过程.5.理解某些正多边形能够铺满地面的道理，会欣赏丰富多彩的图案.6.了解轴对称的概念，能够判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出对称轴.7.会画和一个简单图形关于某条直线成轴对称的图形，会设计简单的轴对称图形.特别是在坐标系中对一些图形会以坐标轴为对称轴进行轴对称变换.8.认识线段的垂直平分线的性质，并能用来解决相关的简单问题.9.理解等腰三角形的性质与判定，了解等边三角形是特殊的等腰三角形，以及等边三角形的性质与判定，能用来解决相关的简单问题.10.等腰三角形性质表示如果一个三角形是等腰三角形，那么可以得出：两底角相等；而要判定一个三角形是等腰三角形，必须先说明三角形中有两个角相等.两者是实现“等角”与“等边”相互转化的重要依据，常用来说明两条线段、两个角相等.三、典型例题求正多边形的边数例1．若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．分析:根据由多边形的内外角和公式列出边数的方程解题.解:设多边形的边数为n，则（n-2）×180°＝3×360°，解得n＝8求正多边形的内角例2.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是.分析:根据多边形内角和及正多边每个内角相等.解:正五边形的内角和为：（5－2）×180°＝540°，又因为正五边形内角相等，故∠ABC＝540°÷5＝108°.点评:正多边形既具有一般凸多边形的内角和关系：（n－2）×180°，同时它还具有各角都相等，各边都相等的特性.求多边形的个数例3.若n边形所有的边都相等，所有的内角都相等，则这样的n边形叫做正n边形，如果一个正n边形的每个内角的度数都是整数，那么这样的正n边形共有＿＿＿＿个.分析:因为这个正n边形的每个内角的度数都是整数，所以这个正n边形的每个外角的度数也是整数，所以n应是360的约数．解:易求得360的大于2的约数共有22个：3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，所以这样的正n边形共有22个．求正多边形的对角线条数例4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，则这个多边形的对角线的总条数为＿＿＿＿．分析:本题首先根据多边形的内外角的关系求出多边形的边数，再联系对角线的条数计算可求得这个多边形的对角线的总数.解:设外角为x，则内角为（4x+30°）因为每一个内角与它的外角互为邻补角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°.因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°，因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线所以对角线的总条数为：×9×12=54，这个多边形的对角线的总条数为×12×（12-3）=54.求不规则的多边形的角度和例5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为＿＿＿＿＿.分析:我们观察整个图形，里面包含着三角形和四边形，我们可以借助四边形的内角和解决问题.解:四边形ABPO的内角和为∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°.因为∠BPO是△PDC的外角，所以∠BPO=∠C+∠D.因为∠POA是△OEF的外角，所以∠POA=∠E+∠F.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.点评:把这些分散的角集中到一起构成多边形，借助多边形内角和求解，体现转化的思想.正多边形的操作例6.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开，得到的图形是（）分析:把一个正方形按如图所示进行四次折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，展开，得到的图形是C.解:C.点评:本题无论是内容还是方法都更重视动手实验操作的作用.要改变以往数学学习过分依赖模仿与记忆的学习方式.正多边形的密铺例7.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面。根据第1—3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为＿＿＿＿块.分析:观察图形知第一个图案中白色瓷砖的块数为5块；第二个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×1）块；第三个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×2）块；……第六个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×5）块；解:第6个图案中白色瓷砖的块数应为20块.点评:本题以同学们熟知的用灰白两色正方形瓷砖铺设地面的问题为背景，探究图形的排列规律.通过由特殊到一般的分析，第n个图案中白色瓷砖的块数为（5＋3×（n-1））块.判断图形的轴对称性例8.如图所示，图中是轴对称图案的是（）解析:根据轴对称图形的定义，图形A、C、D无论怎样翻转都不能使两部分完全重合，而图形B沿过左下、右上两个顶点的直线翻转后两个部分能够完全重合.所以选B.寻找对称轴例9.下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）解析:A有2条对称轴，B有4条对称轴，C不是轴对称图形，D有3条对称轴（对称轴如图中虚线所示），故选D.作轴对称图形例10.如下图，在正方形网格上有一个△ABC.⑴作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；⑵若网络上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.解析：⑴利用图中格点，可以直接确定出△ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到△ABC关于直线MN的对称图形△A’B’C’，如图中虚线所示.⑵此三角形面积为：.考查设计轴对称图案例11.⑴观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；⑵借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．解析:⑴都是轴对称图形；它们的面积相等；⑵如图⑥（答案不惟一）．轴对称的性质的应用例12.如图，把一张矩形纸片（AD∥BC）沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点．已知，那么＿＿．分析:根据折纸的操作原理可知C点与C点关于EF对称，即EC和EC关于EF对称，所以∠CEF＝∠GEF，再根据∠EFG和∠CEF的关系即可求得.解:根据折叠原理可知，EC和EC关于EF对称，∴∠CEF＝∠GEF＝58.又∵AD∥BC，∴∠EFG＝∠CEF＝58，∴∠BEG＝180－2×∠EFG＝180－2×58＝64.等腰三角形性质的应用例13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是.分析：本题是探索条件类，只要根据结论（等腰三角形）添加使之成立的条件即可，答案不唯一，按照等腰三角形的条件可以添加线段相等，也可以添加角相等．解:添加的条件可以是：BD=CD(或∠BAD=∠CAD等的其中之一).图形的对折例14.将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，如果对折n次，可以得到_________条折痕.解析:本题是通过折叠次数的变化来研究折痕变化的规律题型，第一次对折有一条折痕，第一次对折后纸有两层，第二次对折已有的两层各有一条折痕，再加上原有的一条折痕共有1＋2＝3＝22－1条折痕，两次对折后纸共有4层，第三次对折后在3条折痕的基础上又增加了4条折痕，则此时共有1＋2＋4＝7＝23－1条折痕，由此可知第四次对折后共有24－1＝15条折痕，第n次对折共有（）条折痕.评注:本题利用由特殊到一般的方法，寻求对折后折痕的条数的变化规律，要从对折的结果去分析对折过程中纸的层数的变化，再从纸的层数的变化去总结折痕的变化规律.四、本讲数学思想方法的学习1.与角、线段有关的计算题除了掌握与之对应的图形性质外，要注意方程思想的运用.2.与图形有关的操作题，如果不能确定结果，应通过动手操作，这也是数学学习的方法之一.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1、等边三角形的对称轴有（）A、一条B、二条C、三条D、九条2、下列扑克牌中，是轴对称图形的有()A、4张B、3张C、2张D、0张.3、已知等腰三角形的两边长分别为8与16，则其周长为（）A、32B、40C、32或40D、8或164、如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是()A、等边三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、斜三角形5、等腰三角形顶角是底角的4倍，则顶角为()A、20°B、30°C、80°D、120°6、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A、1，2，3B、1，4，2C、2，3，4D、6，2，37、一个多边形只有27条对角线，则这个多边形的边数为（）A、8B、9C、10D、118、已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形9、一个三角形的两边的长分别为3和8，第三边的长为奇数，则第三边的长为（）A、5或7B、7C、9D、7或910、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°,则∠C的度数是()A、31°B、35°C、41°D、76°二、填空题1、一个四边形是轴对称图形，有且只有四条对称轴，则这个四边形是形.2、0～9十个阿拉伯数字中是轴对称图形的有.3、等边三角形的性质：⑴三边；⑵三角且都为度；⑶具有等腰三角形的一切性质.4、若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴.5、△ABC中，已知∠A=80°，∠B=70°，则∠C=.6、如果一个三角形的三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形是三角形.7、用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为_____.8、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数式表示）.三、解答题1、画出图中的对称轴.2、已知：如图,AB=AC，∠ABD=∠ACD.试说明：BD=DC.3、图中，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P使P到∠AOB两边的距离相等且使P到C、D两点的距离和最小.4、有一个凸十一边形，它由若干个边长为１的正三角形和边长为１的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各内角的大小，并画出一个这样的凸十一边形的草图.5、一个多边形的内角和比外角和多360度，这是几边形？6、小美想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008°的多边形图案多有意义，小美的想法能实现吗？

【试题答案】一、1、C；2、D；3、B；4、B；5、D；6、C7、B8、C9、D10、C二、1、正方形；2、1，3，8，0；3、相等；相等；60；4、垂直平分；5、30°；6、直角；7、2；8、三、1、解：在图中找出两个对称点：点A、点A′，再画出点A和点A′的垂直平分线.2、理由：连结BC.∵AB=AC(已知)，∴∠1=∠2(等边对等角).又∠ABD=∠ACD(已知)，∴∠ABD-∠1=∠ACD-∠2(等式运算性质).即∠3=∠4.∴BD=DC(等角对