高等几何58511节课件

16四月2024高等几何58511节提纲5.8射影变换的特例5.9变换群5.10变换群的例证5.11变换群与几何学第五章总结2这一节我们把运动变换以及第一章所讲的仿射变换，看作射影变换的特例。为此，把坐标三角形第三个顶点A3取作仿射或笛氏坐标的原点，第三边a3(x3=0)取为无穷远线。在此基础上，通过对变换T加以限制，使无穷远线不变，得到仿射变换；再限制无穷远线上的两个圆点I(1,i,0),J（1，-i,0）在T下不变而得到相似变换，最后通过令变换矩阵的行列式的绝对值为1，得到运动（变换）。5.8射影变换的特例一、本节的主要内容：35.8射影变换的特例二、射影变换的特例

定义在拓广的欧氏平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为仿射变换.命射影变换保持l∞：x3=0不变

a31=a32=0.则得：1.仿射变换45.8射影变换的特例这正是第一章中介绍过的仿射变换，因此，仿射变换是射影变换的一种，它使无穷远直线不变。它将有限点变为有限点，无穷远点变为无穷远点。二、射影变换的特例1.仿射变换55.8射影变换的特例二、射影变换的特例2.相似变换限制T满足：I(1,i,0)→I；J（1，-i,0）→J,则得将T2用非齐次坐标表示，得：65.8射影变换的特例二、射影变换的特例2.相似变换将T2用非齐次坐标表示，得：上式在正交笛卡尔坐标系表示一个正相似变换。75.8射影变换的特例二、射影变换的特例2.相似变换若设两点（x1,y1）,(x2,y2)间的距离为d,而映像点（x’1,y’1）,(x’2,y’2)间的距离为d’，则有上式说明，经过正相似变换(2’),所有的距离按定常数r放大或缩小，图形变换为相似形，因而角度保留不变，r称为相似比。85.8射影变换的特例二、射影变换的特例2.相似变换若限制T满足：I(1,i,0)→J；J（1，-i,0）→I,则得

(2＊)式称为反相似变换（参看教材习题5.19），它是正相似变换T2与关于X轴的反射（x’=x，y’=-y）的乘积，(2＊)式改变了图形的转向，因而称为反相似变换。9在正相似变换：5.8射影变换的特例二、射影变换的特例3.正交变换中命r=1,则(2’),(2＊)分别成为：10（3）式称为运动，（3’）式是运动与反射之积，它改变图形的转向；两者合称为正交变换（（3）式在高等代数中称为第一类正交变换；（3’）式称为第二类正交变换

）有时也称为合同变换.5.8射影变换的特例二、射影变换的特例3.正交变换正交变换具有性质：①线段变成等长的线段；②单位向量变成单位向量；③直角坐标系变成直角坐标系；④矩形变为矩形。换言之，正交变换具有保距性、保角性，运动不改变图形的转向，第二类正交变换则改变图形的转向。11设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：

Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；

Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e*a=a；

Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1*a=e；

则称G对代数运算*做成一个群，记为<G;*>。5.9变换群一、群的概念12定理：一个集合S的所有一一变换（单射）的集合，对变换的乘法构成群，称为变换群.(证明参看教材P.99).对于所考虑的空间内每一个映像点A’，只有一个原像点A和它对应，这种变换称为一对一的变换或可逆变换.凡可逆变换一定具有一个逆变换.以T-1表示T的逆变换，则T（A）=A’,T-1(A’)=A幺变换或恒同变换将每一点变为其自身，以I表示.从定义可得，IT=T,TI=T,T-1T=I,TT-1=I.5.9变换群二、变换群13定义5.1：满足下列两个条件的集合称为变换群：1°封闭性：集合内任两个变换之积仍属于这个集合；2°集合内任一变换有逆变换，且逆变换仍属于这个集合。

这个关于变换群的定义和代数里抽象群的定义并无不合.因为变换之积总是满足结合律的，所以抽象群定义的这一要求不必提出。并且每一变换T既要求有逆变换，且要求它属于集合，则乘积也就在集合内，所以抽象群定义中的单位元此地也不必提出.5.9变换群二、变换群14一、概念

一切射影变换构成一个群，称为射影变换群.5.10变换群的例证设在一切射影变换所构成的集合里任取一个变换T1，使点x变为点x’：再在集合里任取一个变换T2，使点x变为点x”：15一、概念5.10变换群的例证那么T1与T2之积T1T2就将点x变为x’：它的形式是：且由矩阵乘法规律16一、概念5.10变换群的例证且由矩阵乘法规律17一、概念5.10变换群的例证同样仿射变换的集合构成群，称为仿射变换群；5.8节的相似变换（3）和（3’）合在一起构成相似群；运动变换的集合18（1）射影群<k;＊>.<k;＊>.={T1|T1:x’=|aij|≠0}.二、常见的变换群5.10变换群的例证19二、常见的变换群5.10变换群的例证20二、常见的变换群5.10变换群的例证21一、Klein变换群观点对于一个给定的空间S，研究图形关于群G(G为S上的一切变换的集合)的不变性质、不变量及关于图形的分类称为空间S上群G附属的几何学.

5.11变换群与几何学1872年克莱茵在德国的爱耳兰根大学宣读了现在人们称为“爱耳兰根纲领”的演说《近世几何学研究的比较评论》，在这篇文章中他总结了射影、仿射以及其它几何的发展结果，明确地表述了构成这些几何的普遍原则，那就是：22一、Klein变换群观点

可以考虑空间一一变换的任何一个群，而且研究在这个群的一切变换下保留不变的图形性质。因此，运动群下图形的不变性质的研究构成欧氏几何；仿射群下图形的不变性质的研究构成仿射几何；射影群下图形的不变性质的研究构成射影几何。5.11变换群与几何学意义：（1）Klein变换群观点使各种几何学化成统一的形式，同时又明确了各种几何学所研究的对象。（2）它给出了建立抽象空间所对应几何学的一种方法，对以后的几何发展起到了指导性的作用。23射影几何仿射几何相似几何欧氏几何变换群之间的关系5.11变换群与几何学二、三种几何学的关系与比较<k;＊><A;＊><S;＊><M;＊>绝对子几何关系相对子几何关系241.射影几何学空间射影平面P变换群射影变换群K研究内容图形在射影变换下的不变性质和数量结合性，同素性交比注：其余所有射影不变性均可由上述基本的射影不变性演绎.5.11变换群与几何学二、三种几何学的关系与比较252.仿射几何学空间仿射平面P变换群仿射变换群A研究内容图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学5.11变换群与几何学二、三种几何学的关系与比较3.相似几何学空间欧氏平面P变换群相似变换群S研究内容图形在相似变换下的不变性质和数量相似几何学注：最重要的仿射性是平行性；最重要的仿射量是简比.26注2：因为仿射变换群是射影变换群的子群,所以射影不变性必定也是仿射不变的.从而仿射几何的研究内容必定包括射影几何的研究内容。5.11变换群与几何学二、三种几何学的关系与比较4.欧氏几何学空间欧氏平面P变换群正交变换群M研究内容图形在欧氏变换下的不变性质和数量欧氏几何学注1：通常不区分相似几何与欧氏几何，统称为欧氏几何。27注3：因为正交变换群是仿射变换群的子群,所以仿射不变性必定也是正交不变的.从而欧氏几何的研究内容必定包括仿射几何的研究内容.注4：距离和角度是最基本的正交不变性.由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象.结论：虽然原几何学包含子几何学，但是子几何学的研究内容却比原几何学丰富.5.11变换群与几何学二、三种几何学的关系与比较28第五章总结1.射影坐标系一维射影坐标系及其特例二维射影坐标系及其特例坐标变换式：一、本章主要内容29第五章总结变换表达式：点到点的→线到线的2.二维射影变换一、本章主要内容30第五章总结变换表达式：点到点的→线到线的2.二维射影变换一、本章主要内容注：射影变换是将坐标变换式改变解释而得到；线到线的射影变换是点到点的射影变换诱导出来的。31第五章总结一、本章主要内容射影变换的确定（二维射影几何基本定理）：2.二维射影变换无三点共线的四对对应点决定唯一的二维射影变换。二重元素的求法步骤：①由特征方程|A-λE|=0,求出特征根;②将每一个特征根λ分别代入方程组(A-λE)x=0，求出固定点的坐标；③将每一个特征根λ分别代入方程组(A’-λE)u=0，求出固定线的坐标.32变换群3.变换群与几何学→克莱因观点及其意义第五章总结一、本章主要内容一个集合S的所有一一变换（单射）的集合，对变换的乘法构成群，称为变换群。

常见的变换群有射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M.

此外，关于直线的对称变换的集合不构成群，而关于点的对称变换的集合构成变换群。（参看习题5.25）2.二维射影变换33注：用不过线束束心的任一直线截线束，则线束的交比转化为点列的交比。1.射影几何学二、三种几何学的特点与比较第五章总结

定义.设A,B,C,D为点列l(P)中四点,且A

≠

B.把(AB,CD)表示为这共线四点构成的一个交比.定义为同素性、结合性是最基本的射影不变性，交比是最基本的射影不变量.射影几何是射影变换群下图形不变性质的研究。342.仿射几何学定义设P1,P2为普通直线上的两个相异的普通点,P为该直线上任一普通点.定义为P1,P2,P的简比.称P1,P2为基点,P为分点.注：简比与解析几何中的定比分割相差一个符号.二、三种几何学的特点与比较第五章总结35仿射几何就是仿射群下图形不变性质的研究。二、三种几何学的特点与比较第五章总结2.仿射几何学简比是最基本的仿射不变量；无穷远直线是最基本的仿射图形。仿射不变性平行性简比平行线段的比,两三角形面积之比,线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形,……由(P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可见：363.欧氏几何学定理