高等数学课件

第一章函数与极限

一、映射与函数

二、数列的极限

三、函数的极限

四、无穷小与无穷大

五、极限运算法则

六、极限存在准则两个重要极限

七、无穷小的比较

八、函数的连续性与间断性

九、连续函数的运算与初等函数的连续性

十、闭区间上连续函数的性质1第一章函数与极限映射与函数授课教师：张利晶21.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.，称为开区间，称为闭区间（数集）一、集合（集）3，称为左闭右开区间，称为左开右闭区间有限区间无限区间两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.42.邻域:561、映射的概念二、映射（1）映射的定义（2）映射的分类2、逆映射与复合映射（1）逆映射（2）复合映射7因变量自变量三、函数数集D称为定义域.8自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.93.单值函数与多值函数

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．如，抛物线方程：

对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它们化为单值函数来讨论。10(2)符号函数4.几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数11(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线12有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷函数13（5）分段函数

一个函数要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数。14例1解故15四、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:161．函数的有界性:六个常见的有界函数172．函数的单调性:xyo18xyo193．函数的奇偶性:偶函数yxox-x20奇函数yxox-x注：若，有，则称区域D关于原点对称。21常见的偶函数：（n为正整数）常见的奇函数：22奇偶函数的运算性质：（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数。（2）两个偶函数的积是偶函数；两个奇函数的积是偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。234．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期T）.注：对于周期函数，只要知道它在一个周期的图形，则在其他区间的图形也就知道了。24（4）常数函数是周期函数，任何正实数都是它的周期，但它没有最小的正周期。常见的周期函数：如：（1）的周期为。（2）的周期为。的周期为。（3）其周期;其周期。25周期函数的运算性质：（1）若T为的周期，则的周期为：（2）若均是以为周期的函数，则也是以为周期的函数。（3）若分别以为周期的是以的最小公倍数为周则期的函数。26DWDW反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆函数称此映射为函数f

的反函数.如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则也是f(D)上的单调函数.五、反函数与复合函数27相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.

直接函数与反函数的图形关于直线对称.28例2解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,29复合函数定义:30注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.31例3解32综上所述33六、初等函数1、幂函数

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.342、指数函数353、对数函数364、三角函数正弦函数37余弦函数38正切函数39余切函数405、反三角函数（1）定义域：（2）值域：（3）在[-1,1]上，函数单调增加（4）奇函数（5）41（1）定义域：（2）值域：（3）在[-1,1]上，函数单调减少（4）42（1）定义域：（2）值域：（3）在定义域上，函数单调增加（4）奇函数（5）（6）是两条水平渐近线43（1）定义域：（2）值域：（3）在定义域上，函数单调减少（4）（5）是两条水平渐近线44

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2、初等函数:如：45注意:定义中要求是能用一个式子表示即可（关键是能用），而没有说只能用一个式子表示;2.有限次：无限次的四则混合运算或无限多次的函数复合得到的函数就不是初等函数；3.分段函数不一定不是初等函数；4.不是用常数与基本初等函数经过任何运算得到的函数都是初等函数。（求导，积分等）46七、小结基本概念：区间,