2024年初中升学考试真题卷湖南省娄底市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2021的倒数是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．（3分）下列式子正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．（a2）3＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（a2）3＝a53．（3分）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105 B．5×104 C．50×104 D．5×1054．（3分）一组数据17、10、5、8、5、15的中位数和众数是（）A．5，5 B．8，5 C．9，5 D．10，55．（3分）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（3分）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B+∠D的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．18．（3分）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．49．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞210．（3分）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（）A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）11．（3分）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大②y随x的增大而减小③0＜y＜1④0≤y≤1A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．（3分）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（）A．0＜x0＜ B．＜x0＜ C．＜x0＜ D．＜x0＜1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．14．（3分）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，的长为40，则的长为．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．16．（3分）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝．17．（3分）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝mm．18．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知α＝1rad，β＝60°，则α与β的大小关系是αβ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．20．（6分）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：频数频率A文史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共人；（2）m＝，n＝；（3）补全条形统计图．22．（8分）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．24．（9分）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2＝BE2+CF2；（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．26．（10分）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

2021年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2021的倒数是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【答案】C【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．【解答】解：2021的倒数是．故选：C．2．（3分）下列式子正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．（a2）3＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（a2）3＝a5【答案】B【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3与﹣a2不是同类项，故本选项不符合题意；B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C．a3•a2＝a5，故本选项不符合题意；D．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；故选：B．3．（3分）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105 B．5×104 C．50×104 D．5×105【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：5万＝50000＝5×104，故选：B．4．（3分）一组数据17、10、5、8、5、15的中位数和众数是（）A．5，5 B．8，5 C．9，5 D．10，5【答案】C【分析】把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个，那么中间两个数的平均数即是中位数；众数即为出现次数最多的数，由此解答．【解答】解：从小到大排列为：5、5、8、10、15、17，中位数：（8+10）÷2＝18÷2＝9；众数为：5；故选：C．5．（3分）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】根据对角线互相平分可判断A；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断B，D；根据无法证明对角线互相垂直可判断C．【解答】解：A．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；B．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是矩形，故本选项不符合题意；C．∵四边形ABCD是矩形，∴不能证明AC⊥BD，∴不能证明AC⊥EF，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是正方形，故本选项不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B+∠D的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【分析】先由平行线的性质得出∠A+∠C＝180°，再由三角形的内角和为180°，将△ABF和△CDE的内角和加起来即可得∠B+∠D的度数．【解答】解：∵∠BFC＝130°，∴∠BFA＝50°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∵∠B+∠A+∠BFA+∠D+∠C+∠CED＝360°，∴∠B+∠D＝60°，故选：C．7．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝，故选：B．8．（3分）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【答案】D【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．9．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2【答案】A【分析】结合图象，写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，当x＜2时，y＝kx+4＞0，∴解集为﹣4＜x＜2，故选：A．10．（3分）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（）A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）【答案】D【分析】由题意可知：直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，利用直线l的解析式设出点B的坐标，可得线段BE，OB的长，由直角三角形的边角关系可得tan∠AOB＝；解直角三角形ABO可得OB的长，利用勾股定理可求OA的长，点A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为（13，0）．【解答】解：当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，如图，∵点B在直线y＝x上，∴设B（m，m），∴OE＝﹣m，BE＝﹣m．在Rt△OEB中，tan∠AOB＝．∵直线l与⊙A相切，∴AB⊥BO．在Rt△OAB中，tan∠AOB＝．∵AB＝5，∴OB＝12．∴OA＝．∴A（﹣13，0）．同理，在x轴的正半轴上存在点（13，0）．综上所述，点A的坐标为（±13，0）．故选：D．11．（3分）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大②y随x的增大而减小③0＜y＜1④0≤y≤1A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】可借助反比例函数的性质，将原函数进行变形后，左右两边取倒数，观察与x的变化关系，再借助x和a的取值范围，即可确定正确结果．【解答】解：∵y＝（a为常数且a＞0，x＞0），∴＝，即＝+1，根据反比例函数的性质，∵a＞0，∴当x增大时，随x的增大而减小，∴+1也随x的增大而减小，即也随x的增大而减小，则y就随x的增大而增大，∴性质①正确．又∵a＞0，x＞0，∴a+x＞0，∴＞0，即y＞0，又∵x＜a+x，∴＜1，即y＜1，∴0＜y＜1，∴性质③正确．综上所述，性质①③正确，故选：A．12．（3分）用数形结合等思想方法确定二次函数y＝x2+2的图象与反比例函数y＝的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（）A．0＜x0＜ B．＜x0＜ C．＜x0＜ D．＜x0＜1【答案】D【分析】根据二次函数图象与双曲线的作法在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后写出答案即可．【解答】解：函数y＝x2+2与y＝的图象如图所示，交点的横坐标x0的取值范围是＜x0＜1，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥1．【答案】见试题解答内容【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为x≥1．14．（3分）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，的长为40，则的长为100．【答案】100．【分析】设∠AOB＝n°．利用弧长公式求解即可【解答】解：设∠AOB＝n°．由题意＝40，∴nπ＝360，∴的长＝＝100，故答案为：100．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝1．【答案】1．【分析】连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，依据S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，代入计算即可得到PE+PF＝1．【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．16．（3分）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝3．【答案】3．【分析】根据方程的解的定义得到t≠0，根据等式的性质计算，得到答案．【解答】解：∵t2﹣3t+1＝0，∴t≠0，等式两边同时除以t，得t﹣3+＝0，解得：t+＝3，故答案为：3．17．（3分）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα＝0.05，AB＝300mm，则AA′＝15mm．【答案】15．【分析】由平行线的性质和垂线的性质可得∠A'BC＝∠ABE＝90°，可求∠ABA'＝∠CBE＝α，利用锐角三角函数可求解．【解答】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，∴A'B⊥BC，∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，∴∠ABA'＝∠CBE＝α，∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，∴AA'＝300×0.05＝15（mm），故答案为：15．18．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知α＝1rad，β＝60°，则α与β的大小关系是α＜β．【答案】见试题解答内容【分析】判断出α≈57.3°，可得结论．【解答】解：由题意，α＝1弧度为（）°≈57.3°，β＝60°，∴α＜β，故答案为：＜．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【答案】2．【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．20．（6分）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．【答案】，．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，由题意得：x≠1，x≠±3，当x＝2时，原式＝＝．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：频数频率A文史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共200人；（2）m＝0.25，n＝40；（3）补全条形统计图．【答案】（1）200；（2）0.25，40；（3）见解析．【分析】（1）用第D其它类的频数除以它的频率即可得到调查的学生数；（2）根据（1），直接利用已知表格中A历史类的频数求出m的值，直接利用已知表格中C生活类的频率求出n的值；（3）利用（1）中所求补全条形统计图即可．【解答】解：（1）20÷0.10＝200（人），故答案为：200；（2）m＝50÷200＝0.25，n＝200×0.20＝40，故答案为：0.25，40；（3）补全条形统计图如下，22．（8分）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414）【答案】见试题解答内容【分析】在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出AD和PD，在Rt△BPD中，根据三角函数的定义求出BD，进而求出AB，根据速度公式即可求出天舟二号从A处到B处的平均速度．【解答】解：由题意可得：∠APD＝30°，∠BPD＝45°，AP＝6千米，∠BDP＝90°，在Rt△APD中，∵∠APD＝30°，AP＝6千米，∠ADP＝90°，cos∠APD＝cos30°＝，∴AD＝AP＝3千米，PD＝PA•cos30°＝6×＝3（千米），在Rt△BPD中，∵∠BPD＝45°，PD＝3千米，∠BDP＝90°，tan∠BPD＝tan45°＝，∴BD＝PDtan45°＝3（千米），故AB＝BD﹣AD＝3﹣3≈5.196﹣3＝2.196（千米）＝2196米，则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196÷7.5≈293（米/秒），答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米/秒．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元；（2）共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．【分析】（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100﹣m）个乙种纪念品，根据总价＝单价×数量，结合总价不少于766元又不多于800元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出购买方案的个数，设购买总费用为w元，根据总费用＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，依题意得：，解得：．答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元．（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100﹣m）个乙种纪念品，依题意得：，解得：53≤m≤60，又∵m为整数，∴m可以为54，55，56，57，58，59，60，∴共有7种购买方案．设购买总费用为w元，则w＝10m+5（100﹣m）＝5m+500，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝54时，w取得最小值，最小值＝5×54+500＝770．答：共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．24．（9分）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见解析过程；（2）AC2＝CN•AD，理由见解析过程．【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝90°，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠MBE+∠EBC＝90°，可得MB⊥BC，可得结论；（2）通过证明△DAC∽△ANC，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB，∴∠MBE+∠EBC＝90°，∴∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，∴BM与⊙O相切；（2）AC2＝CN•AD，理由如下：∵∠ACD＝∠ABD，∠DBC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠DBC＝90°，∵AN∥BM，BM⊥BC，∴AN⊥BC，∴∠N+∠DCB＝90°，∴∠N＝∠DBC，∴∠N＝∠DBC＝∠DCA＝∠DAC，∴△DAC∽△ANC，∴，∴AC2＝CN•AD．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2＝BE2+CF2；（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．【答案】（1）（2）（3）证明见解答．【分析】（1）先判断出∠B＝∠ACB，进而判断出∠B＝∠ACD，即可得出结论；（2）先判断出∠DAE＝90°，进而判断出∠EAF＝∠DAF，利用SAS判断出△AEF≌△ADF，得出DF＝EF，最后用勾股定理，即可得出结论；（3）先求出AH＝BH＝CH＝1，进而得出BE＝1﹣EH，CF＝1﹣FH，再由EF2＝CF2+BE2，判断出1﹣EH•FH＝EH+FH，在Rt△AHE中，tanα＝＝EH，在Rt△AHF中，tanβ＝FH，最后代入化简，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF＝EF，在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，∵CD＝BE，∴EF2＝CF2+BE2；（3）在Rt△ABC中，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∵AH⊥BC，∴AH＝BH＝CH＝BC＝1，∴BE