数学复习顶层设计配餐作业等比数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业（三十三）等比数列（时间：40分钟)一、选择题1．已知等比数列｛an｝中,a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于()A．2 B．2eq\r(2）C．4 D．4eq\r(2）解析因为a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2,所以(a4＋a5）2＝（a2＋a3)(a6＋a7），解得a6＋a7＝4。故选C.答案C2．（2017·山西四校联考)等比数列｛an}满足an〉0，n∈N*,且a3·a2n－3＝22n(n≥2），则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋……＋log2a2A．n（2n－1) B．（n＋1)2C．n2 D．（n－1)2解析由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝aeq\o\al(2，n）＝22n,从而得an＝2n.解法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2log2［(a1a2n－1）·(a2a2n－2)·…·（an－1an＋1）an］＝log2[（22n)n－1·2n］＝log22n（2n－1）＝n（2n解法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1,而（1＋1）2＝4,（1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4,排除答案A3．若正项数列｛an｝满足lgan＋1＝1＋lgan,且a2001＋a2002＋…＋a2010＝2016，则a2011＋a2012＋…＋a2020的值为（）A．2015×1010 B．2015×1011C．2016×1010 D．2016×1011解析∵lgan＋1＝1＋lgan，∴lgeq\f（an＋1，an）＝1，∴eq\f（an＋1，an）＝10,∴数列{an}是等比数列，∵a2001＋a2002＋…＋a2010＝2016,∴a2011＋a2012＋…＋a2020＝1010(a2001＋a2002＋…＋a2010)＝2016×1010。故选C。答案C4．(2016·河北三市联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织,日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?"根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8C．9 D．10解析设该女子第一天织布x尺,则eq\f(x1－25，1－2）＝5,解得x＝eq\f（5，31），所以前n天所织布的尺数为eq\f(5，31）(2n－1).由eq\f(5,31)（2n－1）≥30,得2n≥187,得n的最小值为8，故选B。答案B5．（2016·广西适应性测试）设等比数列｛an}的前n项和为Sn，若a2＝3，且a2015＋a2016＝0,则S101等于(）A．3 B．303C．－3 D．－303解析∵a2015＋a2015q＝0，∴q＝－1，∴an＋an＋1＝0,∴S101＝a1＝－3。故选C。答案C6．已知Sn是等比数列｛an}的前n项和，若存在m∈N＊，满足eq\f(S2m,Sm）＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f（5m＋1，m－1），则数列{an}的公比为()A．－2 B．2C．－3 D．3解析设公比为q，若q＝1，则eq\f（S2m，Sm)＝2，与题中条件矛盾,故q≠1.∵eq\f（S2m，Sm)＝eq\f（\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q)）＝qm＋1＝9，∴qm＝8。∴eq\f（a2m，am)＝eq\f（a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1，m－1），∴m＝3，∴q3＝8,∴q＝2。故选B。答案B二、填空题7．等比数列｛an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1,则公比q为________。解析由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得a4－a3＝2（S3－S2）＝2a3∴a4＝3a3,∴q＝eq\f(a4,a3）＝3.答案38．等比数列{an｝的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1,则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________。解析由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q则a1（q2＋q－2)＝0。由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1（舍去），则S5＝eq\f(a11－q5，1－q)＝eq\f（1－－25，3)＝11.答案119．在等比数列｛an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30.又∵数列a3,a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f（4a11－833,1－8）＝eq\f(4a1299－1，7)＝eq\f（4，7)×30＝eq\f（120,7)。答案eq\f（120，7)三、解答题10．(2016·东北三省四市二模)已知数列{an}满足a1＝511,a6＝－eq\f(1,2），且数列｛an｝的每一项加上1后成为等比数列。(1)求an；(2）令bn＝|log2(an＋1)｜，求数列{bn｝的前n项和Tn。解析(1）由题意知数列{an＋1}是等比数列,设公比为q,则a1＋1＝512，a6＋1＝eq\f（1，2）＝512×q5,解得q＝eq\f(1,4),则数列{an＋1｝是以512为首项,eq\f（1,4）为公比的等比数列，所以an＋1＝211－2n，an＝211－2n－1。（2)bn＝|11－2n|，当n≤5时，Tn＝10n－n2，当n≥6时，Tn＝n2－10n＋50，所以Tn＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(10n－n2，n≤5，，n2－10n＋50，n≥6。)）答案（1)an＝211－2n－1（2）Tn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（10n－n2，n≤5,，n2－10n＋50，n≥6）)11．已知数列{an｝和{bn｝满足a1＝λ，an＋1＝eq\f（2,3)an＋n－4,bn＝(－1)n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数。(1）证明：对任意实数λ，数列｛an}不是等比数列；（2)证明：当λ≠－18时，数列{bn｝是等比数列.证明(1）假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列，则有aeq\o\al(2,2）＝a1a3，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)λ－3))2＝λeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4，9)λ－4）)⇔eq\f（4,9）λ2－4λ＋9＝eq\f（4，9)λ2－4λ⇔9＝0，矛盾.所以{an｝不是等比数列。(2)bn＋1＝（－1）n＋1［an＋1－3（n＋1）＋21]＝(－1）n＋1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)an－2n＋14))＝－eq\f（2,3)（－1）n·（an－3n＋21）＝－eq\f（2，3）bn。又λ≠－18，所以b1＝－（λ＋18)≠0。由上式知bn≠0，所以eq\f(bn＋1,bn）＝－eq\f（2，3)（n∈N*）。故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－eq\f（2，3）为公比的等比数列.（时间：20分钟)1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积（i＝1,2，…)，则｛An}为等比数列的充要条件是（)A．{an｝是等比数列B．a1,a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…,a2n，…是等比数列C．a1，a3,…,a2n－1，…和a2，a4，…，a2n,…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1,…和a2,a4,…，a2n，…均是等比数列，且公比相同解析∵Ai＝aiai＋1，若{An｝为等比数列,则eq\f（An＋1，An）＝eq\f(an＋1an＋2，anan＋1）＝eq\f(an＋2，an)为常数，即eq\f(A2，A1）＝eq\f（a3，a1），eq\f(A3，A2）＝eq\f（a4，a2），…。∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列,且公比相等。反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则eq\f（An＋1,An)＝eq\f（an＋2，an）＝q，从而{An｝为等比数列。故选D。答案D2．（2016·安庆二模）数列｛an｝满足an＋1＝λan－1（n∈N＊，λ∈R，且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列,则λ的值等于（）A．1 B．－1C.eq\f（1,2) D．2解析由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(an－\f（2，λ）))，因为数列{an－1}是等比数列，所以eq\f（2，λ)＝1,即λ＝2。故选D。答案D3．(2017·衡水模拟)已知Sn和Tn分别为数列{an｝与数列｛bn}的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5,an＝ebn(n∈N＊），则当Tn取得最大值时，n的值为（）A．4 B．5C．4或5 D．5或6解析由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2),两式相减，得an＝ean＋1，由a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5,得a2＝e3，所以{an}是首项为e4，公比为eq\f（1，e)的等比数列，所以an＝e5－n。因为an＝ebn，所以bn＝lne5－n＝5－n，则由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（bn≥0，，bn＋1≤0,））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(5－n≥0，，5－n＋1≤0，))解得4≤n≤5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值。故选C.答案C4．（2016·四川高考）已知数列｛an}的首项为1，Sn为数列{an｝的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q〉0，n∈N＊。（1)若2a2，a3,a2＋2成等差数列,求数列｛an(2)设双曲线x2－eq\f(y2，a\o\al（2，n)）＝1的离心率为en，且e2＝eq\f（5,3)，证明:e1＋e2＋…＋en〉eq\f（4n－3n,3n－1)。解析（1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1,Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1。又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立。所以，数列｛an}是首项为1，公比为q的等比数列。从而an＝qn－1。由2a2，a3,a22a3＝3a2＋2，得2q2＝3q＋2,则(2q＋1)（由已知，q>0，故q＝2。所以an＝2n－1(n∈N*）。（2）证明：由(1)可知,an＝qn－1.所以双曲线x2－eq\f