数学复习顶层设计配餐作业函数的单调性与最值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业(五）函数的单调性与最值(时间：40分钟)一、选择题1．下列四个函数中,在区间（0,1）上是减函数的是()A．y＝log2x B．y＝C．y＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））x D．y＝eq\f（1,x）解析y＝log2x在（0，＋∞)上为增函数；y＝在（0，＋∞)上是增函数；y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））x在（0，＋∞)上是减函数，y＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)x在（0，＋∞)上是增函数；y＝eq\f(1，x)在(0，＋∞)上是减函数，故y＝eq\f（1,x)在（0，1）上是减函数。故选D。答案D2．函数f（x）＝log0。5（x＋1）＋log0.5（x－3)的单调递减区间是(）A．（3,＋∞) B．(1,＋∞）C．（－∞,1） D．（－∞，－1）解析由已知易得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3〉0,））即x>3，又0〈0.5<1，∴f（x)在(3,＋∞)上单调递减。故选A。答案A3．（2016·保定模拟）已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log2x，x≥1，，x＋c，x〈1，））则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当c＝－1时，函数y＝log2x和y＝x＋c均是单调递增,且1＋c＝log21，所以函数f(x）在R上递增;当函数f(x)在R上递增时，c不一定等于－1.故“c＝－1"是“函数f(x）在R上递增”的充分不必要条件。故选A。答案A4．已知函数y＝log2（ax－1）在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是（)A．(0,1］ B．［1,2]C．[1，＋∞） D．[2，＋∞)解析要使y＝log2(ax－1)在（1，2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1。故选C。答案C5．（2017·杭州模拟）已知减函数f(x）的定义域是实数集R，m，n都是实数。如果不等式f(m)－f(n）>f(－m）－f（－n)成立，那么下列不等式成立的是（)A．m－n〈0 B．m－n>0C．m＋n〈0 D．m＋n>0解析设F(x）＝f(x)－f（－x)，由于f（x)是R上的减函数，∴f(－x）是R上的增函数,－f（－x)是R上的减函数。∴当m〈n时，有F(m）>F（n)，即f（m）－f（－m）>f（n)－f（－n）成立。因此，当f（m）－f（n)〉f(－m）－f（－n）成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A。答案A6．（2016·合肥模拟）设函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1，x>0，,0，x＝0,，－1，x〈0，)）g（x）＝x2f(x－1)，则函数g(xA．（－∞，0] B．[0,1）C．［1，＋∞) D．[－1，0]解析由题知，g(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，x>1,,0，x＝1,,－x2,x〈1，)）可得函数g(x）的单调递减区间为[0,1)，故选B.答案B二、填空题7．已知函数f(x）为R上的减函数，若feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(1,x））)))<f（1)，则实数x的取值范围是________.解析由题意知f(x)为R上的减函数且feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（1,x）））))<f(1），则eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（1，x）））>1,即|x|<1,且x≠0.故－1<x<1且x≠0。答案（－1,0）∪(0,1）8．若函数y＝－|x｜在[a，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________。解析y＝－|x｜在[0，＋∞)上单调递减,∴a≥0。答案[0，＋∞)9．（2016·厦门质检)函数f（x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,3)))x－log2（x＋2）在区间［－1,1]上的最大值为________。解析由于y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））x在R上递减，y＝log2（x＋2）在［－1,1]上递增,所以f(x）在[－1,1]上单调递减，故f(x）在[－1,1]上的最大值为f（－1)＝3。答案3三、解答题10．已知f（x)＝eq\f（x，x－a)（x≠a）。(1）若a＝－2，试证明f（x）在(－∞，－2）内单调递增;（2)若a>0且f(x）在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围。解析（1)证明：任设x1〈x2<－2,则f（x1）－f（x2）＝eq\f(x1,x1＋2）－eq\f(x2，x2＋2)＝eq\f(2x1－x2，x1＋2x2＋2）。∵(x1＋2）(x2＋2）〉0,x1－x2<0,∴f（x1）〈f（x2），∴f(x)在（－∞，－2）上单调递增。（2）任设1〈x1<x2,则f(x1)－f（x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f（x2,x2－a）＝eq\f(ax2－x1，x1－ax2－a)。∵a〉0，x2－x1〉0，∴要使f（x1)－f(x2）>0，只需（x1－a)（x2－a)>0在（1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是（0，1］。答案(1）见解析（2）(0，1］11．求下列函数的单调区间。(1)f(x）＝|x2－4x＋3|；(2)f（x)＝logeq\f(1，2）(－x2＋4x＋5）。解析（1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用,把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝｜x2－4x＋3|的图象。如图所示。由图可知，f(x)在（－∞，1],［2，3]上为减函数，在[1，2］，［3,＋∞)上为增函数,故f(x）的增区间为［1,2]，［3，＋∞）,减区间为(－∞,1]，[2，3]。(2)令u＝－x2＋4x＋5,则f(x）＝logeq\f(1,2）u。∵u>0，∴－1<x<5且x∈（－1，2]时，u为增函数;x∈（2，5)时,u为减函数.又y＝logeq\f（1,2)u在（0，＋∞）上为减函数，据复合函数同增异减，可知f（x)的单调递增区间为(2,5）；单调递减区间为(－1,2］。答案（1）单调递增区间为［1,2］，[3，＋∞），单调递减区间为（－∞，1],[2,3]（2)单调递增区间为(2，5);单调递减区间为(－1,2］12．设函数y＝f(x）是定义在(0,＋∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x)＋f(y）;②当x>1时,f（x）〈0；③f（3）＝－1.（1）求f(1)，feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，9））)的值；(2）如果不等式f（x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围。解析（1)令x＝y＝1易得f（1)＝0。而f（9)＝f（3)＋f（3)＝－1－1＝－2，且f(9）＋feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，9）））＝f（1）＝0,故feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,9)））＝2。（2）设0<x1<x2,则eq\f(x2,x1)>1,feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))〈0,由f（xy)＝f（x）＋f(y）得f（x2)＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x1·\f(x2,x1）)）＝f（x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x2，x1）)）<f(x1)，所以f（x)是减函数。由条件①及（1)的结果得:f[x(2－x)］〈feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，9）））,其中0〈x<2，由函数f(x)在R上单调递减,可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－x〉\f(1,9）,，0<x〈2,))由此解得x的取值范围是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(2),3)，1＋\f(2\r（2)，3）)）。答案(1）f（1）＝0，feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，9)）)＝2(2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（2\r（2），3），1＋\f(2\r（2）,3）））（时间：20分钟)1．(2016·湖北七校联考）已知f（x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y＝f(2x2＋1)＋f（λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1，4） B.eq\f（1，8)C．－eq\f（7，8) D．－eq\f（3，8)解析令y＝f（2x2＋1)＋f(λ－x)＝0,且f(x)是奇函数，则f(2x2＋1)＝－f（λ－x）＝f（x－λ)，因为f（x）是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ有两个相等实根，即2x2－x＋1＋λ＝0有两个相等实根，则Δ＝1－8（1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f（7，8)，故选C。答案C2．(2016·湖南四校联考）若函数f(x)＝x2＋a｜x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。解析∵f（x）＝x2＋a｜x－2|，∴f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax－2a，x≥2,,x2－ax＋2a，x<2。))又f（x）在(0，＋∞）上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(a,2)≤2，,\f（a,2)≤0））⇒－4≤a≤0，所以实数a的取值范围是[－4,0]。答案［－4,0]3．（2016·天津高考）已知f（x)是定义在R上的偶函数,且在区间（－∞，0)上单调递增。若实数a满足f(2｜a－1|）>f（－eq\r(2）)，则a的取值范围是________。解析因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间（0,＋∞)上单调递减。又f（2|a－1|）〉f(－eq\r（2）），f(－eq\r（2））＝f(eq\r（2))，故－eq\r(2)<2｜a－1｜〈eq\r(2)，则|a－1|<eq\f（1，2），所以eq\f（1，2）<a〈eq\f(3，2)。答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）,\f(3,2)））4．已知函数f（x)＝lgeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（a，x）－2）），其中a是大于0的常数。（1）求函数f（x）的定义域；（2)当a∈(1,4）时,求函数f(x)在［2，＋∞）上的最小值；（3)若对任意x∈［2，＋∞）恒有f(x）>0，试确定a的取值范围.解析（1）由x＋eq\f(a，x）－2〉0，得eq\f(x2－2x＋a,x）>0,当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为（0,＋∞），当a＝1时,定义域为｛x|x>0且x≠1}，当0<a<1时，定义域为｛x｜0〈x〈1－eq\r(1－a）或x〉1＋eq\r(1－a)}。（2)设g(x）＝x＋eq\f(a，x)－2,当a∈(1,4），x∈[2，＋∞）时，g′（x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f（x2－a，x2)>0恒成立,所以g（x）＝x＋eq\f(a，x）－2在[2，＋∞）上是增函数。所以f(x）＝lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(a，x）－2)）在[2,＋∞）上是增函数.所以f（x)＝lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\