解三角形的解答题攻略

11/11解三角形的解答题攻略边角互化的解题技巧典例1(2020湖北模考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其面积S=b2(1)若a=6,b=2,求cosB;(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A)的最大值.答题规范答题过程第一步:根据已知条件S=b2+c2-a24及面积公式S=12bcsinA,得到sinA=cosA,第二步:由已知条件及正弦定理求出sinB,进而得出cosB的值,得2分;第三步:由(1)知A=π4,将其代入sin(A+B)+sinB·cosB+cos(B-A),化简得到原式=2(sinB+cosB)+sinBcosB,得2分第四步:令t=sinB+cosB,通过换元将原式表示成关于t的二次函数,得2分;第五步:求出关于t的二次函数的最大值,即为所求,得2分.解析(1)因为△ABC的面积S=12bcsinA=b2+c2-a24,所以sinA=b2+c2-a22bc=cosA,解得A=π4,因为a=6,b=2,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=2×22(2)由(1)知A=π4所以原式=sinB+π4+sinBcosB+cosB-π4=22sinB+22cosB+sinBcosB+22sinB+22cosB=2(sinB+cos令t=sinB+cosB=2sinB+π因为B∈0,3π4,所以B+π4∈π4,π,所以sinB+原式=2t+t2-12=t22+2t-12=12(t+2)2-32,当t=2,即B方法归纳解三角形的解答题(1)可以通过正弦定理或余弦定理实现边和角的互化.(2)解三角形的问题,要熟练掌握三角形中的相关公式,并会灵活应用.(2020湖南雅礼中学高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA-2cos(1)求sinCsin(2)若cosB=14,b=2,求△ABC的面积解析(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以cosA-2cosCcos所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,即sin(A+B)=2sin(B+C),所以sinC=2sinA,故sinCsin(2)由(1)及正弦定理得sinCsinA=ca=2,所以因为b=2,cosB=14,所以由余弦定理得22=4a2+a2-2a×2a×14,解得a=1(负值舍去),所以c=2,又因为cosB=14,所以sinB故△ABC的面积为12acsinB=12×1×2×154三角形中的面积与周长等有关量的计算典例2(2020四川泸县第四中学模考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC=sinB+sin(A-B).(1)求角A的大小;(2)若a=7,△ABC的面积S=332,求△ABC答题规范答题过程第一步:先利用三角形内角和定理消去角C,得2分;第二步:利用两角和与差的正弦公式展开、移项、合并同类项,得2分;第三步:结合角A的余弦值以及角A的范围,得到角A的值,得2分;第四步:由三角形的面积公式及余弦定理,建立关于b,c的二元二次方程组,得2分;第五步:根据该方程组,得到b+c的值,得2分;第六步:求出△ABC的周长,得2分.解析(1)∵A+B+C=π,∴C=π-(A+B).∴sinC=sin(A+B)=sinB+sin(A-B),∴sinA·cosB+cosA·sinB=sinB+sinA·cosB-cosA·sinB,∴2cosA·sinB=sinB,∵sinB≠0,∴cosA=12,∵0<A<π,∴A=π(2)∵S∴bc=6∴(b+c)2=b2+c2+2bc=25,∴b+c=5,∴a+b+c=5+7,故△ABC的周长为5+7.典例3(2020广东二模)在△ABC中,D为BC边上的点,AD平分∠BAC,AD=5,AC=8,△ACD的面积为103.(1)求线段CD的长;(2)求sinB.答题规范答题过程第一步:根据已知条件及三角形的面积公式,求出∠DAC=60°,得4分;第二步:利用余弦定理,求出线段CD的长,得2分;第三步:根据已知条件及余弦定理,求出∠ADC的余弦值,进而求出其正弦值,得4分;第四步:根据已知条件,表示出∠ADC与∠B之间的关系,得1分;第五步:利用两角差的正弦公式,求出sinB,得1分.解析(1)∵AD=5,AC=8,△ACD的面积为103,∴12×5×8×sin∠DAC=103,∴sin∠DAC=3∵0°<∠BAC<180°,AD平分∠BAC,∴0°<∠DAC<90°,∴∠DAC=60°,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2×AC×AD×cos∠DAC=52+82-2×5×8×cos60°=49,∴CD=7.在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=52+7∴sin∠ADC=1-cos2∠ADC=1-∴∠BAD=∠CAD=60°,∴sinB=sin(∠ADC-60°)=sin∠ADCcos60°-cos∠ADCsin60°=437×12-17×方法归纳解三角形的解答题(1)解三角形的问题,不仅用到正弦定理或余弦定理,还用到三角形内角和定理、两角和与差的正、余弦公式等;(2)三角形面积和周长的计算,要熟练掌握三角形的面积公式,并会灵活应用.(2020哈尔滨第六中学高三月考)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,(a+c)sinB-bsinC=3bcosA.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积为23,a=4,求△ABC的周长.解析(1)由正弦定理得(sinA+sinC)·sinB-sinBsinC=3sinBcosA,∵sinB≠0,∴tanA=3,∵角A是△ABC的内角,∴A=60°.(2)∵△ABC的面积为23,∴12bcsinA=23,由(1)知A=60°,∴bc由余弦定理得b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24=16,∴b+c=210(负值舍去),∴△ABC的周长为4+210.

2.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=3π4,AB⊥AD,AB=1(1)若AC=5,求△ABC的面积;(2)若∠ADC=π6,CD=4,求sin∠解析(1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即5=1+BC2+2BC,解得BC=2(负值舍去),所以S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=12×1×2×22(2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=即ACsinπ6=4sinθ①,在△ABC中,∠BAC=π2-θ,∠BCA=π-3π4由正弦定理得ACsin∠ABC=即ACsin3π4①②两式相除得sin3π4sin即422sinθ-22整理得sinθ=2cosθ.因为sin2θ+cos2θ=1,所以sinθ=255,即sin∠CAD=3.(2020福建联考)如图,在△ABC中,B=π3,BC=2,线段AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接(1)若△BCD的面积为33,求线段CD的长(2)若DE=62,求角A的大小解析(1)由已知及三角形面积公式得S△BCD=12BC·BD·sinB=33,又BC=2,B=π3,∴BD=23,cos在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=22+232-2×2×23×12=289(2)由垂直平分线性质及正弦定理得CD=AD=DEsinA=在△BCD中,由正弦定理得BCsin∠BDC=易知∠BDC=2∠A,∴2sin2A=解得cosA=22,∴A=π逻辑推理——利用边角互化思想求三角形中的最值或范围典例(2020哈尔滨一中高三月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 ()A.7B.8C.9D.10答案C解析由题意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD,由三角形面积公式得12acsin120°=12sin60°+12c×1×sin60°,化简得ac=a+c,所以1a+1c=1,故4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养,在逻辑推理的核心素养形成过程中,要能够发现问题提出问题;能掌握推理的基本形式,表述论证的过程;理解数学知识之间的联系,建构知识框架;形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bsinA=3acosB+asinB.(1)求角B的大小;(2)设点D是AC的中点,若BD=3,求a+c的取值范围.解析(1)在△ABC中,由正弦定理得2sinBsinA=3sinAcosB+sinAsinB,所以sinBsinA=3sinAcosB,因为sinA>0,所以sinB=3cosB,故tanB=3,又因为B∈(0,π),所以B=π3(2)如图,延长BD到E,满足DE=BD,连接AE,CE,则四边形ABCE为平行四边形,且BE=23,∠BAE=2π3,CE=AB=c,AE=BC=a在△BAE中,由余弦定理得(23)2=a2+c2-2accos2π3,即a2+c2+ac=12,整理得(a+c)2-ac=12,即ac=(a由基本不等式得ac=(a+c)2-12≤a+所以34(a+c)2≤12,即(a+c)2≤16,解得a+c≤4,当且仅当a=c=2时,取等号又AE+AB>BE,所以a+c>23,故a+c的取值范围是(23,4].1.(2020湖南长沙雅礼中学质量检测)已知a,b,c分别是三角形ABC三个内角A,B,C所对的边,f(A)=23sinAcosA+2sin2A.(1)若f(A)=3,求角A;(2)在(1)的条件下,若btanB+ctanC=2atanA,a解析(1)因为f(A)=23sinAcosA+2sin2A=3sin2A+1-cos2A=2sin2A-π6+1=3,所以2A-π6=π2,故A=(2)若btanB+ctanC=2atanA,则bcosBsinB+ccosCsinC=2a因为B+C=2π3,所以B=C=π所以三角形ABC是等边三角形,因为a=22,所以b=c=22,所以△ABC的面积为12bcsinA=232.(2020江苏泰州兴化期中)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=14(1)求△ABC的周长;(2)求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=14,所以c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×14=4,解得则△ABC的周长为1+2+2=5.(2)在△ABC中,由cosC=14,可得sinC=1-cos2则△ABC的面积S=12absinC=12×1×2×1543.(2020重庆九龙坡质量调研)已知函数f(x)=23sinxcosx+2sinx+π4(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程;(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且fB2+π6=23,a+c解析(1)易知f(x)=3sin2x+sinπ2+2x=3sin2x+cos2x由2x+π6=π2+kπ,k∈Z,得x=π6+kπ则函数f(x)的图象的对称轴方程为x=π6+kπ2,k(2)fB2+π6=2sinB+π2=2cosB=23∵1=a+c≥2ac,当且仅当a=c=12时,取等号,即ac≤1由b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-23ac=(a+c)2-83ac=1-83ac≥13,即b≥33,由三角形的任意两边之和大于第三边可知,1=a+c>b,即(2020湖南长沙雅礼中学模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)=cosC.(1)求B的值;(2)求acosC解析(1)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sinπ2∵△ABC是锐角三角形,∴A-B,π2-C均在区间-π又函数y=sinx在区间-π2,π2上单调递增,∴A-B=π2-C,即A-又A+B+C=π,②则由②-①,得B=π4(2)由(1)知B=π4,∴A+C=3π4,即C=3π4∴acosC-c=2sin2A-3π4.∵△ABC是锐角三角形,∴π4∴-π4<2A-3π4<π4,∴-22<sin∴-1<acosC故acosC-5.已知函数f(x)=cos2x+3·sin(π-x)cos(π+x)-12(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsinC=asinA,求△ABC的面积.解析(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-1=1+cos2x2-32sin2x-1由2kπ-π2≤2x-