定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

PAGEPAGE1定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若是奇函数（即），那么对于任意 的常数a，在闭区间上，。2、若是偶函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上。3、若为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，只有唯一原函数为奇函数即.事实上：设，其中为任意常数。当为奇函数时，为偶函数，任意常数也是偶函数的全体原函数为偶函数；当为偶函数时，为奇函数，任意常数时为偶函数既为非奇函数又为非偶函数，的原函数只有唯一的一个原函数即是奇函数。4、若是以为周期的函数（即），且在闭区间上连续可积，那么。5、若是以为周期的函数（即），那么以为周期的充要条件是事实上：，由此可得。(二)、定积分中奇偶函数的处理方法 1.直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。 2.拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。 3.拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设，，则，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三)、定积分中周期函数的处理方法 对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。二、典型例题例1设在上连续可积，证明：(1)若为奇函数则(2)若为偶函数，则。证明：(1)因为，而 对前一项中令，则所以.(2)因为，而，对前一项中令相似的有，所以.例2设在上连续，且以T为周期，证。证明：由，在上式右端最后一到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而为偶函数解：例14求定积分其中。 分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令则移向得：所以例15求定积分。 解：例16求定积分 解：注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算 例17求定积分。 解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算 例18证是以T为周期的周期函数，则。证明：因为故只需证明由题设可知现令，当时，；当时，且所以有例19设是以为周期的周期函数，证明。分析:等价于所以=即由题设可令 证明：令，则例20设函数(1) 当n为正整数，且时，证明； (2)求 证明：(1)因为，且，所以，又因为具有周期，在长度的积分区间上积分值相等：，从而同理可得到(2)由(1)有，当去极限，由夹逼定理得，例21设函数在上连续，而且。证明：(1)若为偶函数，则也是偶函数；(2)若单调不减，则单调不减(1)证明：令，则故为偶函数。(2) 由于被积函数连续，所以可导，且，因此在上单调不减例22设在上连续，以T为周期，令，求证：(1)一定能表成：，其中k为某常数，是以T为周期的周期函数；(2)；(3)若有，n为自然数，则当时，有。证明:(1)即确定常数k，使得以T为周期，由于T因此，取，，则是以T为周期的周期函数。此时(2).且在上连续并以T为周期，于是在在有界，在也有界。因此(3)因，所以当时，例23设是上的连续函数，试运用周期函数性质证明。证明：因为，其中，令，令，则，所以左端，按照周期函数的性质知 所以左端=，，知故例24设，证明（1）；（2）求出的最大最小值。证明：(1)，设，当时，；当时，，则(2)因为右端连续，故可导，，又为周期函数，故只讨论一个周期内即可，现讨论当时，，当时，，当时，所以当时取最大值，；当时取最大值，。参考文献[1]曹绳武，王振中，于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社2001 [2]郝涌，卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社1999[3]李永乐，李正元考研复习全书 国家行政出版社2012 [4]林益，邵琨，罗德斌等数学分析习题详解2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题目评审者考核项目评分指导教师1平时态度与遵守纪律的情况（满分20分）2掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分20分）3抽签答题的正确性（满分20