数学-2024届广西北海高三第一次模拟考试带答案

2024届北海市高三第一次模拟考试全卷满分150分考试时间120分钟注意事项:1.答题前先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答字体工整笔迹清楚4.考试结束后请将试卷和答题卡一并上交5.本卷主要考查内容高考范围一单项选择题:本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集I{1IN可以是2.已知复数义—1十2i，其中i为虚数单位，则复数义2在复平面内对应的点的坐标为3.端午佳节，小明和小华各自带了一只肉棕子和一只蜜枣棕子.现在两人每次随机交换一只棕子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣棕子的概率为4.已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为3展开式中，工2的系数为A.3B.6C.9D.12【高三数学第1页（共4页）】7.已知直线>—工十1与双曲线C：——1（a>0,b>0）的两条渐近线交于A,B两点,且A在第一象限.O为坐标原点,若|OA|—2|OB|,则双曲线C的离心率为A.槡5B.槡10C.2D.58.已知a—e0.1—1,b—sin0.1,c—ln1.1,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a二多项选择题:本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.9.已知变量X服从正态分布X）,当C从小变大时,则A.P—<X<变大B.P—<X<变小C.正态分布曲线的最高点上移D.正态分布曲线的最高点下移10.已知a>b>0>c,则C.ac2<bc2D.a2十b2十c2>2ab—2ac十2bc11.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为sn,且an>0（neN*）,则下列命题正确的是A.若q—2,则sn>2anB.若sn<2an恒成立,则q>2C.若sn,s2n,s3n成等差数列,则q—1D.当q>1时,不存在keN*（n<k<2n）,使得sn,sk,s3n成等差数列12.已知抛物线工2—>的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A（工1,>1）、B（工2,>2）两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两切线交于点M,则A.>1>2—FAFBB.1十FAFBC.人AMB—909D.若ΔAMB的外接圆的直径为2,则直线AB的方程为>—士工十14三填空题:本题共4小题每小题5分共20分.13.已知向量a,b的夹角的余弦值为,|a|—2,|b|—4,则a.（b—a）—. 14.已知a,βe0,,且tana—3,cos（a十β)ℴℴ槡,则β的值为.16.在平面直角坐标系工O>中,已知圆C工—m）2十（>—2m）2—3m2（m>0）与直线工十2>—2—0交于A,B两点,过A,B分别作圆C的切线l1,l2.若l1与l2交于点P,且C为线段OP的中点,则m—.【高三数学第2页（共4页）】24108C四解答题:本题共6小题共70分.解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a2—a3—2，S5—30.（1）求数列{an}的通项公式；nn，求数列{bn}的前n项和Tn.18.（本小题满分12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知2sinB—sinA十cosA.tanC.（1）求C的大小；，求ΔABC周长的最大值.19.（本小题满分12分）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4X100米接力.（1）志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；（2）为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4X100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4X100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望.【高三数学第3页（共4页）】20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是边长为槡2的正方形,AC与BD交于点O,PO」底面ABCD,侧棱与底面所成角的余弦值为槡10.（1）求O到侧面的距离；（2）求平面PAB与平面PBC所成夹角的余弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系工O>中,已知椭圆C： l与椭圆C交于A,B两点.当直线l过原点时,|PO|—槡3|AO|.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若存在直线l,使得|PA|.|PB|—m,求m的取值范围.22.（本小题满分12分）.【高三数学第4页（共4页）】2024届北海市高三第一次模拟考试.数学1.DM坚N,故【IN中不能有元素1,2,3.故选D.2.C易知之2—（1十2i）2—-3十4i,对应的点为（-3,4）.故选C.3.D由题意,只能第一次两人交换相同的棕子,第二次小明用肉棕子换小华的蜜枣棕子,所以P—C.2.2—8.故选2—8.故选D.4.B设底面半径为r,高为h,则h—2r,所以母线长l—槡h2十r2—槡5r,所以展开图的圆心角的大小为—2槡π.故选B.5.C（1十2工1十工）3—（1十2工1十3工十3工2十工3）,故工2的系数为3十6—9.故选C.6.A若工e（0,π),则幼工十e,幼π十,由题意可知,幼π十>,解得幼>.故选A.7.B因为|OA|—|2OB|,所以工A—-2工B,设B（m,m十1）,则A（-2m,-2m十1）,因为kOA十kOB—0,所以m1十--21—0,解得m—-,所以A（,）,所以—3,则e——槡1十—槡10.故选B.8.Ce0.1-1>0.1,且0.1>sin0.1,0.1>ln1.1,故a最大,以下比较b,c,令f（工）—sin工-ln（1十工）,工e（0,2,fⅢ3<0,故f"（工）为减函数,f"（工）>f"（0.2）—-sin0.2十>-0.2>0,故f,（工）为增函数,f,（工）>f,（0）—0,故f（工）为增函数,f（工）>f（0）—0,即sin0.1>ln1.1,:c<b<a,故选C.2<X<2变小,且正态分布曲线的最高点下9.BD当C变大时,方差变大,数据离散程度变大,所以2<X<2变小,且正态分布曲线的最高点下移,即B,D正确,A,C错误.故选BD.10.BCA:a>b,c<0今ac<bc故A错误；B:a（b-c）-b（a-c）—c（b-a）>0,故B正确；C:a十c2>b十c2>0今ac2<bc2,故C正确；D:a2十b2十c2-（2ab-2ac十2bc）ℴ（a十c）2十b2-2b（a十c）ℴ（a十c-b）2,故存在a—2,b—1,c—-1,使得:a2十b2十c2-（2ab-2ac十2bc）—0,故D错误.故选BC.11.BCD当q—2时,sn——a1.2n-a1<a1.2n—2an,即A错误；当q—1时,sn<2an不恒成立,当q牛1时,sn<2an,则<2a1qn-1,所以<2qn-1,若0<q<1,上式整理得2-q>,不恒成立,n-1若q>1,上式整理得2-q<1,则2-q三0,所以q>2,n-1由题意可知s3n-s2n—s2n-sn,所以a2n十1十…十a3n—qn（an十1十…十a2n）—an十1十…十a2n,所以q—1,即C正确；因为sn十s3n—2sk,所以十—,整理可得qn十q3n—2qk,又qn十q3n>2槡q4n—2q2n>2qk,所以不存在符合题意的k,即D正确.故选BCD.12.BCDF0,,设AB:>—k工十代入抛物线方程得工2-k工-—0,则工1工2—-,>1>2—工工—,故A错误；【高三数学参考答案第1页（共4页）】24108C 1十FB对于B：FA—>1十,FB—>2十, 1十FB>1>2十4,故B正确；对于C：KAM—2工1,KBM—2工2,KAM.KBM—4工1工2—-1,故C正确；对于D：由C可知：ΔAMB的外接圆直径即为AB—2今>1十>2—,即工十工—（工1十工2）2-2工1工2—,K2十—今K—士1,故D正确.故选BCD.13.-2a.（b-a）—a.b-a2—2X4X-22—-2.14.因为a,βe0,,所以a十βe（0,π),又tana—3,c9s（a十β)ℴ-槡,所以c9sa—槡10,sina—3,sin（a十β)ℴ2,所以sinβ—sin（a十β-a）—sin（a十β)c9sa-c9s（a十β)sina—槡,即β—.15.（-4,-2）U（0,2）U（4,十…）因为f（2）—f（4）—0,则当工>0时,数形结合可知,f（工）>0的解集为（0,2）U（4,十…）,又因为f（工）为奇函数,所以f（工）>0的解集为（-4,-2）U（0,2）U（4,十…）.16.设人PCA—θ,由题意可知,|PC|—|OC|—槡m2十（2m）2—槡5m,半径T—槡3m,m十4m-25m-2m十4m-25m-2槡1十4槡5因为c9sθ——,所以—槡m,解得m—1或m—,又C为CP的中点,所以圆心C（m,2m）在直线下方,所以m十4m-2<0,即m—.17.解1）设数列{an}的公差为d,由题意可得{0d—30,解得{——22,…………………3分:an—a1十（n-1）d—2n；……………………5分,…………7分:Tn—b1十b2十…十bn—1-十-十…十-n1）]—2n2.…10分18.解1）因为2sinB—sinA十c9sA.tanC,所以2sinBc9sC—sinAc9sC十c9sAsinC,………………2分即2sinBc9sC—sin（A十C）,…………………4分又A十B十C—π,所以sin（A十C）—sinB牛0,所以c9sC—,…………5分又0<C<π,即C—；………………………6分（2）因为C—,由余弦定理可知,c2—a2十b2-2abc9sC—（a十b）2-3ab,………………8分又因为2（a十b）—c2,所以2（a十b）ℴ（a十b）2-3ab,…………………2-22,解得a十b三8,当且仅当a—b时,等号成立,………………10分所以c—槡2（a十b）三4,即a十b十c三12,所以ΔABC周长的最大值为12.……………12分19.解1）记作事件A为“选择60米袋鼠跳服务”,事件B为“3000米服务”,则P（A）——,P（AB）——,………………………3分则P（B|A）——,…………………4分【高三数学参考答案第2页（共4页）】24108C所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下,选择3000米服务的概率；……………5分（2）依题意,随机变量X可以取0,1,2,3,…………………6分随机变量X的分布列为X0123P12652164552791 491………………11分所以E（X）—0X十1X十2X十3X—.……………………12分20.（1）证明:因为四边形ABCD是正方形,所以O为AC,BD的中点,因为PO」底面ABCD,所以PA—PB—PC—PD,即四棱锥是正四棱锥,…………2分因为侧棱与底面所成角的余弦值为槡10,所以侧棱与底面所成角的正切值为3,因为正方形ABCD的边长为槡2,所以OC—1,在RtΔPOC中,tan人PCO—,所以OP—3,……………4分所以PC—槡10,由正四棱锥的性质知,O到侧面的距离相等,设O到平面PCD的距离为h,由VPOCD—VOPCD,得SΔOCD.OP—SΔPCD.h,槡2Xh, 所以O到侧面的距离为3919；……………6分（2）解:以O为原点,分别以OB,OC,OP为工,>,之轴,建立如图所示的空间直角坐标系O工>之,因为AB—槡2,所以OA—OB—OC—OD—1,一一一所以PA—（0,-1,-3）,PB—（1,0,-3）,PC—（0,1,-3）,………………8分设平面PAB的一个法向量为n—（工1,>1,之1）,一所以1—-3,所以n—（3,-3,1）,…………………………9分设平面PBC的一个法向量为m—（工2,>2,之2）,一所以—1,所以工2—3,>2—3,所以m—（3,3,1）,…………………【高三数学参考答案第3页（共4页）】24108C |n|.|m|槡19X槡1919，所以平面PAB与平面PBC所成夹角的余弦值为.……………………12分21.解:（1）因为直线l过原点时，|PO|—槡3|AO|，不防设A点在第一象限，所以A点坐标为（2，槡，带入椭圆C的方程，可得十—1，……………