《余弦定理》教案、导学案、课后作业

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教案第1课时余弦定理【教材分析】本节首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.数学学科素养.数学抽象：余弦定理及其推论；.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统一.【教学重点和难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；难点：余弦定理的探索及证明.【教学过程】一、情景导入问题:在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本42-44页，思考并完成以下问题1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些变形？

3、什么是解三角形?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。a夹角的余弦的积的两倍。a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosB

c2=a2+b2—2abcosC推论:cosA=b2+cosA=b2+c2-a2

2bccosB=a2+c2-b2

2accosC=b2+a2-c22ba2、解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为:①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;②已知三角形的三条边就可以求出其它角。四、典例分析、举一反三题型一已知三边解三角形例1在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=7,b=5,c=3,求^ABC的内角中最大的角.【答案】120°.【解析】•••a>b【解析】•••a>b>c,••・A最大.b2+c2—a252+32—722bc—2X5X312.XV0°<A<180°,AA=120°.解题技巧(已知三边解三角形的思路)⑴已知三角形三边求角，直接利用余弦定理，求解时要注意“大边对大角、大角对大边”.(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入女，从而转化为已知三边求角.

跟踪训练一.在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a=1,b=\；7 c=\/3,则B.在^ABC中，已知a：b：c=2：\.16：(\'3+1)，则A=2、45°【解析】1、由余弦定理得cos【解析】1、由余弦定理得cosB—a2+c2—b2 1+3—72ac2X1X\.13—2.又•••0°<B<180°,.♦.B=150°.2、：a：b：c=2：\'6:(\.'3+1)令a=2k,b=%；6k,c=(%'3+1)k(k>0).由余弦定理的变形得，b2+c2—a26k2+(%；3+1ykt-4k2史c0sA=^b^=2X\：EkX(M+1)k=T-••・A=45°.题型二已知两边及一角解三角形例2在4ABC中，已知&=寸3b=x,'2,B=45°,解此三角形.,A=120°,C=15°.【答案】c=咎'，2,A=60°,C=75°或c―,A=120°,C=15°.【解析】由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB..,.2=3+c2—2，j3•,c.即c2—\/6c+1=0.解得。—加+飞’2或c=、6—飞’2,当c='/6+、2时，由余弦定理得22 2cosA—bcosA—b2+c2—a22+2—312bc -2X-.；2XV0°<A<180°,AA=60°,AC=75°.当c=、'6—"2时，由余弦定理得乙cosA—bcosA—b2+c2—a22+2—32bc _2X%；2XV0°<A<180°,AA=120°,C=15故c='幻,近，A=60°,C=75°或c=^6^2A=120°,C=15°.乙 乙解题技巧：(已知两边及一角解三角形的方法及注意事项)(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．跟踪训练二C\i'51.在^ABC中，cos]=手，BC=1,AC=5,则AB=( )A.4-..;'2 B.'-..'30 C.-..;'29 D.2-..;5【答案】A.C\i1C\i15【解析】•・・*=》CcosC=2cos5一1=2X

2cosC=52+12—2X5X1X在^ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2—2cosC=52+12—2X5X1XZ.AB=4\,'2.题型三余弦定理在边角转化中的应用例3(1)在^ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,孰已知bcosC+ccosB=2b,则《=.(2)在^ABC中，若lg(a+c)+lg(a—c)=lgb—lgb+c，贝UA=,【答案】(1)2,(2)120°.【解析】(1)由余弦定理得bcosC【解析】(1)由余弦定理得bcosC+ccosB=b•a2+b2—c22aba2+c2—b22a22ac2aa,所以&=2人即已=2.(2)由题意可知lg(a+c)(a—c)=lgb(b+c),所以(a+c)(a—c)=b(b+c).即b2+c2—a2=bc.b2+c2—a2 1所以cosA=2bc =-2.又0°<A<180°,所以A=120°.解题技巧(余弦定理在边角转化中的作用)余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．跟踪训练三.在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．跟踪训练三.在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a2+b2+\；'2ab=C2,则角C为A.nB.3nC.nD.2n

4433Acb.在^ABC中，sin2-=——(a,b,2 2cc分别为角A，BC的对应边），则4ABC的形状为A.正三角形B．直角三角形C.等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】1、B.2、B.【解析】1、 ,•,a2+b2+"\：2ab=C2【解析】1、 ,•,a2+b2+"\：2ab=C2,/.a2+b2—C2=—22ab,cosC=a2+b2—c2 —、:2ab2ab2ab^2,VCG(0,n2・C=3^,..C4.A1－cosAc－b2、：sin22=2-bb?+c2一•••cosA=c= 2bc2c，a2 ।-naz+b2=C2符合勾股定理．故4ABC为直角三角形.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理1.余弦定理推论：例1 例2 例32.解三角形3.应用七、作业课本44页练习，52页习题6.4的6题.【教学反思】本节课主要考察学生对于公式的理解与应用的能力，在如何正确应用余弦定理公式的问题上。通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下通过向量法证明出余弦定理，能掌握余弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生根据公式解决问题的时候，往往容易忽略多解得问题,很多学生不能掌握余弦定理使用的条件：.知道三角形的三条边求三个角的问题，.知道两边及夹角求其他两个角及另一边的问题。在练习时还发现学生不能将用大写字母表示的与小写字母表示的联系起来，导致做题速度较慢.《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案第1课时余弦定理【学习目标】知识目标1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.核心素养.数学抽象：余弦定理及其推论；.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；.数学运算：解三角形；.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统【学习重点】：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；【学习难点】：余弦定理的探索及证明.【学习过程】一、预习导入阅读课本42-44页，填写。1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2=.推论：cosA=.cosB=.cosC=.2、解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。小试牛刀.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）TOC\o"1-5"\h\z（1）余弦定理只适用锐角三角形. （ ）⑵在4ABC中，若S2〉b2+c2,则4ABC一定为钝角三角形.（ ）⑶在4ABC中，已知两边和其夹角时，4ABC不唯一. （ ）.已知在4ABC中，a=1,b=2,C=60°,则c等于（ ）A.3 B.\''2C.v'S D.5.在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且S2=b2—c2+\；5ac,则角B的大小是

A．45B．60A．45B．60C．90°D．135°C．90°.在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cosB=；.则边c的长度为.【自主探究】题型一已知三边解三角形例1在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=7,b=5,c=3,求^ABC的内角中最大的角．跟踪训练一.在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b='/7,c="：3则B一 ..在^ABC中，已知a：b：c=2:m:(4+1)，贝UA=.题型二已知两边及一角解三角形例2在4ABC中，已知&一血，b=\;2,B=45°,解此三角形.跟踪训练二一.C，芯 ―.在4ABC中，cos2—=，BC=1,AC=5,则AB=( )A.4-..;'2 B.\.130C.\'29 D.2^15题型三余弦定理在边角转化中的应用例3(1)在4ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,。，已知bcosC+ccosB=2b,贝咕一.(2)在^ABC中，若lg(a+c)+lg(a—c)=lgb—lgb+p则A=.跟踪训练三1.在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+\&b=c2,则角C为A.nB.3nC.-3D.23n4433Acb2.在^ABC中，sin2-=—(a,b,c分别为角A,B,C的对应边)，则4ABC的形状为2 2cA.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【达标检测】A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【达标检测】1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.2已知a=55,c=2,cosA=3,则b=A．<2B.<3C.2D.32.角A,B,C的对边分别为a若a2=b2+c2A．<2B.<3C.2D.32.角A,B,C的对边分别为a若a2=b2+c2一bc，贝UA=A.2兀C.—3兀TX2兀D.一或—333.在△ABC中内角A，B,C的对边分别为a,b,c.若b=c=32a，则角A等于（ ）2A.兀C.一32兀D.—34.在AABC中若AB=133,BC=3,/C=120。，则AC=5.在AABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为6.在4ABC中，分别根据下列条件求c.(1)a=4,b=2,A=60°；(2)a=4,b=3,A=45°.答案小试牛刀.(1)X(2)V(3)X.A..A..4.自主探究例1【答案】120°.【解析】•••a〉b〉c【解析】•••a〉b〉c,・・・A最大.cosA=b2＋c2－a252＋32－722bc2X5X3_1一2.XV0°<A<180°,AA=120°.跟踪训练一【答案】1.150°. 2、45°.【解析】1、由余弦定理得口a2+c2—b21+3—7 3c0sB= 2ac=2X1X\「2.又•••0°<BXV0°<A<180°,AA=120°.跟踪训练一【答案】1.150°. 2、45°.【解析】1、由余弦定理得口a2+c2—b21+3—7 3c0sB= 2ac=2X1X\「2.又•••0°<B<180°,.♦.B=150°.2、：a：b：c=2：\'6:(\13+1),令a=2k,b=、；6k,c=(\；3+1)k(k>0).由余弦定理的变形得，cosA—b2+c2一2bca26k2+(\/3+1)2k2—4k2也—2X\.'6kX(^：3+1)k—2***.•・A=45°例2【答案】c—血”%2A—60°,C=75°或c=、四—"222,A=120°,C=15°.【解析】由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB..,.2=3+c2—2、j3•半c.即c2—■■•.；16c+1=0.解得c=\，6++'2或c=丑—M2,当。='市+、2时，由余弦定理得乙 乙 乙cosA—b2+c2一2bc2+a2C加+的2—32X\,：5X汽芨2V0°<A<180°,AA=60°,AC=75°.当c=汽产时，由余弦定理得cosb2+c2一—2bc2+22—3a22XZ”2V0°<A<180°,.•・A=120°,C=15°.故c-q2,

2C 一C【解析】••.cos2=吉，0sc=2cos22—1=2x在4ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2—2AC-BC-cosC=52+12—2X5X1X^—|=32,例3【答案】（1）2,（2）120°.a2+b2—c2 a2+c2—b22a2【解析】 (1)由余弦定理得匕。。$C+ccosB=b* —b+c• — =—2ab 2ac 2aa,所以a=2b,即1=2.(2)由题意可知lg(a+c)(a—c)=lgb(b+c),所以(a+c)(a—c)=b(b+c).即b2+c2—a2=—bc.所以cosA=所以cosA=bz+c2—a22bc_1—21又0°<又0°<A<180°所以A=120°.跟踪训练三【答案】1、B.2、B.a2+b2一c2【解析】【答案】1、B.2、B.a2+b2一c2【解析】1、 ：a2+b2+、；2ab=c2,...a2+b2-c2=-\；2ab,cosC=——r—乙；exu—2ab2ab辛・.・C£(0,n2A1—cosAc—b2、：sin.= 22bb?+c2一••,c0sA=c= 2bca2 一....一、一—0a2+b2=c2,符合勾股定理.故4ABC为直角三角形.当堂检测1-3.DCA4.1.5.7.c_3g+屈6.【答案】(1)c=1+"3；(2) 26.【解析】（1）由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，二

42=22+c2—2义2义cXcos60。，即c2—2c-12=0,Ac=1+<13或c=1-<13(舍去).(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,A42=32+c2-2x3xcxcos45。,Ac=3四+四或c二一一四（舍去）.3<2+、：146Ac二 2《6.4.3余弦定理、正弦定理》课后作业第1课时余弦定理基础巩固，… ， 11.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cosB=-,则b=( )1.A.B.C.D.32.在4A.B.C.D.32.在4ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2-b2+c2)tanB=<3ac，则角B的值为（ ）A.B.C.D.3.边长分别为12V,2的三角形的最大角与最小角的和是（A.90°B.A.B.C.D.3.边长分别为12V,2的三角形的最大角与最小角的和是（A.90°B.120°C.135°D.150°4.A.30。B.604.A.30。B.60。C.120。D.150。AABC的内角A,B,c所对的边分别是a,b,c,已知2c-cosB=2a+b，则ZC=（ ）5./4BC的三内角4,B,C所对边的长分别为a,仇c设向量力=（a+c,b）,/=（B-a,c-a）,若5.A.2B.；C.；D.g6.已知^ABC中，AB=J3,BC=1,A=30。，则AC=.在不等边4ABC中，a为最大边，若a2<b2+c2，则A的取值范围为..在AABC中，已知a=2",c=66+<2,B=45。，解三角形.能力提升1 acosB/△ABC中，a,b,c分别表示角AB,C所对的边，若a2=b2+-c2，则 的值等于4c( )5A85 58B.4 C16 D.510.如图AABC中，已知点D在BC边上，AD±AC,sin/BAC=232,AB=3<2,AD=3，则BD的长为11.在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c,且A+B一一a=3,b=2,2cos2 -cos2C=12(1)求C的大小;c⑵求了的值.素养达成12.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a2+2c2—2b2+3ac=0.(1)求cosB的值；(…兀、(2)求sin2B+-的值.k4J

《6.4.3余弦定理、正弦定理》课后作业答案解析第1课时余弦定理基础巩固11.4ABC中内角AB,C的对边分别为a,b,c.若a=1,c=2，cosB=-,则b=1.4ABC中B.<3C.2D.3B.<3C.2D.3【答案】B1-【解析】由余弦定理可得b2=a2+。2-2accosB=12+22-2xlx2x-=3，所以b=*：3,故选：B.2.在^ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、。，若Q2一b2+c2)tanB=<3ac，则角B的值为()“九A.一6兀“九A.一6兀B.一3汽5兀C.—或—66D.兀t2兀—或—33【答案】D【解析】•二02一b2+c2)tanB=\;，3ac，.二a2+c2-b2=*'3tanBactanBv3 ,2tanBa2+c2v3 ,2tanB••cosB 2ac/.sinB=/.sinB= ,B£(02n).,.•B*或2T.故选D.3.边长分别为1,<52；2的三角形的最大角与最小角的和是A.903.边长分别为1,<52；2的三角形的最大角与最小角的和是A.90B.120。C.135。D.150。【答案】C【解析】由题意可得，边长为<5的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为e，则由余弦定理可得cos设此角为e，则由余弦定理可得cos^=1+8-5_24<2T・•・e-45。,故三角形的最大角与最小角的和是180°-45。=135°,故选c.AABC的内角A,故三角形的最大角与最小角的和是180°-45。=135°,故选c.AABC的内角A,B,C所对的边分别是4力,。，已知2c-cosB=2a+b,则NC=（A.30。 B.60。 C.120°【答案】C【解析】根据题意，若2c-cosB=2a+b,a2+c2—b2贝ij有：2cx =2a+b,2acD.150°整理得：a2+b2-c2=一ab，可得:a2+b2—c2cosC= 2ab_ab_1 ——2ab2又在AABC中，0。<C<180°,C=120。.故选C.的三内角人民。所对边的长分别为（1也c设向量/=（a+。力）,彳=（出—&c或则角C的大小为（）G，若A.- B.-6 3C- D•二:【答案】B【解析】因为两向量平行，所以等价于卜+能一司=帅一日），整理为1—必=b1所以々+1 -=-,所以角。二：lab2 36.已知，C中，AB=<3,BC=1,A=30。，则AC=.【答案】1或2【解析】由余弦定理得BC2=AC2+AB2—2AC-ABcos30°，即1=AC2+3—2<3ACxm，解得AC=1或AC=2.2

.在不等边^ABC中，a为最大边,若a2<b2+c2,则A的取值范围为.【答案】句60。<A<90。｝【解析】a2【解析】a2<b2+c2, b2+c2-a2>0,贝ijcosA=b2+c2-a2 八 >0.2bc.,.A<90。.又,二a为最大边，A>60。.故A的取值范围是(A\60。<A<90。;故答案为：｛a\60。<A<90。｝.在AABC中，已知a=2；3,c=x.6+<2,B=45。，解三角形.［答案］b［答案］b=2J2,AAA=60=600.【解析】•「b2=a2+c2-2accosB=(2v;3)2+(<6+v2)2-2•2<3•(屈+v'2)cos450=12+(<6+<2)2-4同<3+1)=8・•.b=2-J2.TOC\o"1-5"\h\z..b2+c2-a2 (2<2)2+(J6+<2)2-(2<3)2 1•；cosA= = = = = =一,2bc 2x2<2x(<6+<2) 2A=60o.,, --二:：能力提升1acosB9"AB5,a，b,c分别表示角A，B,C所对的边，若a2=b"4c2,贝"丁的值等于A.B.C.516A.B.C.516D.【答案】A1-7［解析］由【答案】A1-7［解析］由a2=b2+4c2